构造双偶数阶空间更完美幻立方的四步法

詹森，王辉丰

30广东技术师范学院计算机科学系，广东广州510665；2.海南师范大学数学与统计学院，海南海口571158

构造双偶数阶空间更完美幻立方的四步法

詹森1，王辉丰2

给出构造双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方的四步法及其理论证明.这个方法可得到22m（（2m）!）个不同的n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方.

最完美幻方；幻立方；空间完美幻立方；空间更完美幻立方；四步法

文[1-16]研究了n×n的各种2维幻方，n×n×n的3维幻立方比2维幻方更复杂.文[17]讨论了3维幻立方，提出了构造奇数阶对称幻立方及对称完美幻立方的方法.下文将讨论3维更完美幻立方.为了方便起见，首先将文[17]、[18]的一些有关概念及余函数的结果叙述如下：幻立方是指n×n×n的3维幻方，其n2个行，n2个列，n2个纵列上以及四条空间对角线上的n个元素之和都相等，即等于同一个常数，这个常数称为幻立方常数.如果幻立方是由1~n的连续自然数所组成，则幻立方常数为

空间完美幻立方是指空间四个方向的各条对角线上和泛对角线上n个元素之和都等于n阶幻立方常数的幻立方.

空间更完美幻立方是指空间四个方向的各条对角线、泛对角线上任何相距2m个位置的两个数之和都等于n3+1的空间完美幻立方.

预备定理对n=4m（m是m≠3t，t=1，2，…的自然数），则r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数.

证明1）对m=3t+1（t=0，1，2，…为自然数），由余函数定义知，当i=1，2，…，4t+1时，r（-3i）是一个4m-3~1公差为3的等差有限数列；当i=4t+2，…，8t+ 2时，r（-3i）是一个4m-2~2公差为3的等差有限数列.当i=8t+3，…，12t+3时，r（-3i）是一个4m-1~3公差为3的等差有限数列；i=4m时，r（-3i）=4m=n.所以，r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数.2）对m=3t+ 2（t=0，1，2，…为自然数），由余函数定义知，当i=1，2，…，4t+2时，r（-3i）是一个4m-3~2公差为3的等差有限数列；当i=4t+3，…，8t+5时，r（-3i）是一个4m-1~1公差为3的等差有限数列；当i=8t+6，…，12t+7时，r（-3i）是一个4m-2~3公差为3的等差有限数列；i=4m时，r（-3i）=4m=n.所以，r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数.

推论对n=4m（m是自然数且m≠3t，t=1，2，…），则r（-3i+C）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数（其中C为任意给定的自然数）.

1 构造双偶数阶空间更完美幻立方的四步法

第一步用文[14]的方法构造一个双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶由1~n2的连续自然数所组成的最完美幻方A，其相应的基方阵各列的n个数是按事先选定的顺序安装的.

最完美幻方A位于第i行、第j列的元素记为a（i，j）（i，j=1，2，…，n），其每一行，每一列上n个元素之和都等于双偶数阶幻方的幻方常数，即

两个方向上所有对角线上或泛对角线上任何相距2m个位置的两个数之和都等于n2+1，即

很明显，上面这一等式已保证了幻方的完美性.

即两个方向上所有对角线上或泛对角线上n个元素之和都等于n=4m（m=1，2，…为自然数）阶幻方的幻方常数

第二步构造第k（k=1，2，…，n）个截面的基方阵（简称截面基阵）Bk，Bk位于第i行、第j列的元素记为b（k，i，j）（i，j=1，2，…，n）.

对i=1，2，…，n，取

此处的di（i=1，2，…，n与构造最完美幻方A的基方阵时所取的di（i=1，2，…，n）是相同的.即Bk各列的n个数是按第一步中，最完美幻方的基方阵A的各列n个数同样的顺序安装的.

第三步对第k（k=1，2，…，n）个截面基阵Bk作行变换，所得方阵记为Ck.基方阵Bk上半部分的行不变，笫2m+1~4m行依次作为方阵Ck的第4m~2m+1行.

设n阶方阵Ck位于第i行、第j列的元素记为c（k，i，j）（i，j=1，2，…，n），则

即

方阵Ck第i（i=1，2，…，2m）行元素之和为

当i=2m+1，…，4m时，有

即方阵Ck第i（i=1，2，…，n）行元素之和为

第四步第k（k=1，2，…，n）个截面的方阵Ck第i（i=1，2，…，n）行向右顺移3（i+k-2）个位置得方阵Dk.

设n阶方阵Dk位于第i行、第j列的元素记为d（k，i，j）（i，j=1，2，…，n），则

由此n个截面Dk（k=1，2，…，n）组成的数字立方阵D就是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠3t，t= 1，2，…）阶空间更完美幻立方（见定理证明）.

1）当i=1，2，…，2m时，若s为奇数，则

若s为偶数，则

2）当i=2m+1，…，4m时，若s为奇数，则

若s为偶数，则

2 定理及证明

定理1由上述四步法得到的数字立方阵D是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠3t，t=1，2，…）阶空间更完美幻立方.

证明分三步进行证明

1）数字立方阵D以k轴为法线方向的k（k=1，2，…，n）个截面Dk，其各行和各列上n个元素的和都等于幻立方常数?

事实上，因Dk与Ck（k=1，2，…，n）的每一行由同样的元素组成，由四步法的第三步知

即截面Dk第i行（i=1，2，…，n）n个元素的和都等于幻立方常数.

当k、j同为奇数或同为偶数时，对给定的k、j，有

这里，s与i的奇偶相同，又由预备定理，当i=1，2，…，n时，s取遍1~n=4m的自然数，所以

当k、j一个为奇数另一个为偶数时，对给定的k、j，有

这里，s与i的奇偶相反，有

即截面Dk第j列（j=1，2，…，n）n个元素的和为

2）数字立方阵D以j轴为法线方向的j（j=1，2，…，n）个截面Dj，其各行和各列上n个元素的和都等于幻立方常数，即每一纵列n个元素之和都等于.

当i、j同为奇数或同为偶数时，对给定的i、j，有

这里，s与k的奇偶相同，又由预备定理，当k=1，2，…，n时，s取遍1~n=4m的自然数，当i=1，2，…，2m，有

当i=2m+1，…，4m，有

当i、j一个为奇数另一个为偶数时，对给定的i、j，有

这里，s与k的奇偶相反，同理可证

即数字立方阵D每一纵列n个元素之和为

由式（1），（2）和（3）知，数字立方阵D的所有行，列和纵列上n个元素之和都等于

3）考察d（k，i，j）与d（r（2m+k），r（2m+i），r（2m+ j））之和

当s为奇数时，r（2m+s）同为奇数，当i=1，2，…，2m，有

当i=2m+1，…，4m，有

当s为偶数时，同理可证

由四步法得到的n个截面Dk（k=1，2，…，n）组成的立方阵D其空间四个方向的各对角线、泛对角线上任何相距2m个位置的两个数之和都等于n3+1.由此，其空间四个方向的各对角线、泛对角线上n个元素之和都等于.所以，D是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠3t，t=1，2，…）阶空间更完美幻立方.

因构造最完美幻方A是由1~n3的连续自然数所组成的，故空间更完美幻立方D是由（1-1）n+1~（n2+ 1）n-n，即由1~n3的连续自然数所组成，定理证毕.

定理2用上述四步法得到的数字立方阵D是一个双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方.

证明类似定理1的证明，考察n=4m（m是自然数且m≠5t，t=1，2，…、m≠15t，t=1，2，…等）情况.在四步法的第四步中,若第k（k=1，2，…，n）个截面的方阵Ck第i行（i=1，2，…，n）向右分别顺移5（i+k-2）、

15（i+k-2）…个位置得方阵Dk.由此k个截面Dk（k=1，2，…，n）所组成的方阵D，同理可证：D是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠5t，t=1，2，…、m≠15t，t=1，2，…等）阶空间更完美幻立方.对于其他各种情况，只要简单地调整一下第四步中的顺移位置，就可构造出任何双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方.定理证毕.

一个最完美幻方可构造出一个双偶数阶空间更完美幻立方，所以，四步法可构造出22m（（2m）!）个不同的n=4m（m=1，2，…的自然数）阶空间更完美幻立方.

例用四步法构造一个8阶空间更完美幻立方

第一步根据文[14]中构造最完美幻方的三步法，构造一个8阶最完美幻方A（见图1）.

图1 8阶最完美幻方Fig.18-order the most perfect magic square

第二步构造第k（k=1，2，…，8）个截面基阵Bk由上至下依次为（见图2~图9）.

第三步第k（k=1，2，…，n）个截面的方阵Ck第i行（i=1，2，…，n）向右顺移3（i+k-2）个位置得方阵Dk.（见图10~图17）

图2 截面基阵1Fig.2Section array1

图3 截面基阵2Fig.3Section array2

图4 截面基阵3Fig.4Section array3

图5 截面基阵4Fig.5Section array4

图6 截面基阵5Fig.6Section array5

图7 截面基阵6Fig.7Section array6

图8 截面基阵7Fig.8Section array7

图9 截面基阵8Fig.9Section array8

图10 截面基阵1Fig.10Section array1

图11 截面基阵2Fig.11Section array2

图12 截面基阵3Fig.12Section array3

图13 截面基阵4Fig.13Section array4

图14 截面基阵5Fig.14Section array5

图15 截面基阵6Fig.15Section array6

图16 截面基阵7Fig.16Section array7

图17 截面基阵8Fig.17Section array8

第四步由以上8个截面Dk（k=1，2，…，n）组成的数字立方阵D就是一个8阶空间更完美幻立方（略）.

[1]詹森.关于构造幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(2):133-134.

[2]詹森,王辉丰.关于构造高阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(3):250-254.

[3]詹森,王辉丰.奇数阶对称完美幻方的构造方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(4):396-402.

[4]王辉丰,詹森.关于构造三类奇数阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(1):12-15.

[5]詹森,王辉丰.构造镶边幻方的代码法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(2):152-157.

[6]詹森,王辉丰.构造奇数阶幻方，完美幻方和对称完美幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2011,24(3): 265-269.

[7]詹森,王辉丰.构造奇数阶对称幻方及奇偶数分开对称幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2011,24 (4):395-399.

[8]王辉丰.构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(1):28-31.

[9]詹森.关于构造k2阶完美幻方的方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(2):147-157.

[10]詹森.构造高阶f次幻方的加法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(3):263-267.

[11]王辉丰.构造镶边幻方代码法的代码公式[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(3):269-273.

[12]詹森.你亦可以造幻方[M].北京:科学出版社,2012.

[13]詹森,王辉丰,黄澜.构造单偶数阶幻方的四步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2013,26(2):145-151.

[14]詹森,王辉丰.构造最完美幻方的三步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2013,26(4):387-392.

[15]詹森,王辉丰.构造3n阶完美幻方的五步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2014,27(1):18-22.

[16]詹森,王辉丰.构造奇数3(2m+l)阶完美幻方的方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2014,27(2):133-137.

[17]詹森,王辉丰.构造奇数阶对称幻立方及对称完美幻立方的三步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2013,26(3): 266-273.

[18]吴鹤龄.幻方及其他[M].北京:科学出版社,2004:153-161.

责任编辑：黄澜

Four Footwork’s Structure Methods about Double Even Order Space More Perfect Magic Cube

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangzhou 510665，China；2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

Four footwork’s structure methods and their theoretical proof were given These methods may obtain22m（（2m）!）different n=4m（m is natural number）order space more perfect magic cube.

the most perfect magic square；magic cube；space perfect magic cube；space more perfect magic cube；four foot⁃work method

O 157.6

A

1674-4942（2014）04-0389-07