有限元方法(FEM)求解奇异摄动Volterra积分微分方程

陶 霞, 万正苏, 徐邦启, 章 敏

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

有限元方法(FEM)求解奇异摄动Volterra积分微分方程

陶 霞, 万正苏, 徐邦启, 章 敏

(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)

运用有限元方法(FEM)求解奇异摄动Volterra积分微分方程. 数值算例表明, 在局部加密网格下, FEM解具有高精度性质.

奇异摄动Volterra积分微分方程; 局部加密网格; 有限元方法

引言

考虑如下奇异摄动Volterra积分微分方程:

其中0<ε≪1为小参数, 0<α≤a(t),f(t)和k(t,s)充分光滑.

奇异摄动积分微分方程广泛存在于实际工程计算中, 如流体力学、天体力学、量子力学、光学、化学、生物学以及控制论等领域中. 本文讨论的奇异摄动Volterra积分微分方程来源于许多物理和生物问题, 如扩散耗散过程、流行病动力学、同期控制系统、更新过程和拉伸纤维等[3～9]. 奇异摄动Volterra积分微分方程理论综述见文[1]. 由于小参数的存在, 解在很薄的边界层中变化非常剧烈, 数值模拟解的急剧变化异常困难. 另一方面, 为准确描述这类问题, 必须考虑系统对于过去经历的记忆效应. 因此, 寻找求解奇异摄动Volterra积分微分方程的高精度数值方法尤其困难.

关于数值求解奇异摄动Volterra积分微分方程已有一些研究工作, 如指数型有限差分方法、差分方法、隐Runge-Kutta方法以及张力样条配置方法等[2]. 采用LDG-CFEM耦合方法求解奇异摄动Volterra积分微分方程, 在Shishkin网格下, 耦合解具有高精度性质. 本文运用有限元方法(FEM)求解这类方程, 算例结果表明: FEM解同样具有高精度性质. 而且在局部加密网格下, 在节点处FEM解具有2p阶的超收敛性.

1 有限元方法(FEM)

首先将区间[0,T]剖分, 剖分节点为0=t0

其中p≥1,q≥1.

在区间[0,T]上, 运用有限元方法(FEM), 即寻找使得

2 数值算例

考虑奇异摄动Volterra积分微分方程(1), 其中a=1,k(t,s)=exp(s), 初值为u(0)=1+exp(−1),对应的真解为u(t)=exp(t−1)+exp(−(1+ε)t/ε).并且其真解在t=0附近出现边界层现象, 边界层厚度为O(ε).

这里取τ=min(0.5,−ε(p+1)logε). 当小参数ε分别取10−4、10−6和10−8时, 表1给出了相应的最大模误差和收敛阶. 表1中数据结果表明: 将区间[0,τ]和[τ,1]分别均匀剖分后, FEM解不仅稳定, 而且精度高.可以观察到: 在节点处的FEM解具有2p阶的超收敛性. 图1和图2分别显示了在线性元和二次元情形下的有限元解在节点处的误差图. 为了研究FEM解的超收敛性, 图3～图6给出了区间[0,τ]和[τ,1]上FEM解的误差图. 当ε=10−8时, 将[0,1]进行512剖分后, 图3和图4分别显示了边界层[0,τ]的前三个单元上运用FEM方法在线性元和二次元情形下的误差图; 图5和图6分别显示了[τ,1]最后三个单元上运用FEM方法在线性元和二次元情形下的误差图.

表1 FEM方法([0, 1])

图1 FEM方法,P= 1

图2 FEM方法,P= 2

图3 FEM方法,ε= 10-8,P= 1

图4 FEM方法,ε=10-8,P= 2

图5 FEM方法,ε= 10-8,P= 1

图6 FEM方法,ε= 10-8,P= 2

[1] J. P. Kauthen.A survey of singularly perturbed Volterra equations[J]. Appl. Numer. Math., 1997, 24: 95～114

[2] 陶 霞, 章 敏, 徐邦启. 求解奇异摄动Volterra积分微分方程的LDG-CFEM耦合方法[J]. 湖南理工学报(自然科学版), 2014, 27: 12～15

[3] J. S. Angell and W. E. Olmstead.Singularly perturbed Volterra integral equations[J]. SIAM J. Numer. Math., 1987, 47: 1～14

[4] J. S. Angell and W. E. Olmstead.Singularly perturbed Volterra integral equationsⅡ[J]. SIAM J. Numer. Math., 1987, 47: 1150～1162

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Finite Element Method (FEM)for Solving Singularly Perturbed Volterra Integrodifferential Equations

TAO Xia, WAN Zheng-su, XU Bang-qi, ZHANG Min
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

This paper implements finite element method (FEM) for solving singularly perturbed Volterra integrodifferential equations. Numerical results show that FEM solution has high accuracy property under layer-adapted mesh.

singulary perturbed Volterra integrodifferential equations; layer-adapted mesh; finite element method (FEM)

O241.82

A

1672-5298(2014)03-0023-03

2014-07-18

国家自然科学基金项目(11371074); 湖南省教育厅一般项目(13C366); 湖南理工学院校级科研项目(2013Y11)

陶 霞(1982 − ), 女, 湖南湘阴人, 博士, 湖南理工学院数学学院讲师. 主要研究方向: 微分方程数值解