一题多解的妙处探讨

徐万山

在历届高考中，一题多解是一个热点问题，在数学研究中有着很重要的价值以及很重要的应用，涉及到基本知识点和函数的性质、图像，渗透着函数与方程、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，培养学生灵活多变的思维方式和创造性，更能开发学生在高考中临场发挥的判断能力以及独立解决问题的能力。下面，我们就以2013年全国新课标全国1卷16题为例来进行探讨。

例：设当x=？兹时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cos？兹=____。

做本题需要：（1）导数知识。（2）辅角公式：设m=asin？琢+bcos？琢=■（■sin？琢+■cos？琢）=■（sin？琢cos？兹+cos？琢sin？兹）=■sin（？琢+？兹）（其中，tan？兹=■且a·b≠0，？琢？缀R），并且m的最大值为■，最小值为-■。（3）sin2？琢+cos2？琢=1 。（4）y=sinx与y=cosx两个函数图像知识点。

解：法一：利用“辅角公式”即可。∵f（x）=sinx-2cosx=■■sinx-■cosx=■sin（x-？兹），其中sin？兹=■，cos？兹=■。当x-？兹=2k？仔+■，k？缀Z时，函数f（x）取得最大值。∴x=■+？兹+2k？仔，k？缀Z时，即x=？兹时，cos？兹=cos（■+？兹+2k？仔）=-sin？兹=-■即可满足。这种方法是一种常规解法，也是学生们最容易想到的方法，是一个通法。

法二：利用“辅角公式”和“观察法”及“特殊取值法”。

∵f（x）=sinx-2cosx=■■sinx-■cosx，由辅角公式：设m=？琢sin？琢+bcos？琢=■ ■sin？琢+■cos？琢=■（sin？琢cos？茲+cos？琢sin？兹）=■sin（？琢+？兹）（其中tan？兹=■，且a·b≠0，？琢？缀R），并且m的最大值为■，最小值为-■。

∴当函数f（x）取得最大值为■，我们还知道sin2？琢+cos2？琢=1，并且我们发现若设sinx=■，cosx=-■时，正好满足f（x）=■为最大值。因此，当且仅当sinx=■cosx=-■时，f（x）取得最大值，由题意可知：当x=？兹时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，即cos？兹=-■。这种方法是一种学生在临场考试中很难想到的方法，但是它是一种对基本知识的最好的诠释，就看其平时的基本功扎不扎实而已。这种方法不仅能反映学生的临场多变的思维方式和创造性，而且能体现学生开阔的思维能力。

法三：利用“导数”和“三角函数图像”（即数形结合思想）。

∵f'（x）=cosx+2sinx，设f'（x）=0 （1） sin2x+cos2x=1 （2）

由（1）和（2）解方程组得到：sinx=■cosx=-■ 或sinx=-■cosx=■。

设g（x）=-sinx，h（x）=cosx，得f'（x）=g（x）-h（x）=0即g（x）=h（x）。

两个函数图像如下图：

由上述图像我们观察得到：当且仅当sinx=■cosx=-■，此时函数f（x）取得极大值，且同时又是函数f（x）的最大值。由题意可知：当x=？兹时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，即cos？兹=-■。这种方法是做大题的一种最常见做法，但是对于选择题和填空题，它是一种比较费劲的方法。尽管如此，它是也学生们常会想到的一种方法和做法。

综上所述，对于学生而言，如何能做对一道题是关键所在！因此，一题多解是任何一名高三老师及学生必须重视和探讨的一个重要问题。

（辽宁省瓦房店市第八高级中学）