合理设计，有效组织，让学生在活动中自主探究

罗锐

数学教学是数学活动的教学，因此教师在课堂上要让学生经历数学知识的形成过程，让学生通过参与一定的数学活动，联系与运用自己已有的知识、经验和熟悉的生活情景，通过操作、观察、猜测、比较、尝试、计算、画图、推理、抽象、交流等活动，把课堂中的数学现象和事实不断地进行数学化，从而掌握一定的数学知识，形成一定的数学能力，获得一定的数学思想方法，积累一定的数学活动经验，进而提升数学思维。小学数学教材中的综合实践活动就是为了巩固数学知识、丰富数学学习、积累数学活动经验而安排的，本文拟以数学实践活动《钉子板上的多边形》为例，谈谈数学活动的设计与组织。

一、让学生在有趣而扎实的感知活动中明确学习目标

小学数学课堂活动应围绕明确的教学任务和目标展开。一节课要解决什么问题，达成什么目标，应该让学生在课堂学习的开始阶段就有明确的感知，有了学习目标学生才能有的放失地投入到学习活动中，学习效果才能更有效。教学中可以通过创设一定的教学情境，提出一些数学问题和一系列学习任务，让学生在情境中发现问题、在分析问题的过程中明确目标任务，引起学生探究的兴趣和积极性。

1.提供对比素材，让学生在观察活动中感悟学习

内容

教师出示下面一组钉子板上围成的多边形，引导学生观察思考：你觉得钉子板上围成的多边形的面积可能与什么有关系？

根据老师提供的学习素材，学生可能会有三种体会：①面积与图形的底和高有关系；②面积与空格有关系；③面积与点有关系。在组织学生观察思考的过程中，当学生说出第1种情况后教师要引导学生明白，钉子板上围成的图形底和高的长短是由点之间的距离确定的，我们研究的这些钉子板上的点之间的距离都是1厘米，然后让学生数出底和高，并用计算公式算出这两个图形的面积。当学生说出第2种情况时，让学生观察钉子板上每格面积是多少？体会钉子板上的图形面积还可以看它占几格，占几格就是几平方厘米。当学生说出第3种情况时，引导学生观察钉子板上围成的多边形，看看每个多边形把钉子板上的钉子分成几部分，体会多边形内的钉子、多边形外的钉子和边上的钉子，再让学生数一数①②这两个多边形内有几个点，边上有几个点。

2.动态呈现素材，引导学生在对比活动中发现学习任务

继续观察①②两个多边形，引导学生猜想，这些多边形的面积可能与哪些钉子数有关？让学生算出它们的面积，体验并发现，边上的钉子数多面积就大，然后增加一个图形，让学生对比第③个多边形与第②个多边形有什么相同和不同，再算出第③个多边形的面积，体会并发现当边上的钉子数一样多时，多边形内的钉子数多面积就大。

分步、动态地呈现教学内容和学习素材，引导学生抓住关键观察，把握重点分析，可打开学生思路，能引发学生的思维，有助于学生思考和解决数学问题。

3.创设认知冲突，让学生在问题解决活动中明确学习目标

（1）基本计算，收集需要的数据。出示钉子板上围成的中间只有一个点的多边形。

引导学生先观察，发现它们的共同点。让学生找出围成的多边形内都有一个钉子，接着思考：它们边上的钉子数一样多吗？然后让学生自由计算出每个多边形的面积，再汇报整理计算结果（老师把每个多边形的面积记录在图形下面），在这个学习活动中还相机复习了基本图形的面积计算方法，重点指导交流第⑥个多边形面积计算的方法，帮助学生梳理出：钉子板上多边形的面积可用“面积计算公式”“数方格”和“转化成规则图形”等方法来获得。

（2）设置冲突，发现研究的关键。在上图中再出示第⑦个多边形，让学生说说它的面积，当学生用上面的基本方法无法快速解决时，教师引导学生思考：刚才大家就猜想过钉子板上的多边形的面积可能与多边形边上的钉子数有关系。那么，它们之间有什么样的规律呢？我们来深入研究这方面的知识——揭示课题，明确学习目标。

认知冲突是指认知主体已有认知结构与新知识或新情境之间不能包容。孔子曾说“不愤不启，不悱不发”，老师就应该在学生知与不知之间为学生的进一步学习活动启发点拨、解疑释难、铺路架桥。课堂上用学生已有的知识基础、活动经验和生活实际选择和呈现教学内容，创设学生已识与未知之间的冲突，引起学生对新知识的注意，激发学生对新学内容的兴趣，使学生产生自主探究的动机，从而促使学生积极主动地投入到新知学习活动的全过程。

二、让学生在有效而丰富的探究活动中构建学习内容

1.扶——老师指导下的自主探究活动，引导学生发现多边形内有一个钉子的多边形的面积与边上钉子数的关系

（1）填表、分析数据，发现规律。让学生把上图中前4个多边形的面积和边上的钉子数填写在规律探究表1内。

规律探究1

我的发现是：多边形的面积是（ ）钉子数的（ ）。

然后教师引导学生观察，找出两组数据之间的关系，小组同学合作探究，在小组内说说自己的发现，找出规律“多边形的面积是边上钉子数的一半”，师生合作，写出公式：S=n÷2。

（2）自由构图，验证规律。你们发现的这个规律对不对呢？我们可以验证一下，请你在钉子板上围一个这样的多边形，算一算，数一数，验证这个规律“S=n÷2”是不是正确的。

（3）运用规律，解决疑问。请你用这个规律算出第⑦个多边形的面积。

“从问题中来，到问题中去”，探索起源于疑问，结论服务于问题的解决，这个学习活动符合科学探究的规律，符合知识形成的规律，也符合学生的认知规律，能让学生体会探索成功的乐趣，强化学生的学习信心，激发进一步探究的动力。

2.放——同伴合作的自主探究活动，学生独立研究多边形内有两个钉子的面积与边上钉子数的关系

（1）创设矛盾，再次产生疑问。先出示？輥？輯？訛？輥？輰？訛两个多边形。

请你用刚才发现的规律，说出？輥？輯？訛？輥？輰？訛两个多边形的面积，再用以前学过的面积计算公式算出它们的面积，让学生发现刚才的规律不能用于这两个多边形，引导学生辨析：为什么规律在这里又不适用了呢？用课件动态出示⑧—⑩让学生观察对比两组图，得出：S=n÷2是图内有1个钉子的规律，结合板书形成完整的规律“当a=1时，S=n÷2”。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老师提出能激发学生思考的问题：“大家通过刚才的研究发现，当a=1时，钉子板上的多边形面积正好是边上钉子数的一半；那么当a=2时，多边形的面积又是什么呢？”请每小组4名同学合作研究，其中3人在钉子板上围一个多边形内有2个钉子的图形，算出面积，数数边上钉子数，组长观察每一人的操作过程，帮助他们核查，然后把得到的数据报给组长填写在规律探究表2内，共同研究，发现规律。

规律探究表2

我的发现是：多边形的面积是（ ）钉子数的（ ）。

（3）展示交流，师生共同研讨。让小组代表展示他们围成的图形和表中数据，交流他们发现的规律，师生共同总结得出：

当a=2时，S=n÷2+1。

（4）验证规律。你发现的这个规律可以求钉子板上哪一类多边形的面积，请你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛两个多边形的面积。

这个教学活动，教师应充分相信学生的学习潜能，完全放手让学生自己构图，用自己创造的素材进行相关的研究，把学生置于学习的主体地位，增强他们自主探索的信心，也增强新知获得的认同感，并提高小组合作的效率。小组合作如何有效，不是小组四名同伴重复做一样的事，而是让每一位成员分工协作，搜集不同的素材，提供有用的数据，然后汇总进行合作研究，这也符合科学研究的方法。

3.引——大胆猜想的自主探索活动，师生共同完善知识的整体建构

（1）老师结合下面两个已知结论，指导学生思考：

当a=1时，S=n÷2，当a=2时，S=n÷2+1。

那么，请你大胆猜一猜，当a=3时，S= ；当a=4时，S= 。请男生猜想a=3的规律，女生猜想a=4的规律，然后把你们的猜想写在规律探究表3上，再想办法验证自己的猜想。

规律探究表3

我围成的多边形内有（ ）个钉子，边上有（ ）个钉子。用猜想的规律算出的面积是S=（ ）÷2+（ ），用面积计算公式算：S= 。两次算的面积 （相等，不等），规律是 （正确，错误）。

（2）展示交流，形成共同的认识。让男、女生代表分别展示自己围成的多边形、面积等相关数据，分别得出：

当a=3时，S=n÷2+2；当a=4时，S=n÷2+3。

引导学生观察已经发现的4道公式，接着追问：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：当a不确定时，多边形的面积S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接着教师引导学生思考：“这些规律这样写显然有些复杂，请你从中选一个简单地表示这个规律，并说说它的意思。”

（3）用公式解释前面的发现，促进对知识的深入理解和整体把握。为什么当a=1时，S=n÷2，其实就是当a=1时，S=n÷2+1-1=n÷2；接着让学生推导当a=0时，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

这一教学过程，学生在老师的引导下，通过猜想、讨论、整理探究成果、回顾学习过程，对获得的知识进行总结与梳理。学生在猜想中模仿，在模仿中应用，在应用中认知，不断推进和深化学习过程。

三、让学生在有效而实用的实践中提升数学素养

知识要在应用中才能得到巩固与深化，技能要在应用中才能形成与熟练，思想方法要在应用中才能得到理解和升华，活动经验要在应用中才能得到积累与丰富，思维水平要在应用中才能得到激发与提升。数学课堂教学既要重视学生数学知识的获得过程，也要重视数学练习的训练过程，让学生在练习中提高数学能力。

（1）应用公式解决问题，出示不规则图形，算出它的面积。

本组练习只能用本节课学习的规律解决问题，既巩固新知，也让学生体会到新知的作用，体验探索成功的价值，品味学习的乐趣。

（2）在点子图中画两个形状不同、面积相等的不规则图形，让学生在实践中进一步积累实践经验、培养创造意识。

（3）介绍皮克定理，让学生体会自己在课堂上的研究与发现和数学家的伟大发现是如此相似，激发学生数学学习的积极性和主动性。

（4）介绍数学科普读物《格点和面积》，引导学生课后深入学习。

学生的数学素养不仅包括数学知识、数学技能、数学思想方法、数学活动经验，还应该包括数学史与文化等背景知识，课堂上我们不但要让学生获得知识，形成能力，还应该结合教学内容有机地进行数学文化素养的渗透，从而丰富学生的数学素养，提升学生的数学思维水平。

这节课在设计与组织活动过程中始终不忘“我是谁”“依靠谁”和“为了谁”的理念，努力提升课堂效率。

课堂教学中“我是谁”应从两个层面落实：一是教师层面，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者。在课堂上，教师要创造性地用好教材，整合优化教学资源；在学生认知的关键点，为学生提供丰富多彩而有价值的学习材料；在学生认知的疑惑处，为学生指引点拨；在学生成功时，给学生鼓励与表扬，给学生学习不断地输送“助推剂”。二是学生层面，学生才是学习的主人，教师要引导学生全程参与学习，在操作、思考、观察、实验、交流等活动中获得知识。

课堂教学“依靠谁”？课堂教学的主人既然是学生，学习过程中各种活动的设计就要考虑学生的情，教学活动的组织与实施要依靠学生。本课教学中，疑问让学生自己产生和提出，问题让学生自己分析解决，学习素材让学生自己收集，数据让学生自己整理，规律让学生自己发现、验证和理解，小组活动让学生自己参与、自己分工、自己完成，充分体现学生学习的主体地位。

课堂教学“为了谁”？课堂教学是为了学生的发展。课堂上的活动应始终围绕学生开展，提供机会让学生在操作中获得研究素材，在观察对比中抽象概括，在展示交流中表达自己的发现，说明自己的观点，解释自己的认知，在讨论中验证自己的猜想，质疑别人的想法，在师生合作中不断纠正自己的认识偏差，实现自觉发展。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老师提出能激发学生思考的问题：“大家通过刚才的研究发现，当a=1时，钉子板上的多边形面积正好是边上钉子数的一半；那么当a=2时，多边形的面积又是什么呢？”请每小组4名同学合作研究，其中3人在钉子板上围一个多边形内有2个钉子的图形，算出面积，数数边上钉子数，组长观察每一人的操作过程，帮助他们核查，然后把得到的数据报给组长填写在规律探究表2内，共同研究，发现规律。

规律探究表2

我的发现是：多边形的面积是（ ）钉子数的（ ）。

（3）展示交流，师生共同研讨。让小组代表展示他们围成的图形和表中数据，交流他们发现的规律，师生共同总结得出：

当a=2时，S=n÷2+1。

（4）验证规律。你发现的这个规律可以求钉子板上哪一类多边形的面积，请你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛两个多边形的面积。

这个教学活动，教师应充分相信学生的学习潜能，完全放手让学生自己构图，用自己创造的素材进行相关的研究，把学生置于学习的主体地位，增强他们自主探索的信心，也增强新知获得的认同感，并提高小组合作的效率。小组合作如何有效，不是小组四名同伴重复做一样的事，而是让每一位成员分工协作，搜集不同的素材，提供有用的数据，然后汇总进行合作研究，这也符合科学研究的方法。

3.引——大胆猜想的自主探索活动，师生共同完善知识的整体建构

（1）老师结合下面两个已知结论，指导学生思考：

当a=1时，S=n÷2，当a=2时，S=n÷2+1。

那么，请你大胆猜一猜，当a=3时，S= ；当a=4时，S= 。请男生猜想a=3的规律，女生猜想a=4的规律，然后把你们的猜想写在规律探究表3上，再想办法验证自己的猜想。

规律探究表3

我围成的多边形内有（ ）个钉子，边上有（ ）个钉子。用猜想的规律算出的面积是S=（ ）÷2+（ ），用面积计算公式算：S= 。两次算的面积 （相等，不等），规律是 （正确，错误）。

（2）展示交流，形成共同的认识。让男、女生代表分别展示自己围成的多边形、面积等相关数据，分别得出：

当a=3时，S=n÷2+2；当a=4时，S=n÷2+3。

引导学生观察已经发现的4道公式，接着追问：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：当a不确定时，多边形的面积S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接着教师引导学生思考：“这些规律这样写显然有些复杂，请你从中选一个简单地表示这个规律，并说说它的意思。”

（3）用公式解释前面的发现，促进对知识的深入理解和整体把握。为什么当a=1时，S=n÷2，其实就是当a=1时，S=n÷2+1-1=n÷2；接着让学生推导当a=0时，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

这一教学过程，学生在老师的引导下，通过猜想、讨论、整理探究成果、回顾学习过程，对获得的知识进行总结与梳理。学生在猜想中模仿，在模仿中应用，在应用中认知，不断推进和深化学习过程。

三、让学生在有效而实用的实践中提升数学素养

知识要在应用中才能得到巩固与深化，技能要在应用中才能形成与熟练，思想方法要在应用中才能得到理解和升华，活动经验要在应用中才能得到积累与丰富，思维水平要在应用中才能得到激发与提升。数学课堂教学既要重视学生数学知识的获得过程，也要重视数学练习的训练过程，让学生在练习中提高数学能力。

（1）应用公式解决问题，出示不规则图形，算出它的面积。

本组练习只能用本节课学习的规律解决问题，既巩固新知，也让学生体会到新知的作用，体验探索成功的价值，品味学习的乐趣。

（2）在点子图中画两个形状不同、面积相等的不规则图形，让学生在实践中进一步积累实践经验、培养创造意识。

（3）介绍皮克定理，让学生体会自己在课堂上的研究与发现和数学家的伟大发现是如此相似，激发学生数学学习的积极性和主动性。

（4）介绍数学科普读物《格点和面积》，引导学生课后深入学习。

学生的数学素养不仅包括数学知识、数学技能、数学思想方法、数学活动经验，还应该包括数学史与文化等背景知识，课堂上我们不但要让学生获得知识，形成能力，还应该结合教学内容有机地进行数学文化素养的渗透，从而丰富学生的数学素养，提升学生的数学思维水平。

这节课在设计与组织活动过程中始终不忘“我是谁”“依靠谁”和“为了谁”的理念，努力提升课堂效率。

课堂教学中“我是谁”应从两个层面落实：一是教师层面，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者。在课堂上，教师要创造性地用好教材，整合优化教学资源；在学生认知的关键点，为学生提供丰富多彩而有价值的学习材料；在学生认知的疑惑处，为学生指引点拨；在学生成功时，给学生鼓励与表扬，给学生学习不断地输送“助推剂”。二是学生层面，学生才是学习的主人，教师要引导学生全程参与学习，在操作、思考、观察、实验、交流等活动中获得知识。

课堂教学“依靠谁”？课堂教学的主人既然是学生，学习过程中各种活动的设计就要考虑学生的情，教学活动的组织与实施要依靠学生。本课教学中，疑问让学生自己产生和提出，问题让学生自己分析解决，学习素材让学生自己收集，数据让学生自己整理，规律让学生自己发现、验证和理解，小组活动让学生自己参与、自己分工、自己完成，充分体现学生学习的主体地位。

课堂教学“为了谁”？课堂教学是为了学生的发展。课堂上的活动应始终围绕学生开展，提供机会让学生在操作中获得研究素材，在观察对比中抽象概括，在展示交流中表达自己的发现，说明自己的观点，解释自己的认知，在讨论中验证自己的猜想，质疑别人的想法，在师生合作中不断纠正自己的认识偏差，实现自觉发展。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老师提出能激发学生思考的问题：“大家通过刚才的研究发现，当a=1时，钉子板上的多边形面积正好是边上钉子数的一半；那么当a=2时，多边形的面积又是什么呢？”请每小组4名同学合作研究，其中3人在钉子板上围一个多边形内有2个钉子的图形，算出面积，数数边上钉子数，组长观察每一人的操作过程，帮助他们核查，然后把得到的数据报给组长填写在规律探究表2内，共同研究，发现规律。

规律探究表2

我的发现是：多边形的面积是（ ）钉子数的（ ）。

（3）展示交流，师生共同研讨。让小组代表展示他们围成的图形和表中数据，交流他们发现的规律，师生共同总结得出：

当a=2时，S=n÷2+1。

（4）验证规律。你发现的这个规律可以求钉子板上哪一类多边形的面积，请你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛两个多边形的面积。

这个教学活动，教师应充分相信学生的学习潜能，完全放手让学生自己构图，用自己创造的素材进行相关的研究，把学生置于学习的主体地位，增强他们自主探索的信心，也增强新知获得的认同感，并提高小组合作的效率。小组合作如何有效，不是小组四名同伴重复做一样的事，而是让每一位成员分工协作，搜集不同的素材，提供有用的数据，然后汇总进行合作研究，这也符合科学研究的方法。

3.引——大胆猜想的自主探索活动，师生共同完善知识的整体建构

（1）老师结合下面两个已知结论，指导学生思考：

当a=1时，S=n÷2，当a=2时，S=n÷2+1。

那么，请你大胆猜一猜，当a=3时，S= ；当a=4时，S= 。请男生猜想a=3的规律，女生猜想a=4的规律，然后把你们的猜想写在规律探究表3上，再想办法验证自己的猜想。

规律探究表3

我围成的多边形内有（ ）个钉子，边上有（ ）个钉子。用猜想的规律算出的面积是S=（ ）÷2+（ ），用面积计算公式算：S= 。两次算的面积 （相等，不等），规律是 （正确，错误）。

（2）展示交流，形成共同的认识。让男、女生代表分别展示自己围成的多边形、面积等相关数据，分别得出：

当a=3时，S=n÷2+2；当a=4时，S=n÷2+3。

引导学生观察已经发现的4道公式，接着追问：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：当a不确定时，多边形的面积S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接着教师引导学生思考：“这些规律这样写显然有些复杂，请你从中选一个简单地表示这个规律，并说说它的意思。”

（3）用公式解释前面的发现，促进对知识的深入理解和整体把握。为什么当a=1时，S=n÷2，其实就是当a=1时，S=n÷2+1-1=n÷2；接着让学生推导当a=0时，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

这一教学过程，学生在老师的引导下，通过猜想、讨论、整理探究成果、回顾学习过程，对获得的知识进行总结与梳理。学生在猜想中模仿，在模仿中应用，在应用中认知，不断推进和深化学习过程。

三、让学生在有效而实用的实践中提升数学素养

知识要在应用中才能得到巩固与深化，技能要在应用中才能形成与熟练，思想方法要在应用中才能得到理解和升华，活动经验要在应用中才能得到积累与丰富，思维水平要在应用中才能得到激发与提升。数学课堂教学既要重视学生数学知识的获得过程，也要重视数学练习的训练过程，让学生在练习中提高数学能力。

（1）应用公式解决问题，出示不规则图形，算出它的面积。

本组练习只能用本节课学习的规律解决问题，既巩固新知，也让学生体会到新知的作用，体验探索成功的价值，品味学习的乐趣。

（2）在点子图中画两个形状不同、面积相等的不规则图形，让学生在实践中进一步积累实践经验、培养创造意识。

（3）介绍皮克定理，让学生体会自己在课堂上的研究与发现和数学家的伟大发现是如此相似，激发学生数学学习的积极性和主动性。

（4）介绍数学科普读物《格点和面积》，引导学生课后深入学习。

学生的数学素养不仅包括数学知识、数学技能、数学思想方法、数学活动经验，还应该包括数学史与文化等背景知识，课堂上我们不但要让学生获得知识，形成能力，还应该结合教学内容有机地进行数学文化素养的渗透，从而丰富学生的数学素养，提升学生的数学思维水平。

这节课在设计与组织活动过程中始终不忘“我是谁”“依靠谁”和“为了谁”的理念，努力提升课堂效率。

课堂教学中“我是谁”应从两个层面落实：一是教师层面，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者。在课堂上，教师要创造性地用好教材，整合优化教学资源；在学生认知的关键点，为学生提供丰富多彩而有价值的学习材料；在学生认知的疑惑处，为学生指引点拨；在学生成功时，给学生鼓励与表扬，给学生学习不断地输送“助推剂”。二是学生层面，学生才是学习的主人，教师要引导学生全程参与学习，在操作、思考、观察、实验、交流等活动中获得知识。

课堂教学“依靠谁”？课堂教学的主人既然是学生，学习过程中各种活动的设计就要考虑学生的情，教学活动的组织与实施要依靠学生。本课教学中，疑问让学生自己产生和提出，问题让学生自己分析解决，学习素材让学生自己收集，数据让学生自己整理，规律让学生自己发现、验证和理解，小组活动让学生自己参与、自己分工、自己完成，充分体现学生学习的主体地位。

课堂教学“为了谁”？课堂教学是为了学生的发展。课堂上的活动应始终围绕学生开展，提供机会让学生在操作中获得研究素材，在观察对比中抽象概括，在展示交流中表达自己的发现，说明自己的观点，解释自己的认知，在讨论中验证自己的猜想，质疑别人的想法，在师生合作中不断纠正自己的认识偏差，实现自觉发展。endprint