矩阵空间上正线性映射的一个不等式

刘建忠

(江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001)

0 引言

矩阵及算子不等式理论在自然科学、工程技术及社会科学各领域具有广泛应用，通过对矩阵不等式的研究，可以深刻揭示数量之间的内在关系，而且其理论本身富有技巧性和创造性，在学术上是深刻有趣的.由于研究方法灵活多样，应用背景涉及众多学科领域，有关矩阵不等式的结果散见在各种刊物和著作中，近年来的一种趋势是利用一些一般的理论模式给出各种矩阵不等式的统一形式，例如通过控制不等式理论统一研究有关矩阵特征值、奇异值及酉不变范数的不等式[1]，利用矩阵空间上线性映射的理论统一处理有关矩阵二次型、迹、行列式、积和式等不等式[1－2]。

本文利用矩阵张量积的一些基本性质及矩阵分块技巧，得到了矩阵空间上正线性映射的一个不等式.在所得结果的基础上，通过选取适当的辅助函数，可统一导出一些经典的矩阵不等式，并可在此基础上得到一些新的矩阵不等式.有关结论容易推广到Hilbert空间上紧算子所构成的空间上，为避免细节上的繁琐，本文的论证仅在矩阵空间上展开。

1 记号及引理

Mn表示n阶复方阵所成的线性空间，对于A∈Mn，A＞0，A≥0分别表示A为正定、半正定Herimitian阵，A*表示A的共轭转置，σ(A)表示A的谱，即A的特征值所成的集合。若映射Φ:Mn→Mk满足:

(i)Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)，A，B∈Mn;

(ii)Φ(c A)=cΦ(A)，A∈Mn，c为复数;

(iii)当A≥0时，Φ(A)≥0。

则称Φ为Mn上的正线性映射;若进一步满足当A＞0时，Φ(A)＞0，则称Φ为Mn上的严格正线性映射;若Φ(In)=Ik，其中In为n阶单位矩阵，则称其为Mn上的单位映射。

引理1[2]设A，B均为正定阵，则分块矩阵的充要条件是A≥XB－1X*。

引理2[3]设 A≥0，B≥0，则 A⊗B≥0。

引理3[2]设H为Herimitian阵，且分块矩阵，Φ为正线性映射，则0。

2 主要结论

定理1 设A为n阶Herimitian阵且 σ(A)⊆[m，M]，f，g，h为[m，M]上的实值函数且当 λ∈[m，M]时 f(λ)≥0，g(λ)≥0，f(λ)g(λ)≥h2(λ)，Φ为Mn上的正线性映射且 Φ(f(A))＞0，Φ(g(A))＞0，则有 Φ(f(A))≥Φ(h(A))Φ－1(g(A))Φ(h(A))。

由引理3及(1)得

由引理1及(2)即得结论。

通过选取适当的函数f，g，g，由定理1可得到一些经典的矩阵不等式，例如分别选取f(λ)=λ2，g(λ)，由定理1经直接验算可得

推论1(Kadison's不等式)设Φ:Mn→Mk为单位正线性映射，则对任意的Herimitian矩阵A，

Φ2(A)≥Φ(A2)。

推论2(Choi's不等式)设Φ:Mn→Mk为单位正线性映射，则对任意的正定矩阵A，

Φ－1(A)≤Φ(A－1)。

当k=1时，称Φ为Mn上的线性泛函，下面我们借助于定理1给出矩阵空间上正线性泛函的一个新的矩阵不等式。

定理2 设 Φ为Mn上的正线性泛函，A为正定阵，α1，α2，…，αm∈R，则有

证明 不妨设Φ为严格正线性泛函，取一组参数c1，c2，…，cm∈R+，使得c1c2…cm=1，由算术－几何平均不等式得

Φ(f(A))≥Φ(h(A))Φ－1(g(A))Φ(h(A))，即

在定理2中分别取Φ(A)=x*A x，tr(AX)，其中x∈Cn，X为正定矩阵，可得

推论 3[4]设 A为n 阶正定 Herimitian 阵，x为n 维列向量，α1，α2，…，αm∈ R，则 有推论4 设 A，X为n阶正定 Herimitian阵，α1，α1，…，αm∈R，则有(Aα1X)tr(Aα2X)…tr(AαmX)。

[1]Rajendra B.Matrix analysis[M].New York:Springer－ Verlag，1997.

[2]Rajendra B.Positive Definite Matrices[M].Princeton:Princeton University Press，2007.

[3]詹兴致.矩阵论[M].北京:高等教育出版社，2008.

[4]刘建忠.Cauchy不等式和 Kantorovich不等式的推广[J].河北大学学报:自然科学版，2004，24(3):240－242.