确定统计权数的新方法——方程法

孙丹丹

(江苏理工学院 商学院，江苏 常州 213001)

0 引言

起源于上世纪七十年代的层次分析法(简称AHP)是由美国运筹学家T.L.Sattyti 提出的，主要是对多指标系统方案给出一种层次化、结构化的决策方法。该方法综合考虑了定性与定量两种决策分析方法，在决策分析问题中有着广泛的应用。层次分析法主要是一个模型化、数量化的过程，通过对复杂系统的分解，将其转化为若干因素，在各因素之间通过比较和计算，从而得出不同方案的权重，该权重可为最佳方案的选择提供依据。在处理实际问题的过程中，经常会遇到诸如目标准则层次较多以及非基本结构的复杂决策问题，此时如何能够将该问题简化主要取决于如何从少量的定量信息入手，深入探究问题的本质及其内在关系，将思维的过程数字化，从数学的角度思考，用数字说话，达到准确计量的目的。

层次分析法中各层次的结构反映了各因素之间的关系，如何确定该结构是关键所在。通常准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，处理的关键在于如何较为准确的将这些比重进行量化。很多时候，对某个因素有影响的因子比较多，如若直接给出各个因子的比重，难免出现偏差，主要原因有:问题考虑不全面、首尾数据顾此失彼、所有数据可能不符合整体性为1 的隐含条件等。比如我们有这样的生活常识:假如有若干个大小不一的西瓜，每个人都能按照自己的感觉给出每个西瓜所占总体重量的大致比重，但是由于不知道每个西瓜具体的重量，每个人给出的数据都不尽相同，而且由于只是估计值，可能所有的比值会出现相互矛盾的情况，也容易出现比值和不等于1 的情形。因此，当影响某因素的因子较多时，通常将众多专家研判的均值作为各因子的比重，但这些比重只是初始值，通常要在初始值的基础上经过一系列严格的转化、换算，才能最终得出各准则层的相对权重。各准则层相对权重求解的过程大致可以分为三个步骤:1.构造判断矩阵——分析系统中各因素间的关系，对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，从而构造得出两两比较的判断矩阵;2.构造判断转化矩阵——由上一步中的判断矩阵中数据计算各比较元素所在准则的相对权重，并进行一致性检验。通常由判断矩阵到判断转化矩阵的转化方式不唯一，不同的转化构造方式往往对应不同的适用和使用效果;3.计算各层次对于系统的总排序权重，并进行排序。以上三个步骤中，第二步是关键，最终可以得到各方案对于总目标的总排序。

在用层次分析法解决某些具体问题时，可能会出现相对权重明显集中，权重差距较大的现象。因此，需要对层次分析法相对权重进行改进计算，努力提升层次分析法实际应用效果。本文主要介绍确定相对权数的一种新算法—方程法，并且通过实例检验其使用效果。

1 层次分析法中相对权重的算法新思路

1.1 建立判断矩阵

判断矩阵是在对每一层次中的所有因素进行相对重要性的两两比较的基础上而建立的矩阵，即:

rij的取值不应由个别人来确定，应由众多专家共同研判，最终取其均值。专家研判的取值是第i 个元素相对于第j 个元素的重要程度确定:特别重要(0.85-0.95)、重要(0.75-0.85)、相对重要(0.65-0.75)、稍重要(0.55-0.65)、重要程度相当(0.5)。

1.2 判断转化矩阵

判断转化矩阵，需要将rij转化为aij。

判断转化矩阵中aij和aji必须满足两个条件:①aij*aji=1;②aij-aji=rij-rji(其中i 为i 和j 两个元素中较重要者，否则条件②改为aij-aji=rij-rji)。

1.3 准则层的相对权重的计算

②计算Mi的n-1 次方根:。

判断转化矩阵中涉及元素是n 个，反映元素间的关系应是n-1 个关系。事实上，由于判断转化矩阵中a11，a12，…，ann=1，因此对角线上的元素对计算判断转化矩阵中各行元素之乘积是没有影响的。基于以上考虑，应该计算Mi的n-1 次方根。

从上述过程可以看出，新方法中准则层的相对权重计算过程与传统层次分析法相比，区别主要在于第二步，即判断转化矩阵的计算。在判断转化矩阵中，aij保留了最初判断矩阵中rij之间的差异性，并进一步将最初判断矩阵的对角线相应因素和为1 转化为了判断转化矩阵中的对角线相应因素积为1，这在一定程度上解决了相对权重明显集中，权重差距较大的现象。下面将通过实例，来验证该方法在处理权重差距较大问题时的可行性和优越性。

2 层次分析法中相对权重的改进算法实际应用

全部国有及规模以上非国有工业企业主要经济效益指标:工业增加值率、总资产贡献率、资产负债率、流动资产周转次数、成本费用利润率、全员劳动生产率、产品销售率，记这7个指标分别为1、2、3、4、5、6、7。

2.1 判断矩阵:

?1 2 3 4 5 6 7 1 0.5 0.25 0.80 0.55 0.70 0.80 0.75 2 0.75 0.5 0.90 0.80 0.85 0.95 0.90 3 0.20 0.10 0.5 0.35 0.35 0.80 0.40 4 0.45 0.20 0.65 0.5 0.55 0.85 0.60 5 0.30 0.15 0.65 0.45 0.5 0.75 0.60 6 0.20 0.05 0.20 0.15 0.25 0.5 0.25 7 0.25 0.10 0.60 0.40 0.40 0.75 0.5

2.2 判断转化矩阵

由上述矩阵结合算法新思路中判断转化矩阵的求法，不妨以a12与a21为例。

由r12=0.25，r21=0.75 可知:，即。

解方程组可得:a12=0.780 8;a21=1.280 2。

同理，可求得所有a1ij，i，j=1，2，…，7。

汇总整理后可得如下判断转化矩阵:

1 2 3 4 5 6 7 1 1 0.780 8 1.344 1.051 2 1.219 8 1.344 1.280 8 2 1.280 8 1 1.477 1.344 1.409 5 1.546 6 1.477 3 0.744 0.677 1 0.861 2 0.861 2 1.344 0.905 4 0.951 3 0.744 1.161 2 1 1.051 2 1.409 5 1.105 5 0.819 8 0.709 5 1.161 2 0.951 3 1 1.280 8 1.105 6 0.744 0.646 6 0.744 0.709 5 0.780 8 1 0.780 8 7 0.780 8 0.677 1.105 0.905 0.905 1.280 8 1?

2.3 准则层的相对权重的计算

由上述矩阵结合算法新思路中准则层的相对权重的计算方法可得:Mi分别为:2.316 294，8.186 244，0.454 378，1.345 582，0.909 344，0.154 815，0.612 73。Mi的n-1 次方根分别为:1.150 268，1.419 648，0.876 805，1.050 715，0.984 286，0.732 772，0.921 605。

从而可以求得每个Mi相对权重，汇总整理如下:

%1 2 3 4 5 6 7统计局公布权重16 20 12 15 14 10 13新算法权重 16.12 19.89 12.29 14.72 13.79 10.27 12.91传统层次分析法权重 23.36 46.59 3.15 8.95 11.86 1.54 4.55??

本例中，由最后的计算结果可以看出:若使用传统层次分析法，则最终计算出的权重值差距较大且仅集中于个别因素;而使用新方法所计算出来的相对权重明显更接近于统计局所公布的数值，且由此方法计算出的权重值也有更为合理的解释。

3 结语

本文在传统层次分析法权重计算的基础上，提出了一种确定统计权数的新方法—方程法。不仅给出了新方法的推导过程，并且通过实例计算，证实了该方法在解决实际问题中的可行性和优越性。

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