曲率二次衰减的开流形的基本群

金亚东，朱 鹏

(江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001)

0 引言

1968年，Milnor猜想对于一个完备非紧黎曼流形Mn，若它具有非负Ricci曲率，则其基本群必是有限生成的[1]。至今，虽然有一些进展，但这个猜想还没有得到完全证[2－4]。

最近，Sormani证明[5]了若Mn的直径增长还满足小的线性增长条件，则基本群是有限生成。文献[6]，[7]对文献[5]中的万有常数进行改进，得到了相应的结果。张运涛和徐栩证明[8]了若Mn的曲率满足二次衰减条件下，则在Mn满足小的直径线性增长条件下Mn一定具有有限的基本群，我们证明了Mn的曲率在满足更一般的条件(极小截曲率二次衰减)下，具有相同的结果。

本文在极小截曲率二次衰减的条件下推广了一致割引理，利用这一重要引理证明了此类流形在满足直径增长条件下具有有限的基本群，即

定理A 设Mn是一个完备非紧黎曼流形，其极小截曲率关于常数C＞0二次衰减，且存在一个万有常数C1＞0，使得若，则Mn具有有限生成的基本群。

定理B 设Mn是一个完备非紧黎曼流形，其极小截曲率关于常数C＞0二次衰减，且存在一个万有常数C1＞0，使得若，则Mn具有有限生成的基本群。

1 主要引理

定义1[9]设0∈Mn为一个定点，Mn被称作具有关于常数C＞0二次衰减极小截曲率，如果对任意的p∈Mn，其极小截曲率Kmino(p)满足

为了研究曲率α次衰减的开流形的基本群，需要一些引理。

引理1[5]设Mn是一个完备非紧Riemannian流形，其基本群为π1(M，x0)其中x0∈Mn，则存在π1(M，x0)的线性无关的生成元的有序集合{g1，g2，g3，…}，以及相应长度为dk的极小测地圈 γk，使得

下面叙述对本文两个定理的证明起非常重要的引理(一致割引理)。

引理2 设Mn为关于常数C＞0二次衰减极小截曲率的完备非紧Riemannian流形，γ为基点在x0∈Mn，长度为L(γ)=D的不可缩测地圈，满足下列条件:

(1)对于任意基点为x0且同伦与γ的测地圈σ，均有L(σ)≥D;

根据Toponogov比较定理和双曲几何中的余弦定理，有，从上面两式可以得到

2 定理的证明

定理A的证明 假设Mn有无限生成的基本群π1(M，x0)，根据引理1，存在基本群的生成元序列gk，基点在x0的极小测地圈γk满足引理3的条件，设dk=L(γk)，注意，此时dk→+∞(k→∞)。

这与定理A中的条件矛盾。

定理B的证明 证明方法与定理A的证明相类似，只要定理A的证明的γ变为满足下面等式中的

[1]Milnor J，A note on curvature and fundamental group[J].Journal of Differential Geometry，1968，2(1):1 －7.

[2]Cheeger J，Gromoll D，On the structure of completemanifolds of nonnegative curvature[J].Ann.of Math.，1972，96(2):413－443.

[3]Schoen R，Yau ST，Complete three dimensional manifolds with positive Riccicurvature and scalar curvature[J].Seminar on Differential Geometry，1982，102:209 －228.

[4]Anderson，Michael T.On the topology of completemanifolds of nonnegative Ricci curvature[J].Topology，1990，29(1):41 －55.

[5]Sormani C.Nonnegative Ricci curvature，small linear diameter grow th and finite generation of fundamental groups[J].Journal of Differential Geometry，2000，54(3):547 －559.

[6]XU Sen－lin，WANG Zuo － qin，YANG Fang － yun.On the fundamental Group of open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J].Chinese Annals of Mathematics，2003，24(4):469 －474.

[7]XU Sen － lin，DENG Qin － tao.The fundamental Group of openmanifoldswith nonnegative Ricci curvature[J].Acta Mathematica Sinica，Chinese Series，2006，49(2):353 －356.

[8]ZHANG Yun － tao，XU Xu.On the fundamental Group of Complete Manifoldswith Lower Quadratic Curvature Decay[J].Acta Mathematica Sinca，Chinese Series，2007，50(5):1 093 －1 098.

[9]Santos New ton L.Manifolds with asymptotically nonnegativeminimal radial curvature[J].Advances in Geometry，2007，7(3):331－355.