谈物理解题中的方程与变量

赵晓慧

(营口职业技术学院，辽宁营口 115000)

谈物理解题中的方程与变量

赵晓慧

(营口职业技术学院，辽宁营口 115000)

本文借用量子力学中“简并”一词，取其化简合并含义，分析了在解物理问题中方程的个数小于未知量的个数时，对方程进行观察试探是否可以“简并”，若“简并”后方程的个数与未知量的个数相同，则该方程就一定有唯一解。对于含有循环变量的方程组也可进行“简并”求解。

方程；变量；简并；循环变量

在解题过程中建立由m个方程、n个变量组成的方程组，这m个方程都是独立的。若n=m，则方程组一定有唯一解；若n>m，则方程组有无穷组解，即没有唯一解。在近年来的中考、高考试题中，多次出现“奇怪”的现象。即未知量的个数多于方程的个数，却能得到唯一的结果。这正是我们要展开讨论的问题：当n>m时，虽然方程组没有唯一解，但某个变量却可能有唯一解。也就是说，当求解某一个物理量时，尽管有n个变量，只列出了m个方程(m

1 变量的“简并”与“简并度”[1]

例1 图1为把量程为3mA电流表改装成欧姆表的结构示意图，其中电池的电动势ε=1.5V。经改装后，若将原电流表3mA刻度处的刻度值定为零刻度，则2mA处应标____Ω，1 mA处应标____Ω。(1990年全国高考试题)

图1 将量程为3mA电流表改装成欧姆表的结构示意图

x1,x2,…,xn，n个变量m个方程(m

结论1 设由n个变量m个方程构成的方程组可以被“简并”，若方程的个数加上“简并度”等于变量的个数，即m+λ=n，则方程组中没有被“简并”的变量有唯一解。(设原方程组中各方程都是独立的)

如例1中令R’=r+rg+Rx，则变量r、rg、Rx被“简并”，简并度λ=2。并满足m+λ=2+2=n，因此变量R有唯一解。

例2 已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2。一物体自O点由静止出发，沿此直线作匀加速运动，依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB段和BC段所用的时间相等。求O与A的距离。(2008年普通高等学校招生全国统一试题)

设物体的加速度为a，到达A点时的速度为v0,通过AB段和BC段所用的时间为t，则有

(1)

l1+l2=2v0t+2at2.

(2)

所求O与A的距离

(3)

由(1)、(2)、(3)组成的方程组有v0、a、t、l四个变量(n=4)，却只有三个方程(m=3)，m

原因是：由(1)和(2)联立，得

l2-l1=at2.

(4)

3l1-l2=2v0t.

(5)

注意(3)、(4)、(5)三式，有三个方程，有v0、a、t、l四个变量。

将(5)式两边平方，除以(4)式两边，得到

(6)

2 “同类齐次变量”的简并

例3 质量相等的三种不同的液体a、b、c，初温分别为10℃、40℃、80℃，若将a、b混合后，温度为30℃，将b、c混合后温度为50℃，将a、c混合后温度为多少？(设无热损失)

本题可列出三个方程：

C1m(t1-ta)=C2m(tb-t1) ，

(1)

C2m(t2-tb)=C3m(tc-t2)，

(2)

C1m(t3-ta)=C3m(tc-t3).

(3)

其中有m、C1、C2、C3、tc五个变量。消去m后，仍有四个变量。

比热容C1、C2、C3同时出现的每个方程的左右两边，具有同样的量纲，又都是一次方，我们可以称为“同类齐次变量”。其特点是：如果将这三个变量同时增大为原来的w倍(w为不为零的任意实数),方程组仍然与原方程组同解。可见这三个变量没有唯一解[2]。如果把以上三个方程两边同时除以C1，则原方程组变为

令C2′=C2/C1,C3′=C3/C1，则四个变量简并为C2′、C3′、t3三个变量，t3有惟一解。当然设C2′、C3′是不必要的。受本题的启发，为了具有一般性，有如下情形。

在某方程组中，设有k个量纲相同的变量ui(i=1,2,3,…,k)，如果用αui(α是不为零的任意常数)分别代换方程组中每一个ui后，方程组仍然成立，则称ui为同类齐次变量。

结论2 如果某方程组是同类齐次方程组(包括可以化成这样的方程组)，则该方程组是可以简并的，简并度λ=1。若简并后满足m+λ=n，则没有被简并的变量有唯一解。

当我们用“代入法”对例3中(1)、(2)、(3)组成的方程组求解时，就会发现，最后将同时消去两个变量，剩下一个所求变量tc得到唯一解。由于在变量代换过程中变量Ci(i=1,2,3)循环出现在各式中，也可以称其为循环变量[3]。这样，“同类齐次变量”一定是循环变量。也可以说，当方程组中出现“循环变量”时，尽管变量数大于方程数，所求变量可能有唯一解。

图2 测量液体密度方法

3 隐含的“循环变量”

在结论2中，若方程组中这些齐次变量不是同类物理量，但如果将它们中的每一个变量都扩大w倍(w为不为零的任意实数)后方程组仍然同解，这些变量就是隐含的“循环变量”，虽然不是同一类物理量，如果它们都是齐次的，方程两边同时除以m后同样可以简并，因此所求变量有唯一解。

例4 欢欢利用小试管、螺母和细线制成一个“土密度计”，用图2的方法测量液体的密度。“土密度计”在酒精(ρ酒精=0.8×103kg/m3)中静止时露出液面的高度为2cm；“土密度计”在水中静止时露出液面的高度为3cm；“土密度计”在硫酸铜中静止时露出液面的高度为3.8cm。则此溶液的密度为_____kg/m3。(2008年北京中考题)

本题可列出三个方程：

mg=ρ酒精g(V-h1S)，

(1)

mg=ρ水g(V-h2S)，

(2)

mg=ρ硫酸铜g(V-h3S).

(3)

其中有m、V、S、ρ硫酸铜四个未知量，但ρ硫酸铜仍有唯一解，原因在哪里？

注意到m、V、S这三个变量，如果将它们中的每一个变量都扩大w倍(w为不为零的任意实数)后方程组仍然同解。这三个变量是隐含的“循环变量”，虽然不是同一类物理量，但它们都是一次的，方程两边同时除以m后同样可以简并为2个变量，因此所求ρ硫酸铜有唯一解。解方程组时，一定能可以多消去一个变量。具体解法是：

由(1)、(2)两式可得

ρ酒精(V-h1S)=ρ水(V-h2S).

代入数据，可得V=0.07S.

由(2)、(3)两式可得

ρ水(V-h2S)=ρ硫酸铜(V-h3S).

解得

由于出现循环变量，最后一步同时消去V和S两个变量。

本题简并度λ=1，方程数m=3，变量n=4,满足m+λ=n。

4 结论

综上所述，如果遇到方程的个数小于变量的个数的物理问题时，可以用以下步骤去分析和解题。

第一，先观察方程组是否可以被“简并”，如果能“简并”，且“简并”后方程的个数等于变量的个数(即m+λ=n)，则未被“简并”的变量有唯一解。第二，观察方程组是否有“同类齐次变量”或“循环变量”，如果有，则一定可以“简并”掉一个变量。若“简并”后方程的个数等于变量的个数(m+λ=n)，则未被“简并”的变量有唯一解。第三，对于隐含的可“简并”变量和“循环变量”， 应当通过观察和试探善于发现这一事实。至少不要因为方程数不够而轻易放弃解答。第四，解“简并”后的方程组，即可解出所求变量。

[1]梁绍荣.量子力学[M].北京:北京师范大学出版社,1987:64-65.

[2]陈绍林.线性代数[M].武汉:武汉大学出版社,2011:80-94.

[3]谭浩强.C语言程序设计[M].4版.北京:清华大学出版社,2010:78-88.

Discussion of the Equation and Variable in Physics

ZHAO Xiao-hui

(Yingkou College of Vocational Technology,Yingkou Liaoning 115000,China)

By taking the concise meaning of the word “degeneration” in quantum mechanics, the study analyzes if the equation can be degenerated when the number of the equation is less than the unknown number. If the number of the degenerated equation is equal to the number of the unknown number, the solution of this equation is unique. This method can also be used in the equation of cyclic variable.

equation; variable; degeneration; cyclic variable

2013-11-16

赵晓慧(1965- )，女，辽宁营口人，营口职业技术学院副教授，从事电子技术教学与研究。

G642

A

1008-178X(2014)01-0140-04