扩展的F-展开法在耦合KdV方程精确解中的应用

于 义

(抚顺师范高等专科学校，辽宁抚顺 113001)

扩展的F-展开法在耦合KdV方程精确解中的应用

于 义

(抚顺师范高等专科学校，辽宁抚顺 113001)

本文以数学机械化思想为指导，以计算机代数系统软件Maple为工具，提出了用扩展的F-展法来构造非线性孤子方程的行波解。为了验证方法的有效性和优越性，将其应用到耦合的KdV方程，获得了具有一般形式的新的精确解，其中包括单的和耦合的Jacobi椭圆函数解、类孤子解及三角函数解。

孤子方程；精确解；F-展开法

一般来说，计算分为两大类：一是数值计算；二是符号计算.数值计算对人们来说是比较熟悉的，并且比符号计算发展得迅速.随着计算机及符号软件的产生，如Maple，Mathematica等，符号计算已成为现代数学研究中非常重要的工具，并且已渗透到其他很多领域[1-3].我国著名数学家、中国科学院院士吴文俊先生在对中国古代数学思想研究的基础上发展并完善了Ritt的方法，于1978年创立了吴代数消元法，将该方法用于初等几何的机械化证明，获得了很好的结果.在吴文俊院士的大力倡导下，数学机械化思想得到了迅速的发展，已渗透到了诸多领域，如理论物理、CAD、CAGD、机器人及控制论、力学和组合学等.数学机械化连续列为“八五”、“九五”国家攀登计划及“973”目之一.为了更准确地研究物体变化的性质，我们需要寻求其对应方程的精确解.

1 扩展的 F-展开法

F-展开法[4-5]是用雅克比椭圆函数展开方法求非线性数学物理方程周期波解的方法，即把方程的解表示成雅克比椭圆函数幂次展开的形式.用它得到了很多非线性偏微分方程的周期波解.下面给出F-展开法的一个推广.

对给定两个自变量的非线性偏微分方程

P(u,ut,ux,utt,uxt,…)=0.

(1)

其中P是一个多项式，它含有非线性项和线性出现的高阶偏导数项.我们分以下五个步骤求其椭圆函数周期波解：

第一步，对方程(1)作行波变换u(x,t)=u(ξ)，ξ=kx+ωt+k0，其中k,ω是待定常数，k0是任意常数，则(1)式化为：

P(u,ωu′,ku′,ω2u″,ωku″,k2u″,…)=0.

(2)

第二步：设u(ξ)可表示为F(ξ)的有限幂级数

(3)

这里a0,a1,a2，…,aN为待定常数.N为非负整数，将由非线性项和最高阶偏导数项的齐次平衡来决定.F(ξ)是雅克比椭圆函数满足Riccati方程：

F′2(ξ)=PF4(ξ)+QF2(ξ)+R.

(4)

F"(ξ)=2PF3(ξ)+QF(ξ).

(5)

F‴(ξ)=(6PF2(ξ)+Q)F′(ξ).

(6)

其中P,Q,R,F(ξ)有如下的关系：

第三步：将(3)代入(2)，利用(4)(5)(6)将(2)左端变为F(ξ)的多项式，再令其各次幕的系数为0，得a0,a1,a2，…，aN,ω(或k)的代数方程组.

第四步：解该方程组，将a0,a1,a2，…，aN,ω(或k)用P，Q，R来表示.将它们代入(3)式，得我们所解方程的一个行波解的一般形式.

第五步：选取(P，Q，R)使F(ξ)是某一种雅克比椭圆函数.将选定的(P,Q,R)的值和相应的雅克比椭圆函数代入方程行波解的一般形式中，可得方程的各种用雅克比椭圆函数表示的周期波解.

2 应用

下面以耦合KdV方程

(7)

为例，利用扩展F-展开法求其精确解.

首先对耦合KdV方程做行波变化u=u1(ξ),v=v1(ξ)，ξ=kx+ωt+k0，其中k0为常数，k,ω待定.

(8)

(9)

令

(10)

(11)

其中ai,bi,ci,di,ei,fi,gi,hi均为常数.将(4)(5)(6)代入(10)(11)，并利用符号计算软件Maple选择关于F'iFj的系数，并分别令其为零得到下面的代数超定方程(由于方程较多，这里将其省略).进一步，解上述代数方程得如下三种情形非平凡解：

情形1：a0=a0,k=k,e0=e0,a1=0,b1=0,b2=0,c1=0,c2=0,d1=0,d2=0,e1=0,e2=0,f1=0,f2=0,g1=0,g2=0,h1=0,h2=0,a2=-2k2P1,ω=-4k3Q1-6ka0,

情形3：k=k,e1=e1,e2=0,g2=0,d2=0,c2=0,b2=0,a1=0,h1=0,h2=0,

c1=0,d1=0,g1=0,f1=0,e0=0,f2=0,

由于篇幅有限，下面仅对对于情形3，给出耦合KdV的一些精确解.

(i)P1=m2,Q1=-(1+m2),Q1=-(1+m2),F(ξ)=snξ,

代入(10)(11)得方程的一组解

其中a0,e0,k为任意常数.

党的十八届三中全会提出了健全军队院校教育、部队训练实践、军事职业教育“三位一体”的新型军事人才培养体系。在“三位一体”军事人才培养体系中，把军队院校教育、军事职业教育并列。其中，军队人员离岗进校接受教育培训就是军队院校教育，在岗接受教育培养就是军事职业教育。因此，军事职业教育本质上属于在岗继续教育，只是面向的对象是军队人员。军事职业教育已经进入了党的十八届三中全会决定，进入了中央军委决策。军事职业教育，应以改善学员知识结构、提升武器装备运用能力、增强全面综合素质为目标，科学构建完善的军事职业教育课程体系，应从修订军事职业教育的课程标准、调整教学内容、创新课程教学手段与方法入手。

当m→0时，snξ→sinξ，因此有

当m→1时，snξ→tanhξ，因此有

其中a0,e0,k为任意常数.

(ii)P1=-m2,Q1=2m2-1,F(ξ)=cnξ,

代入(19)(20)得方程的一组解

其中a0,e0,k为任意常数.

当m→0时，cnξ→cosξ，因此有

当m→1时，cnξ→sechξ，因此有

其中a0,e0,k为任意常数.

(iii)P1=1,Q1=-(1+m2),F(ξ)=nsξ,

其中a0,e0,k为任意常数.

当m→0时，ns→cscξ，因此有

当m→1时，nsξ→cothξ，因此有

其中a0,e0,k为任意常数.

[1]朝鲁.吴-微分特征列集法理论极其在微分方程对称和力学中的应用[D].大连:大连理工大学,1997.

[2]Wang ML,Wang MY,Zhang JL.The periodic wave solutions for two systems of nonlinear wave equations[J]. Chin. Phys,2003(12):1341-1348.

[3]Fan EnGui.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations[J].Phys Lett A,2000(277):212-218.

[4]Wang ML,Li XZ.Applictions of F-expansion to periodic wave solutions for a new Hamiltonian amplitude equation[J].Chaos Solitons Fractals,2005(24):1257-1268.

[5]Liu JB,Yang KQ.The extended F-expansion method and exact solutions of nonlinear PDEs[J].Chaos Solitons Fractals, 2004(22):111-121.

The Application of Extended F-expansion Method to Exact Solutions of Nonlinear Coupled KdV Equations

YU Yi

(Fushun Teachers College，Fushun Liaoning 113001，China)

The thesis improves the F-expansion method for constructing travelling wave solutions of nonlinear soliton equations under the guidance of mathematics mechanization and with the tools of transformation and computer algebraic system Maple. In order to illustrate the effectiveness and advantages of the method, the study applies it to the coupled KdV equations. Many new and general formal exact solutions for the coupled KdV equations are obtained including the single and combined Jacobi elliptic function solutions, soliton-like solutions, trigonometric function solutions.

Soliton equations;Exact solutions;F-expansion method

2013-11-25

于 义(1962- )，男，辽宁抚顺人，抚顺师范高等专科学校副教授，从事可积系统研究。

O29

A

1008-178X(2014)01-0014-04