微分中值定理的证明及应用中的辅助函数构造

余 丽

（肇庆医学高等专科学校，广东肇庆 526020）

微分中值定理的证明及应用中的辅助函数构造

余 丽

（肇庆医学高等专科学校，广东肇庆 526020）

微分中值定理是微分学的基础内容，也是用来研究函数性态的重要手段．因此，对微分中值定理的研究和再证明长期以来都是经久不衰的话题．通过对微分中值定理的再证明，不仅有利于初学者对定理的理解和掌握，也有利于其对定理的灵活运用，同时通过对微分中值定理的推广，还可以得到更加一般的情形．

微分中值定理；辅助函数法；初学者

函数与其导数是两个不同的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理的作用就在于此．可以说，微分中值定理是高等数学中的重要内容，更是微分学中的基础知识，微分学中的许多命题和不等式都以其为依据，也是研究函数性态的重要手段．因此，掌握和了解微分中值定理对于进一步学习微分知识和其他高等数学内容，以及从事高等数学的研究都有重要的作用．

函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点ξ(即中值)，使得在此点的函数与导数在区间上存在着某种特定的等式联系．通常，中值ξ的值不易求出，即中值的准确值常不易知道，但我们能把握的是它的存在性．由于导数中值的存在性，中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，中值定理通过导数去研究函数的性态，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具．

微分中值定理主要包括四个定理，即罗尔（Roll）定理、拉格朗日（Lagrange）定理、柯西（Cauchy）定理、泰勒（Taylor）定理．其中，拉格朗日中值定理是微分中值定理核心，建立了函数值与导数值之间的定量联系；罗尔定理是微分中值定理的特殊情况；柯西定理是对拉格朗日中值定理的推广．本文从微分中值定理的重要性出发，运用构造辅助函数的方法对中值定理进行再一次证明，旨在让初学者认识并理解微分中值定理，为其以后的学习打下坚实的基础，同时，便于与同行之间的学习和交流，促进微分中值定理的研究．

1 “和差型”辅助函数的构造

构造辅助函数是高等数学中的重要方法，而对微分中值定理的证明主要运用的也是构造辅助函数的方法，这不仅可以开阔思路，还可以提高解决问题的效率．这里所说的辅助函数，是指“和差型”的辅助函数，虽然较为简单，但是就初学者而言，往往不能明白引入此方法的缘由，需要从函数与导数的联系上入手，也就是说，面对如下问题时，即怎样才能使得F x（）在区间ab（，）上满足，我们若从函数与其导数的关系出发，问题就变得简单多了．因为，我们很自然地就能想到导数F x′（）的一个原函数F x（）应该是，于是就引入了辅助函数．那么，当xab∈（，）时，．这样一来，在证明微分中值定理的时候，引入辅助函数就不再是个难题了．

这里要注意，我们之所以说是“一个”原函数，是因为，将实数C，仍然是F x′（）的原函数．而且，我们也可以证明，函数加上一个任意仍然满足上述条件，即存在使得

2 “常数k值型”辅助函数的构造

通过让初学者联系函数与其导数的关系，我们已经能够让其根据求证结果来构造简单的辅助函数．但是，在实际运用中，还会遇到更为复杂的情形，必须结合所学知识灵活构造辅助函数．常数k值法就是我们经常使用的一种变形的构造辅助函数的方法．

所谓常数k值法就是，首先将欲证之结论变形，将含有区间端点值及端点函数值的式子移动到等式的一边，并令其等于常数k，然后观察关于端点的这一等式是否是对等式或者轮换对等式，如果是的话，则令其中一个端点为x，相应的就可以得到想要构造的辅助函数F x（）．下面举例说明之．

等式（1）的左边即是我们所希望得到的一个含有区间端点的表达式．于是，便令其等于常数k．

将等式（2）左边分子分母同时除以12x x，得

个端点为x，就得到

可得

证毕．

3 “首次积分型”辅助函数的构造

虽然上述构造辅助函数的方法适用性很强，但是在具体应用过程中，通过首次积分法并构造相应的辅助函数来证明和运用拉格朗日中值定理和柯西中值定理是一个不错的方法．下面就用拉格朗日中值定理的证明和应用为例．

3.1 用首次积分法证明拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理 设f x（）在[]ab，上连续，在ab（，）内可导，则在ab（，）内存在一点，使得

思路：运用首次积分之前要知道首次积分的条件，即对于方程（f x， y） dx+ （g x， y） dy =0（其中，（f x， y）和g（ x，y）是在D⊂R2内的连续可微函数），若存在一个连续可微的函数U（ x, y），并且使dU（ x，y）=（f x，y）dx+g（ x，y）dy，那么，U（ x, y）=C就是原方程的首次积分．

因此，需要用x来替换欲证结果中的ξ，使欲证等式成为一个x的方程，接着才能对方程进行积分，然后结合构造辅助函数法得证．

于是，对方程两边进行积分，可得首次计分容易验证，函数F（ x）满足在[a，b]上连续，在

（a，b）内可导，且F（ a）=F（ b）．

于是，由罗尔定理可知，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

证毕．

3.2 首次积分法构造辅助函数的实际应用

例题2 设f x（）在[]ab，上连续，在ab（，）内可导，且（f a）=（f b），则在（a，b）内至少存在一点，使得

对等式（4）两边同时积分，得首次积分

容易验证，函数F x（）满足在[]ab，上连续，在ab（，）内可导，且F aF b=（）（）．

于是，于是，由罗尔定理可知，在ab（，）内至少存在一点ξ，使得

证毕．

4 “行列式型”辅助函数的构造

行列式辅助函数的构造法在实际应用中并不多见，但也不失为一种微分中值定理证明的重要方法．这对于初学者进一步熟悉和掌握相应定理，并灵活运用，具有重要的启迪作用，同时，对于研究中值定理也具有一定的积极作用．下面就通过证明拉格朗日中值定理来对行列式型的辅助函数的构造做一说明．

拉格朗日中值定理这里不再重述，直接证明．

因为f （x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，所以，x（φ）也必然在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

得证．

5 小 结

微分中值定理在微分学中的基础性作用，决定了人们尤其是初学者们必须牢固掌握并熟练运用之．本文就证明微分中值定理的构造辅助函数方法做了一个归纳和小结，希望能给初学者减轻学习的痛楚，厘清解决问题的思路，为今后的学习打下坚实的基础，同时，也希望能对研究和应用微分中值定理做一些必要的基础性工作和起到推进作用．

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第二版[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2]孟宪吉，王瑾.拉格朗日中值定理的新证明[J].沈阳师范大学学报，2003（4）∶252-254.

[3]张弘.微分中值定理的又一证明方法[J].重庆交通学院学报，2004（S）∶129-130.

[5]童莉.关于“数学与应用数学”专业实践性教学的调查分析[J].重庆师范大学学报：自然科学版，2013（3）：∶10-133.

[6]赵临龙.一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论[J].重庆三峡学院学报，2013（3）∶8-11.

（责任编辑：于开红）

The Structure of Auxiliary Functions in Certification and Applications of Differential Mean Value Theorem

YU Li
(Zhaoqing Medical College, Zhaoqing, Guangdong 526020)

The differential mean value theorem is the basic content of differential calculus, and an important way to study the state of function. Therefore, for a long time, the research and improving on the differential mean value theorem is an enduring topic. It is not only helpful to the beginners to understand and master the theorem, but also to apply the theorem flexibly by reproving the differential mean value theorem. Meanwhile, we can obtain more general cases by extending the differential mean value theorem.

auxiliary function; differential mean value theorem; beginner

O172.1

A

1009-8135（2014）03-0021-04

2014-01-19

余 丽（1987-），女，广东潮州人，肇庆医学高等专科学校老师，主要研究数学教育．