初等数学研究途径：结构是基础 转化是关键——2012年高考数学北京理科第19题再探究

赵临龙

（安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康 725000）

初等数学研究途径：结构是基础 转化是关键
——2012年高考数学北京理科第19题再探究

赵临龙

（安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康 725000）

对2012年高考数学北京理科第19题，利用蝴蝶定理研究其解法，给出考题的新解法，揭示考题与蝴蝶定理的内在关系，并给出考题的推广．

高考题；蝴蝶定理；解法；推广

考题 已知曲线C：（5－ m）x2＋（m－2）y2= 8（m∈R）．

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m = 4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y = kx + 4与曲线C交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

2013年，文[1]分析学生用以下常规方法[1]74-77：

如图1．当m = 4，曲线C：x2+ 2y2= 8与y轴交点坐标A（0，2），B（0，-2）．

设直线y = kx+4与曲线C交于不同的两点为M（x1，y1），N（x2，y2），由x2+ 2y2= 8、y = kx + 4得

之后就此搁浅．看来，对此题真有研究的价值．

1 图形结构分析

如图1，椭圆内的直线构成的图形具有“蝴蝶定理”的形式．因此，本题可考虑用“蝴蝶定理”解决．

图 1

图 2

图 3

2 蝴蝶定理结论

命题1 （坎迪蝴蝶定理）[2]8-11如图2、图3，过二次曲线Γ的割线EF上除与Γ的交点外任意一点P引任意两弦直线AB、CD，AD和BC交 EF于J、I，则，其中等式中线段均为有向线段

3 考题解法研究

3.1 椭圆内型蝴蝶定理应用

当点G在椭圆内，构成椭圆内型蝴蝶定理，因此有解法．

解法1：如图1，过点G（x0，y0）作与x轴平行的直线EF，分别交椭圆和直线对AB、MN于点E、F；J、I，其x坐标分别为xE、xF、xJ、xI=0，则由椭圆内蝴蝶定理，得：

由共线的三点A、G、N和共线的三点B、G、M，得：

（结合（※））

由（3）和（4），求得：

此时，由直线y=kx+4，得：kx1=y0-4，结合（5）得到：

于是，考题的结论（2）获得证明．

命题2 如图1，过椭圆C：x2+ 2y2= 8外一点P（0，4）引C的动割线PMN方程为y = kx + 4（k > 0），直线ANl'和直线BM交于点G（x0，y0）（y0> 0），过点G作与x轴平行的直线EF，分别交C和直线对AB、MN于点E、F；J、I，则点G的轨迹是定直线y=1，

3.2 椭圆外型蝴蝶定理应用

当点P在椭圆外时，构成椭圆外型蝴蝶定理，因此有解法．

解法2：如图1，连接PG交椭圆C于两点M'（x1，y1），N'（x2，y2），设直线PM'N'方程为y=k'x+4，则仿解法1，得：

而且，

有|M'P|=m|x1|，|N'P|=m|x2|．现由蝴蝶定理，得：

此时，由直线方程y = k'x + 4，得到结果：y0= k'x0+ 4 =－3 + 4 = 1．

解法反思：解法2较解法1简单明了，但没有解法1的复杂性，也就不会对解法1复杂解法进行简化研究．因此，研究才是追求简单解法的根本所在．

如解法2，在讨论蝴蝶定理结论（7）时，利用了（6）中“对称”形式的2个结论，而解法1，在讨论与蝴蝶定理结论（4）“对称”的结论时，仅利用了（※）中的“对称”形式的1个结论．这种研究，又给我们一个“新”的启发，给出解法1的新解法．

3.3 再研究解法

解法3：在解法1中，对于（2），直接考虑（※）中的2个“对称”式子，则有结果：

可见，本题的“对称结构”，是“研究”解决问题的基础．因此，以基本结构为基础，强化转化研究是初等数学研究的重要途径．另外，解法1通过相关的复杂“信息”，建立相关关系式，它较解法2和解法3更能给出新的结果．因此，信息是发现结论的重要研究“要素”．

[1]王文英，杨平，王树文.利用学生解题时的纠结点，做好解题教学[J].中学数学教学参考，2013（1-2）.

[2]赵临龙.当前我国初数研究存在的三种不良倾向——兼谈2003年北京市高考中的蝴蝶定理[J].重庆三峡学院学报，2012（3）：10-13.

（责任编辑：于开红）

A Study Method of Elementary Mathematics: Basic Structure is the Base While Transformation is the Key: with Special Reference to the 19thMathematics Problem in the 2012-year College

Entrance Examination in Beijing ZHAO Linlong
(Mathematics and Applied Mathematics Research Institute, Ankang University,Ankang, Shanxi 725000)

The 19thmathematics problem in 2012-year college entrance examination in Beijing is studied under the Butterfly Theorem and a solution is given with the new method. The interrelation between test questions and the Butterfly Theorem is revealed, and the questions are spread.

college entrance examination; the Butterfly Theorem; solution; spreading

O123

A

1009-8135（2014）03-0018-03

2014-02-19

赵临龙（1960-），男，陕西西安人，安康学院教授，主要研究几何．

陕西特色专业建设项目（2011-59）、安康学院重点学科建设项目（ZDXKZX201318）阶段性成果