警惕3球平衡问题的陷阱

黄尚鹏

(湖北省监利县朱河中学 湖北 荆州 433325)

题目:如图1所示，相同的两个匀质光滑球O1和球O2悬在结于定点O的两根长度都为l的轻绳上，此两球同时又支持一个等重的匀质光滑球O3.已知3个球的半径都为r，质量都为m，整个系统平衡时，两根轻绳与竖直方向的夹角都为α，O1O3和O2O3与竖直方向的夹角都为β，试证明:

(1)tanβ=3tanα；

图1

解法一：我们知道如果一个力所做的功与具体路径无关，这种力叫做保守力.在保守力场中，保守力所做的功等于势能的减少.保守力学体系处于平衡状态时，根据系统势函数一阶导数为零的原理，可得出系统在保守力以及约束力等作用下的平衡位置，因此本题可用能量的观点求解，解法如下.

本题中的α和β是确定系统位置的两个独立变量，系统的势函数可用这两个独立变量表示.由于要对任意的α和β，写出系统的势函数，故α和β确定以前，不能认为两轻绳的方向分别通过O1和O2，而应该从α和β相互独立各为任意值开始分析，画出的部分几何图形如图2所示.

图2

选悬挂点O所在的水平面为重力势能参考面，则系统的势函数

Ep=-2mgOB-mgOO3=

-2mg(OA+AB)-mg(OA+AB-O3B)=

-3mg(OA+AB)+mgO3B=

+2mgrcosβ

(1)

(2)

由式(1)、(2)知

(3)

由式(3)知

2rsinβ-lsinα>0

tanβ=3tanα

(4)

由式(3)、(4)知

tanα·3tanα=tanα·tanβ=

(5)

由式(5)解得

2rsinβ-lsinα=rsinα

即

证毕.

解法二：若不用能量的观点求解本题，如图3所示.

图3

对球O1，根据三力汇交原理，轻绳的方向应通过O1，在ΔOO1O3中，由正弦定理，得

即得结论.

设3个球间的弹力为FN，轻绳的拉力为T.对球O3，由3力平衡，得

mg=2FNcosβ

(6)

对球O1，在垂直于拉力的方向上，由平衡条件，得

mgsinα=FNsin(β-α)

(7)

由(6)、(7)两式，消去FN，有

2sinαcosβ=sin(β-α)=

sinβcosα-cosβsinα⟹tanβ=3tanα

对本题的深入思考:考虑到本题实际，α和β并不能无限接近于零，因为由几何关系知

即有β≥30°，等号成立的条件是球O1和球O2也相切.但当β=30°时，3个球两两相切，此时要求轻绳与球O3相交，如图4所示，这显然不符合实际，故要使整个系统能够在某位置处于平衡状态，考虑到本题实际，还需要求两根轻绳不能与球O3相交，即要求O3到轻绳的距离

d≥r

(8)

图4

由几何关系，知

d=2rsin(β-α)

(9)

由(8)、(9)两式，得

(10)

令β-α=θ(θ≥30°)，则

β=α+θ

由

tanβ=3tanα

得

tan(α+θ)=3tanα

即

整理得

3tanθtan2α-2tanα+tanθ=0

(11)

式(11)是关于tanα的一元二次方程，方程有解的条件是判别式Δ≥0，即

Δ=(-2)2-4×3tanθ×tanθ≥0

解得

即

θ≤30°

故

β-α≤30°

(12)

由(10)、(12)两式，知

θ=β-α=30°

将θ=30°代入式(11)，解得

即

α=30° 故

β=α+θ=60°

再由

得

此即要使整个系统能够在某位置平衡，绳长l和半径r必须满足的关系，若不满足这个关系，则系统在任何位置都不能平衡，或者即使理论上可能平衡，也要求轻绳与球O3相交，但这不符合实际.因此，本题中系统平衡的位置是唯一确定的，该系统平衡时，两根轻绳恰好与球O3相切，如图5所示.

图3

参考文献

1 何海明.电荷摆球平衡问题的陷阱.中学物理教学参考,2013(11)：52～53

2 中国科学技术大学高等数学教研室.高等数学导论·上册(第3版).合肥:中国科学技术大学出版社,2007.123～126

3 周衍柏.理论力学教程(第2版).北京:高等教育出版社,1986.286～287