为什么必须忽略所有电阻——对2013年高考新课标Ⅰ卷压轴题的已知条件的深入分析

黄尚鹏

(监利县朱河中学 湖北 荆州 433325)

题目:如图1，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求:

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.

图1

1 问题的提出

金属棒从静止开始下滑,其在磁场中运动切割磁感线将产生感应电动势,金属棒相当于电源,电容器被充电.由于“忽略所有电阻”,故电容器两极板电压U恒等于金属棒产生的感应电动势ε，即U=ε=BLv.显然，“忽略所有电阻”是本题的一个关键条件，也是一个特殊条件，即本题给出的是一种理想化的物理过程.若金属棒的电阻不能忽略，设其电阻为R，本题还能用初等方法得出金属棒的运动规律吗？

2 问题的解决

笔者经过深入研究，发现这种情况用初等方法无法求解，必须借助高等数学工具才能得出一般情况下金属棒的运动规律，请看下文.

F=mgsinθ-μmgcosθ

由牛顿第二定律及欧姆定律

(1)

(2)

由于电容器被充电，q增大，故

(3)

式(2)两边对时间求导，得

由式(1)和(3)知，上式可化为

(4)

式(4)是二阶常系数线性非齐次微分方程，其有如下形式的特解:q=kt，将特解代入式(4)，得

解得

故特解

式(4)对应的齐次微分方程为

其特征方程为

解得

λ1=0

故式(4)的通解为

则

由初始条件

故

C1+C2=0

解得

故

(5)

则

(6)

将式(5)、(6)代入式(2)，得

(7)

则

(8)

故当t→∞时

(9)

3 结束语

原题，即“忽略所有电阻”时，金属棒运动的加速度恒为

而一般情况下，即金属棒的电阻不能忽略时，由式(8)、式(9)知，金属棒运动的加速度逐渐减小，且稳定状态时金属棒运动的加速度等于“忽略所有电阻”时金属棒做匀加速运动的加速度.

参考文献

1 梁灿彬,秦光戎,梁竹健.普通物理学教程·电磁学(第1版).北京:高等教育出版社,1980

2 中国科学技术大学高等数学教研室编.高等数学导论(第3版).合肥:中国科学技术大学出版社,2007