非期望产出的DEA效率评价

许平++孙玉华

摘 要 将非期望产出作为投入应用到传统DEA模型上，解决了非期望产出生产活动的效率评价问题.结合生产可能集，将非期望产出直接反映到生产可能集中，建立了基于投入导向的径向和非径向两种DEA模型.并对两种DEA模型效率值的大小关系、相对有效性的等价性问题进行了证明，指出非径向DEA模型更能准确的实现效率定量评价.

关键词 数据包络分析；非期望产出；相对效率

中图分类号 F224.31 文献标识码 A

Efficiency Measure of Undesirable Outputs in DEA

XU Ping ，SUN Yuhua

（School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083，China）

Abstract This paper regards the undesirable outputs as inputs so that the traditional DEA models can be used. Through it the undesirable output efficiency evaluation activities can be resolved.We established the radial and nonradial inputoriented DEA models based on the production possibility set in which the undesirable outputs were indirectly introduced.Then， we give the proofs for the efficiency value size and equivalence of the relative effeciency of two kinds of DEA models.Finally ， It can be concluded that nonradial DEA model is more accurate quantitative evaluation of efficiency than radial DEA model through the above proofs.

Key words data envelopment analysis（DEA）；undesirable outputs；relative efficiency

1 引 言

数据包络分析（Data envelopment analysis，简称DEA）是用来评价一组多输入多输出决策单元（Decision Making Units，DMUs）之间的相对效率的数学规划方法.在DEA输入（输出）导向模型中，输入减少的百分比（输出增加的百分比）一般是比较清楚的，为改善评价非有效DMU的效率提供了方向[1].1978年， Charnes等[2]引入第一个DEA模型—CCR模型，经过30多年的发展， DEA已经成为运筹学、管理科学、系统科学交叉研究的一个新的领域，并在这些领域得到广泛地应用[3].

传统的DEA模型，要求投入的越少、输出的越多越好，但实际生产中除了获得期望的输出物，有时不可避免地有非期望产物的产出[4，5].例如在一个造纸厂中，造纸过程不可避免地产出的废水、废气等称之为非期望产出.在对决策单元进行效率评价时若忽略这些因素的存在，仅仅要求期望产出越多越好显然是不合理的.这就需要重新建立具有非期望产出的DEA模型.国内外一些学者对非期望产出的效率评价进行了研究，目前处理非期望产出的方法有曲线测度法、方向距离函数法、线性转换函数法、污染物投入法等.1989年，Fre等[6]提出用于环境效率评价的曲线测度法，该方法是一种非线性规划方法，在求解上比较繁琐.1997年， Chuang等[7]在DEA模型中引入了方向距离函数法，通过设定固定的方向，决策单元可以在设定的方向上达到期望产出增加，非期望产出减少的要求.Seiford和Zhu[8]于2002年提出线性转换函数法，通过转换将非期望产出转换为期望产出，满足了传统DEA模型求解决策单元效率的情形.但是，方向距离函数法和线性转换法加入了决策者的主观判断，与DEA的客观性不符.文献[9]将非期望产出作为投入，在维持输出不减少的前提下，使投入和非期望的产出越少越好，但是该模型的缺点是要求投入和非期望输出的扩大或减小的倍数相同，在实际应用中具有一定的限制性.

本文在前人的基础了做了改进，将非期望产出作为投入，在期望产出不减少的前提下，提出了基于投入的径向和非径向两种DEA模型.并对两种模型效率值的大小关系、有效性的等价性问题进行了证明.

2 模型的建立

3 结束语

本文研究了具有非期望输出决策单元相对有效性的两种DEA模型，模型（I）、（II）为径向DEA模型，模型（III）、（IV）是非径向DEA模型.文中给出了两种DEA模型相对效率值大小关系和决策单元DEA有效性的等价性等问题的证明.由定理4知，非径向DEA模型的相对效率值小于等于径向DEA的相对效率值，因此，非径向DEA模型更能较好地评价决策单元的有效性.此外，通过非径向模型（III）的不完全投影可以提高模型投影的的灵活性，为管理者提供更多的信息更有效的评价决策单元的行为.因此具有非期望产出的非径向DEA模型具有更广泛的应用前景.

参考文献

[1] 魏权龄.数据包络分析[M].北京：科学出版社，2004.

[2] A Charnes ，W W Cooper， E Rhodes.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2 （6）：429-444.

[3] W W Cooper ，L M Seiford， J Zhu. Handbook on Data Envelopment Analysis[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，2004.

[4] 张炳，毕军，黄和平，等.基于DEA的企业生态效率评价：以杭州湾精细化工园区企业为例[J].系统工程理论与实践，2008，20 （4）：159-166.

[5] 郭京福，杨德礼.具有非期望输出决策单元相对有效性评价的DEA模型[J].系统工程学报，1999，14 （1）：91-95.

[6] Rolf Fare， Shamna Grosskopf， C A K Lovell， et al.Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a nonparametric approach[J]. The Review of Economics and Statistics，1989，71 （1）： 90-98.

[7] Y H CHUNG， R FRE， S GORSSKOPF. Productivity and undesirable outputs： A directional distance function approach.[J]. Journal of environmental management，1997，51 （3）：229-240.

[8] L M Seiford， J Zhu. Modeling Undesirable Factors in Efficiency Evaluation[J]. European Journal of Operational Research，2002，142 （1）： 16-20.

[9] 王波，张群，王飞.考虑环境因素的企业DEA有效性分析[J].控制与决策，2002，17 （1）：24-28.endprint

摘 要 将非期望产出作为投入应用到传统DEA模型上，解决了非期望产出生产活动的效率评价问题.结合生产可能集，将非期望产出直接反映到生产可能集中，建立了基于投入导向的径向和非径向两种DEA模型.并对两种DEA模型效率值的大小关系、相对有效性的等价性问题进行了证明，指出非径向DEA模型更能准确的实现效率定量评价.

关键词 数据包络分析；非期望产出；相对效率

中图分类号 F224.31 文献标识码 A

Efficiency Measure of Undesirable Outputs in DEA

XU Ping ，SUN Yuhua

（School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083，China）

Abstract This paper regards the undesirable outputs as inputs so that the traditional DEA models can be used. Through it the undesirable output efficiency evaluation activities can be resolved.We established the radial and nonradial inputoriented DEA models based on the production possibility set in which the undesirable outputs were indirectly introduced.Then， we give the proofs for the efficiency value size and equivalence of the relative effeciency of two kinds of DEA models.Finally ， It can be concluded that nonradial DEA model is more accurate quantitative evaluation of efficiency than radial DEA model through the above proofs.

Key words data envelopment analysis（DEA）；undesirable outputs；relative efficiency

1 引 言

数据包络分析（Data envelopment analysis，简称DEA）是用来评价一组多输入多输出决策单元（Decision Making Units，DMUs）之间的相对效率的数学规划方法.在DEA输入（输出）导向模型中，输入减少的百分比（输出增加的百分比）一般是比较清楚的，为改善评价非有效DMU的效率提供了方向[1].1978年， Charnes等[2]引入第一个DEA模型—CCR模型，经过30多年的发展， DEA已经成为运筹学、管理科学、系统科学交叉研究的一个新的领域，并在这些领域得到广泛地应用[3].

传统的DEA模型，要求投入的越少、输出的越多越好，但实际生产中除了获得期望的输出物，有时不可避免地有非期望产物的产出[4，5].例如在一个造纸厂中，造纸过程不可避免地产出的废水、废气等称之为非期望产出.在对决策单元进行效率评价时若忽略这些因素的存在，仅仅要求期望产出越多越好显然是不合理的.这就需要重新建立具有非期望产出的DEA模型.国内外一些学者对非期望产出的效率评价进行了研究，目前处理非期望产出的方法有曲线测度法、方向距离函数法、线性转换函数法、污染物投入法等.1989年，Fre等[6]提出用于环境效率评价的曲线测度法，该方法是一种非线性规划方法，在求解上比较繁琐.1997年， Chuang等[7]在DEA模型中引入了方向距离函数法，通过设定固定的方向，决策单元可以在设定的方向上达到期望产出增加，非期望产出减少的要求.Seiford和Zhu[8]于2002年提出线性转换函数法，通过转换将非期望产出转换为期望产出，满足了传统DEA模型求解决策单元效率的情形.但是，方向距离函数法和线性转换法加入了决策者的主观判断，与DEA的客观性不符.文献[9]将非期望产出作为投入，在维持输出不减少的前提下，使投入和非期望的产出越少越好，但是该模型的缺点是要求投入和非期望输出的扩大或减小的倍数相同，在实际应用中具有一定的限制性.

本文在前人的基础了做了改进，将非期望产出作为投入，在期望产出不减少的前提下，提出了基于投入的径向和非径向两种DEA模型.并对两种模型效率值的大小关系、有效性的等价性问题进行了证明.

2 模型的建立

3 结束语

本文研究了具有非期望输出决策单元相对有效性的两种DEA模型，模型（I）、（II）为径向DEA模型，模型（III）、（IV）是非径向DEA模型.文中给出了两种DEA模型相对效率值大小关系和决策单元DEA有效性的等价性等问题的证明.由定理4知，非径向DEA模型的相对效率值小于等于径向DEA的相对效率值，因此，非径向DEA模型更能较好地评价决策单元的有效性.此外，通过非径向模型（III）的不完全投影可以提高模型投影的的灵活性，为管理者提供更多的信息更有效的评价决策单元的行为.因此具有非期望产出的非径向DEA模型具有更广泛的应用前景.

参考文献

[1] 魏权龄.数据包络分析[M].北京：科学出版社，2004.

[2] A Charnes ，W W Cooper， E Rhodes.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2 （6）：429-444.

[3] W W Cooper ，L M Seiford， J Zhu. Handbook on Data Envelopment Analysis[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，2004.

[4] 张炳，毕军，黄和平，等.基于DEA的企业生态效率评价：以杭州湾精细化工园区企业为例[J].系统工程理论与实践，2008，20 （4）：159-166.

[5] 郭京福，杨德礼.具有非期望输出决策单元相对有效性评价的DEA模型[J].系统工程学报，1999，14 （1）：91-95.

[6] Rolf Fare， Shamna Grosskopf， C A K Lovell， et al.Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a nonparametric approach[J]. The Review of Economics and Statistics，1989，71 （1）： 90-98.

[7] Y H CHUNG， R FRE， S GORSSKOPF. Productivity and undesirable outputs： A directional distance function approach.[J]. Journal of environmental management，1997，51 （3）：229-240.

[8] L M Seiford， J Zhu. Modeling Undesirable Factors in Efficiency Evaluation[J]. European Journal of Operational Research，2002，142 （1）： 16-20.

[9] 王波，张群，王飞.考虑环境因素的企业DEA有效性分析[J].控制与决策，2002，17 （1）：24-28.endprint

摘 要 将非期望产出作为投入应用到传统DEA模型上，解决了非期望产出生产活动的效率评价问题.结合生产可能集，将非期望产出直接反映到生产可能集中，建立了基于投入导向的径向和非径向两种DEA模型.并对两种DEA模型效率值的大小关系、相对有效性的等价性问题进行了证明，指出非径向DEA模型更能准确的实现效率定量评价.

关键词 数据包络分析；非期望产出；相对效率

中图分类号 F224.31 文献标识码 A

Efficiency Measure of Undesirable Outputs in DEA

XU Ping ，SUN Yuhua

（School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083，China）

Abstract This paper regards the undesirable outputs as inputs so that the traditional DEA models can be used. Through it the undesirable output efficiency evaluation activities can be resolved.We established the radial and nonradial inputoriented DEA models based on the production possibility set in which the undesirable outputs were indirectly introduced.Then， we give the proofs for the efficiency value size and equivalence of the relative effeciency of two kinds of DEA models.Finally ， It can be concluded that nonradial DEA model is more accurate quantitative evaluation of efficiency than radial DEA model through the above proofs.

Key words data envelopment analysis（DEA）；undesirable outputs；relative efficiency

1 引 言

数据包络分析（Data envelopment analysis，简称DEA）是用来评价一组多输入多输出决策单元（Decision Making Units，DMUs）之间的相对效率的数学规划方法.在DEA输入（输出）导向模型中，输入减少的百分比（输出增加的百分比）一般是比较清楚的，为改善评价非有效DMU的效率提供了方向[1].1978年， Charnes等[2]引入第一个DEA模型—CCR模型，经过30多年的发展， DEA已经成为运筹学、管理科学、系统科学交叉研究的一个新的领域，并在这些领域得到广泛地应用[3].

传统的DEA模型，要求投入的越少、输出的越多越好，但实际生产中除了获得期望的输出物，有时不可避免地有非期望产物的产出[4，5].例如在一个造纸厂中，造纸过程不可避免地产出的废水、废气等称之为非期望产出.在对决策单元进行效率评价时若忽略这些因素的存在，仅仅要求期望产出越多越好显然是不合理的.这就需要重新建立具有非期望产出的DEA模型.国内外一些学者对非期望产出的效率评价进行了研究，目前处理非期望产出的方法有曲线测度法、方向距离函数法、线性转换函数法、污染物投入法等.1989年，Fre等[6]提出用于环境效率评价的曲线测度法，该方法是一种非线性规划方法，在求解上比较繁琐.1997年， Chuang等[7]在DEA模型中引入了方向距离函数法，通过设定固定的方向，决策单元可以在设定的方向上达到期望产出增加，非期望产出减少的要求.Seiford和Zhu[8]于2002年提出线性转换函数法，通过转换将非期望产出转换为期望产出，满足了传统DEA模型求解决策单元效率的情形.但是，方向距离函数法和线性转换法加入了决策者的主观判断，与DEA的客观性不符.文献[9]将非期望产出作为投入，在维持输出不减少的前提下，使投入和非期望的产出越少越好，但是该模型的缺点是要求投入和非期望输出的扩大或减小的倍数相同，在实际应用中具有一定的限制性.

本文在前人的基础了做了改进，将非期望产出作为投入，在期望产出不减少的前提下，提出了基于投入的径向和非径向两种DEA模型.并对两种模型效率值的大小关系、有效性的等价性问题进行了证明.

2 模型的建立

3 结束语

本文研究了具有非期望输出决策单元相对有效性的两种DEA模型，模型（I）、（II）为径向DEA模型，模型（III）、（IV）是非径向DEA模型.文中给出了两种DEA模型相对效率值大小关系和决策单元DEA有效性的等价性等问题的证明.由定理4知，非径向DEA模型的相对效率值小于等于径向DEA的相对效率值，因此，非径向DEA模型更能较好地评价决策单元的有效性.此外，通过非径向模型（III）的不完全投影可以提高模型投影的的灵活性，为管理者提供更多的信息更有效的评价决策单元的行为.因此具有非期望产出的非径向DEA模型具有更广泛的应用前景.

参考文献

[1] 魏权龄.数据包络分析[M].北京：科学出版社，2004.

[2] A Charnes ，W W Cooper， E Rhodes.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2 （6）：429-444.

[3] W W Cooper ，L M Seiford， J Zhu. Handbook on Data Envelopment Analysis[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，2004.

[4] 张炳，毕军，黄和平，等.基于DEA的企业生态效率评价：以杭州湾精细化工园区企业为例[J].系统工程理论与实践，2008，20 （4）：159-166.

[5] 郭京福，杨德礼.具有非期望输出决策单元相对有效性评价的DEA模型[J].系统工程学报，1999，14 （1）：91-95.

[6] Rolf Fare， Shamna Grosskopf， C A K Lovell， et al.Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a nonparametric approach[J]. The Review of Economics and Statistics，1989，71 （1）： 90-98.

[7] Y H CHUNG， R FRE， S GORSSKOPF. Productivity and undesirable outputs： A directional distance function approach.[J]. Journal of environmental management，1997，51 （3）：229-240.

[8] L M Seiford， J Zhu. Modeling Undesirable Factors in Efficiency Evaluation[J]. European Journal of Operational Research，2002，142 （1）： 16-20.

[9] 王波，张群，王飞.考虑环境因素的企业DEA有效性分析[J].控制与决策，2002，17 （1）：24-28.endprint