追踪溯源 有效架构

郁红

源起·追溯·思索

【源起】“9加几”作为20以内进位加法的第一课时，历来受到教师们的青睐，经常用于展示课、研讨课的教学。然而，笔者在听了多位教师对这一内容的课堂教学后发现他们之间都或多或少地存在着一些共同的问题。

（1） 9加几内容简单，很难上出层次感。

（2）计算方法单一，就是“凑十法”，课堂重复性高，趣味性因而不够强。即使有多样的算法也是为迎合教师的需求而出现。

（3）很多学生在学习“凑十法”之前已经会计算9加几，倘若根据教材编排先动手摆一摆再提炼方法，显得有点滞后，学生的操作没有实际意义。

（4）一节课下来，学生未能体会“凑十法”的优越性。

翻阅资料，笔者发现专家们对此课争论最多的是“9加几算法多样化与最优化”这一问题。一部分人认为，“凑十法”是最优化的方法，其他许多方法的实质往往只是“凑十法”的衍生。因此，在“9加几”的起始课中，教师应千方百计地将学生引导到“凑十法”上来。也有一部分人认为，由于学生生活背景和思维发展水平存在着比较大的差异，在起始课硬要拉学生学习“凑十法”，容易挫伤他们的学习积极性，应该让学生自主选择合适的方法相对比较合理。那么，这节课到底该教些什么？如何教呢？

【追溯】新课程倡导数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。“9加几”作为一节技能课，不仅要使学生掌握基本技能操作的程序，还要使学生理解程序和步骤的道理。作为教师，首先要做的是熟悉教材中的每个知识点、清楚知识链接的逻辑体系。此课的算理算法是什么、知识生长点在哪里，这些都是我们一线教师需要研究和分析的。为此笔者翻阅了相关资料，对算理、算法、十进制等文化进行了追溯。

算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中的思维方式，解决为什么这样算的问题。算法就是计算的方法，主要是指计算的法则，是简约了复杂的思维过程，添加了人为规则后的程式化的操作步骤，解决如何算得方便、准确的问题。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，两者相辅相成。

十进制计数法包括十进位和位值制两条原则，“十进”即满十进一；“位值”则是同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。亚里士多德称人类普遍使用十进制，只不过是绝大多数人生来就有10根手指这样一个解剖学事实的结果。实际上，在古代世界独立开发的有文字的计数体系中，除了巴比伦文明的楔形数字为六十进制、玛雅数字为二十进制外，几乎全部为十进制。

这些数学文化都是需要我们教师在课前就理解与明了的。

【思索】

（1）未学习之前，孩子们对“9加几”的掌握程度如何？是仅会背答案式的计算，还是已初步掌握了算理与算法？

（2）除了人教版教材外，其他版本教材中对“9加几”的内容是如何设置、编排的？

（3）教师该如何辩证地使用教材，才有利于学生的体验与探索？

前测·实施·剖析

【前测】本次前测分师生两个层面展开。

教师层面：在区教师学科培训时以“人教版9加几”的教材为载体，采用访谈与问卷相结合的形式进行调研。主要目的是全面了解全区小学数学教师对教材的分析水平与教材缺失的补充能力。

学生层面：在中心城区小学与农村小学各随机抽测了部分一年级的学生（在“9加几”教学前），分两个梯度前测。梯度一，全员参与，口算9加几；梯度二，访谈口算正确的学生，怎样算、为什么这样算？目的是较全面地了解一年级学生“9加几”计算的一般状态，为教学提供一个有效数据及错例借鉴，也为下阶段进一步学习相关内容提供前位服务。

【剖析】结合前测的实施过程以及数据的收集汇总，笔者从师生两个层次对“9加几”的教材编排与教学策略进行了剖析。

教师层面：笔者专门就“9加几”这课主题图中直接提出“凑十法”、缺乏主动构建以及此课的算理、算法、认知基点等问题和参加学科培训的教师代表进行了交流，将教师们的意见汇总如下：

表一：区学科培训教师“9加几”相关内容调查结果统计表（共计92人）

内容 算理、算法 知识构建 主题图

情况 熟知 基本了解 茫然 完全清晰 部分清晰 茫然 完全认同 似有疑问 需要修改

人数 90 1 1 41 49 2 30 35 27

1.算理、算法清晰明了

分析上述统计数据，我们不难发现，一线教师对于计算课中必须要掌握的算理与算法情况乐观。他们基本上都能准确地说出“因为9加1可以凑成十，所以把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13”。可以说，我们一线教师对于“9加几”这一课的算理与算法是胸有成竹的。

2.知识构建喜忧参半

从知识构建的经纬度分析：知识构建的经度指的是同类知识间的纵向联系（即前后联系），比如此课的基础是不进位加法，为以后进一步学习进位加法及退位减法等做好准备。知识构建的纬度则是指跨类别知识的横向沟通，如此课的知识生长点即是十进制与计数。

从上述统计表的第二栏“知识构建”中我们可以发现，完全清晰与部分清晰的比例基本对等。这里的完全清晰是指知识的纵向联系与横向沟通均一清二楚（至少经过提示可以想到），而部分清晰的49位教师一般是只能从纵向角度讲出的是知识间的前后联系，他们心目中此课的知识生长点一般是前面学习的不进位加法与数的认识，对于十进制、位值制这些横向沟通则较少涉及。

从教材处理的能动性分析：不少教师认为教材是专家编的，而专家都是高水平的，所以教学过程只要按照教材内容执行即可。如此这般照本宣科，久而久之师生成了教材的“奴隶”。从统计表的第三栏就可以看出，依然有33%的教师对教材执膜拜的态度；67%的教师则开始有辩证看教材的意识，并且在这部分教师中有近一半明确提出主题图需要修改。endprint

学生层面：本次抽测共收回有效问卷582份，其中中心城区小学400份，农村小学182份。笔者整理汇总了参测学生 “9加几” 的口算情况及口算正确学生对“9加几”算理、算法的了解程度，分析汇总如下（数据精确到小数点后一位）：

表二：“9加几”口算情况统计表（5分钟20题）

答对情况

地域 20题 15～19题 10～14题 5～9题 5题以下

中心城区小学 40.0% 35.0% 17.5% 5.0% 2.5%

农村小学 26.9% 36.8% 14.8% 12.1% 9.4%

表三：“9加几”算法、算理了解情况统计表

地域 算法 会表达算理

凑十法 背答案 扳手指

中心城区小学 47.0% 33.0% 20.0% 8.0%

农村小学 31.9% 29.1% 39.0% 2.2%

1. 现实起点分析

随着学前教育的逐步规范与家庭教育的日益重视，孩子们认知的现实起点也日渐提升。从上述两个统计表中我们可以对比看到，无论是中心城区小学的孩子，还是农村小学的学生，他们基本都在学习之前已经会算9加几的题目，而且计算正确的题数在15道及以上的学生也占了64% ～75%的比例。其他的学生也基本会算，只是速度较慢。因此，可以看出，学生已有“9加几”的认知基础，而且现实起点是高于逻辑起点的。

2. 内涵达成解剖

同时我们也对计算正确率较高的学生进行了访谈。首先，从算法上看，除了“凑十法”外，有很多孩子是在背结果写答案，而通过扳手指的办法数出来的学生也不在少数；其次，从算理上说，基本没有学生能清楚明白地表达计算过程中的思维方式，对于为什么可以这样算的认识是混沌的。

这说明，学生前期对“9加几”的掌握，在很大程度上是依赖于成人的告知，然后被动地记忆。所以算法即便是有，大多也只是来源于被动的获取，而对算理的认知就基本上是空白的了。因此，算理与算法作为本课的重难点，急需教师提供给学生一个主动建构与领悟的过程。

研究·解读·架构

【研究本质——把握知识间多维度的内在联系】

1.把握基本线索，理清知识之间的内在联系

综观各版本教材，“9加几”是计算教学的一个分水岭，此前的“10以内的加减法”和“10加几及相应的减法”都是借助加减法的意义来进行计算的。“9加几”第一次呈现抽象的计算方法——“凑十法”，其后续的教学内容无非是加数数量的增加或进位次数的增多，它是计算教学算法上的一次扩充，表明计算是有方法可循的。本节课在计算教学上从算法角度来说起着承前启后的作用。

再看“凑十法”本身，它的计算原理是先凑十，再加余，即“9加1变成10，10个一可以绑成一捆变成1个十，1个十和几个一可以组成十几”。可见，其基本结构是数的“十进制计数法”。

2.总览知识全局，把握知识之间的内在联系

数概念是按照10以内、20以内、100以内、万以内……这样的方式编排的，计算也是按照10以内数的计算、20以内数的计算、100以内数的计算、万以内数的计算……来编排。这样，先学数的概念，再学相应的计算，将计算与数的概念的学习紧密地结合在一起。教学“9加几”时，要将数概念与相应的计算相互沟通起来，使学生对它们有整体性的认识，进而有助于学生对数学知识形成一个合理的认知结构。

【对比解读——加强各版本教材间纵横交错的联系】

笔者通过观察各版本教材，发现“9加几”这一课在编排上除了单元分布、课时次序有所差异外，教材提供的主题图也有微小的调整。那么主题图的引领和教学纵向的调整对孩子学习有怎样的影响呢？为此，笔者对人教版、苏教版、北师大版、沪教版相关内容进行了比较分析和解读。

表四：各版本教材“9加几”内容编排的比较概述

内

容

版

本 单元分布 主题图引领 知识基础

一年级上期中前 一年级上期中后 多种方法 凑十法 数的认识 不进位加法 十进制

直接 间接 20以内 100以内

人教版 单元

第一课时√ √ √ √ √ √

苏教版 单元

第一课时√ √ √ √ √ √

北师大版 单元

第四课时√ √ √ √ √ √

沪教版 单元

第六课时√ √ √ √ √

从上面的统计表与各版本教材截图中我们可以解读到以下几点教材编排意图：

（1）各版本都在一年级上册中安排了“9加几”的教学，都是在20以内数的认识、10的组成、10加几以后教学。

（2）各版本教材都将“凑十法”定为了重要的计算方法。人教版、苏教版和北师大版都呈现接着数和“凑十法”两种方法，以体现算法多样化，沪教版只有“凑十法”一种。人教版和苏教版对“凑十法”的教学采用拆小数凑大数的方法，北师大版和沪教版则将拆大数凑小数与拆小数凑大数同时呈现。

（3）在算法、算理的呈现上面，人教版和苏教版都是将盒子外的一个物体移进盒子内凑成一盒，形成凑十的思路，注重凑十的形象思维。北师大版和沪教版则是通过摆小棒、圈点子图、用计数器等方法，在注重凑十的形象思维外，还突出满十进一的十进制计数法，诠释了“凑十法”与十进制计数法之间的联系。

综上，各版本教材在知识技能层面，都要求学生掌握“凑十法”，强调通过动手操作理解凑十的过程；在内涵达成层面上，苏教版和人教版更侧重算法的抽象概括，沪教版和北师大版更侧重“凑十法”的生长点。

【有效架构——利用知识生长点促进学生主动构建】endprint

在教学实践中，常常会出现学生对“凑十法”排斥的情况，一方面是一部分学生已经能计算9加几，另一方面是教材在编排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的组成和10加几后，加入了钟表的认识这一单元，再出现9加几，这样的编排从某种程度上割裂了计算教学之间的连贯性。其次，在9加几的教材主题图中，教材以实物、语言叙述、在9+4算式下面注出凑十的过程及相对照的方式，呈现“凑十”和口算的过程。体现的仅仅是用“凑十法”计算的示范与学法指导，没有涉及“凑十法”所需求的知识生长点，致使教师在教学时为了让学生少走弯路，硬生生把学生往“凑十法”一条羊肠小道赶，忽视了学生自主构建的需求，也就无法体会“凑十法”的优越性。

1. 借助数的组成进行构建

首先，课件出示均匀摆放的小棒：左边10根，右边5根。请学生说是多少根小棒、怎么知道的；接着出示14根均匀摆放的小棒图，让学生想用什么办法能很快看出是多少根小棒，引导学生操作、讨论，总结出分成10和4两部分。

利用数的组成让学生在原有的经验基础上，通过操作讨论、观察比较、归纳总结，促使学生主动积极地参与到“凑十法”的探寻过程中。

2. 结合十进制计数法进行构建

首先，呈现左边9根小棒、右边5根小棒，让学生思考：怎样一眼看出是多少根小棒？学生经过操作、讨论，总结得出：从右边5根小棒里移1根到左边来与9凑成10，一眼就能看出是14根；或是将左边的9根小棒移出5根到右边与5凑成10，再与剩下的4根合起来。接着，呈现左边8根小棒、右边5根小棒，左边7根小棒、右边5根小棒，让学生也按照上面的要求操作，使学生主动构建凑十的过程。最后让学生比较两种拆分方法，得出：拆小数比较方便。通过操作、演示，帮助学生形成凑十法的表象，再通过口述凑十的过程，把表象转化成学生头脑中的思维程序，使学生不仅知其然，还要知其所以然，从而保证了在进位加法中的有效迁移。

3.在知识的沟通中进行构建

教学中，除了让学生会计算“9加几”外，还要将“9加几”与“9加1加几”进行沟通，让学生自主构建“9加1变成10，10个一可以绑成一捆变成1个十，1个十和几个一可以组成十几”这个过程，进而实现将“9加几”转化为“10加几”。促使学生用变化与联系的眼光体会知识间的联系，既有利于学生主动构建“凑十法”，又帮助学生形成转化思想。

4.在规律的探索中自主建构

在学生发现“9加几”所得的结果“十位上都是1，个位上的数比加数少1”这一规律后，教师设问：“为什么少1？”引导学生总结出少了的1与9凑成了10，将“9加几”的算法与算理自主融合。

行文至此，笔者对“9加几”的教材进行了对比分析，结合学生实际，整体改进、架构，以“知识生长点”有效促进学生整体构建知识。

（浙江省宁波市鄞州区宋诏桥小学 315100）endprint

在教学实践中，常常会出现学生对“凑十法”排斥的情况，一方面是一部分学生已经能计算9加几，另一方面是教材在编排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的组成和10加几后，加入了钟表的认识这一单元，再出现9加几，这样的编排从某种程度上割裂了计算教学之间的连贯性。其次，在9加几的教材主题图中，教材以实物、语言叙述、在9+4算式下面注出凑十的过程及相对照的方式，呈现“凑十”和口算的过程。体现的仅仅是用“凑十法”计算的示范与学法指导，没有涉及“凑十法”所需求的知识生长点，致使教师在教学时为了让学生少走弯路，硬生生把学生往“凑十法”一条羊肠小道赶，忽视了学生自主构建的需求，也就无法体会“凑十法”的优越性。

1. 借助数的组成进行构建

首先，课件出示均匀摆放的小棒：左边10根，右边5根。请学生说是多少根小棒、怎么知道的；接着出示14根均匀摆放的小棒图，让学生想用什么办法能很快看出是多少根小棒，引导学生操作、讨论，总结出分成10和4两部分。

利用数的组成让学生在原有的经验基础上，通过操作讨论、观察比较、归纳总结，促使学生主动积极地参与到“凑十法”的探寻过程中。

2. 结合十进制计数法进行构建

首先，呈现左边9根小棒、右边5根小棒，让学生思考：怎样一眼看出是多少根小棒？学生经过操作、讨论，总结得出：从右边5根小棒里移1根到左边来与9凑成10，一眼就能看出是14根；或是将左边的9根小棒移出5根到右边与5凑成10，再与剩下的4根合起来。接着，呈现左边8根小棒、右边5根小棒，左边7根小棒、右边5根小棒，让学生也按照上面的要求操作，使学生主动构建凑十的过程。最后让学生比较两种拆分方法，得出：拆小数比较方便。通过操作、演示，帮助学生形成凑十法的表象，再通过口述凑十的过程，把表象转化成学生头脑中的思维程序，使学生不仅知其然，还要知其所以然，从而保证了在进位加法中的有效迁移。

3.在知识的沟通中进行构建

教学中，除了让学生会计算“9加几”外，还要将“9加几”与“9加1加几”进行沟通，让学生自主构建“9加1变成10，10个一可以绑成一捆变成1个十，1个十和几个一可以组成十几”这个过程，进而实现将“9加几”转化为“10加几”。促使学生用变化与联系的眼光体会知识间的联系，既有利于学生主动构建“凑十法”，又帮助学生形成转化思想。

4.在规律的探索中自主建构

在学生发现“9加几”所得的结果“十位上都是1，个位上的数比加数少1”这一规律后，教师设问：“为什么少1？”引导学生总结出少了的1与9凑成了10，将“9加几”的算法与算理自主融合。

行文至此，笔者对“9加几”的教材进行了对比分析，结合学生实际，整体改进、架构，以“知识生长点”有效促进学生整体构建知识。

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在教学实践中，常常会出现学生对“凑十法”排斥的情况，一方面是一部分学生已经能计算9加几，另一方面是教材在编排上有一定的缺陷。首先，人教版教材在10的组成和10加几后，加入了钟表的认识这一单元，再出现9加几，这样的编排从某种程度上割裂了计算教学之间的连贯性。其次，在9加几的教材主题图中，教材以实物、语言叙述、在9+4算式下面注出凑十的过程及相对照的方式，呈现“凑十”和口算的过程。体现的仅仅是用“凑十法”计算的示范与学法指导，没有涉及“凑十法”所需求的知识生长点，致使教师在教学时为了让学生少走弯路，硬生生把学生往“凑十法”一条羊肠小道赶，忽视了学生自主构建的需求，也就无法体会“凑十法”的优越性。

1. 借助数的组成进行构建

首先，课件出示均匀摆放的小棒：左边10根，右边5根。请学生说是多少根小棒、怎么知道的；接着出示14根均匀摆放的小棒图，让学生想用什么办法能很快看出是多少根小棒，引导学生操作、讨论，总结出分成10和4两部分。

利用数的组成让学生在原有的经验基础上，通过操作讨论、观察比较、归纳总结，促使学生主动积极地参与到“凑十法”的探寻过程中。

2. 结合十进制计数法进行构建

首先，呈现左边9根小棒、右边5根小棒，让学生思考：怎样一眼看出是多少根小棒？学生经过操作、讨论，总结得出：从右边5根小棒里移1根到左边来与9凑成10，一眼就能看出是14根；或是将左边的9根小棒移出5根到右边与5凑成10，再与剩下的4根合起来。接着，呈现左边8根小棒、右边5根小棒，左边7根小棒、右边5根小棒，让学生也按照上面的要求操作，使学生主动构建凑十的过程。最后让学生比较两种拆分方法，得出：拆小数比较方便。通过操作、演示，帮助学生形成凑十法的表象，再通过口述凑十的过程，把表象转化成学生头脑中的思维程序，使学生不仅知其然，还要知其所以然，从而保证了在进位加法中的有效迁移。

3.在知识的沟通中进行构建

教学中，除了让学生会计算“9加几”外，还要将“9加几”与“9加1加几”进行沟通，让学生自主构建“9加1变成10，10个一可以绑成一捆变成1个十，1个十和几个一可以组成十几”这个过程，进而实现将“9加几”转化为“10加几”。促使学生用变化与联系的眼光体会知识间的联系，既有利于学生主动构建“凑十法”，又帮助学生形成转化思想。

4.在规律的探索中自主建构

在学生发现“9加几”所得的结果“十位上都是1，个位上的数比加数少1”这一规律后，教师设问：“为什么少1？”引导学生总结出少了的1与9凑成了10，将“9加几”的算法与算理自主融合。

行文至此，笔者对“9加几”的教材进行了对比分析，结合学生实际，整体改进、架构，以“知识生长点”有效促进学生整体构建知识。

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