让数学变得不再陌生

范存丽+薛铮

一

德国教育家第斯多惠曾说过：“教育的艺术不在于传授的本领，而在激励、唤醒和鼓舞。”吴正宪老师的课堂教学其中一个成功之处就是激励、唤起和鼓舞学生。在她的数学课堂上的数学内容流淌在教师与学生、学生与学生的心灵对话之中。每每聆听吴老师的课，不仅是参与其中的学生，就连教师也会被深深地吸引，随着师生真切交流的旋律而跃动。

冷静下来思考其中的原因，这与了解学生、尊重学生、真正以学生为主体是分不开的。数学课上，数学和学生二者孰轻孰重？吴老师以亲身实践行动着、说明着学生是课堂上最重要的。

如何在课堂上真正凸显学生的主体性，体现出学生在教学行进过程中的重要性，发挥出学生作为最重要课程资源的作用呢？显然提取和运用好学生的经验是关键。将学生的经验用于帮助学生学习数学，使得学生熟悉的数学黏住学生。美国教育家杜威强调，教育必须建立在经验的基础上，教育就是经验的生长和经验的改造，学生从经验中产生问题，而问题又可以激发他们去探索知识、产生新观念。前苏联心理学家维果茨基也很重视学生原有的经验与新知识之间的相互作用，并用“最近发展区”的理论来描述这种相互关系，他把学习者的日常经验称为“自下而上的知识”，把学习教材内容称为“自上而下的知识”。“自下而上的知识”只有与“自上而下的知识”相联系，才能成为系统；而“自上而下的知识”只有与“自下而上的知识” 相联系，才能获得发展的基础。

在吴老师的课堂里，正是因为尊重了学生的经验，学生在学习“熟悉的数学”“有意思的数学”，从而激发出学生的奇思，荡漾出学生的妙想，澎湃出师生之间的真切，呈现出课堂的生态！

二

（一）说学生能懂的话——高深莫测不如简单明了

关注学生经验，说学生能懂的话，才能跨越师生之间的沟坎、数学与学生之间的沟壑，让教师和数学真正走入学生的心灵。

师生之间不可避免地存在着差别，对待学习的数学知识，教师已知，学生未知，已知与未知的对接是教学的艺术。吴老师的话语生动而亲切，很适合学生。她从学生的经验出发，在课堂上说学生能懂的话。高深莫测不如简单明了。通过简单明了的语言，让学生更为顺畅地学习数学内容，从而提高教学的有效性。

1.用方法命名，印象深刻

吴老师在教学“估算”时，关注估算方法的多样化。用学生能懂的语言给多种多样的估算方法取了名字。

案例：“估算”教学片段

在出示曹冲称象的故事后，出示了六次称石头的结果：

次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

重量（千克） 328 346 307 377 398 352

课堂上学生根据已知的数据进行估算，待学生中出现了各种估算方法后，进入课堂汇报交流。

小估——吴老师先圈出“300×6”，学生说道理，学生把所有的数都估成300，再乘6。吴老师说：“本来是300多一些，这位同学都估成300。你们能把他这种往小里估的方法取个有特点的名字吗？”学生说：“小估。”（全场笑）吴老师尊重学生的命名说：“本来是300多一些，你却往小里估，那就叫“小估”，好不好？”学生都说：“好！”学生明白了“小估”的特点。

大估——吴老师圈出“400×6”，学生说道理后命名为“大估”。

大小估——吴老师圈出“300×3=900，400×3=

1200，900+1 200=2 100”，学生说，前面三个数比较接近300，我就给它估成300；后三个数比较接近400，我就给它估成400，然后再把算出来的得数加起来，是2100。学生并美其名为“大小估”。

中估——吴老师圈出“350×6”。学生说：“把全部的都估成350，然后再乘6。”吴老师说：“他不往小的估，也不往大的估，那这个特点很鲜明了。”学生命名为“中估”。

四舍五入估——吴老师圈出“330+350+310+380

+400+350”，学生命名时，根据特点说了“双估”“单估”“双单估”“上下估”等多个名字，在吴老师的引导下，学生最后直指其本质，命名为“四舍五入估”。

凑估——吴老师指向“300×7=2100”，学生命名为多估、凑估、凑加估等。

这节课的教学内容是估算，学生出现这么多的估算策略，怎样使大家明白并且印象深刻呢？正是这些引得学生开心而笑的名字，使得学生对估算策略清晰而有好感。

2.将道理拟人化，清晰明确

在教学“数的整除复习课”时，一位同学说：“2是最大公因数。”吴老师在一个恰当的时候进行回应：“2和谁有公因数呀？”最后学生自然明确“至少两个人才能找到公共的特征，至少两个数才能找到它们的公因数”。如果完全用数学语言来叙述，学生会觉得枯燥难懂。吴老师适时地抓住本质特征，重要的一个字是“公”，机智地将数学内涵与学生的经验相沟通，谁和谁才有公因数，为公因数穿上了学生熟识的外衣，学生更为深刻地明白了公因数、懂得了公因数，拉近了公因数与学生的距离。

吴老师所用的语言那么简单，符合儿童的“话语”经验；吴老师的语言那么明了，回归概念的本质。

（二）让学生说自己的话——严格的不理解不如不严格的理解

在课堂上，要允许学生说自己的话。与其让学生将一套套规范严格的语言模仿出来，不如学生用自己的不严格的话语把理解的内容进行表达。

概念不能植入学生头脑，学生要将概念内化，才能成为他们自己的智慧，才能对接数学结构和学生认知结构。要使学生顺利地将概念内化，教师就要在教学设计时更好地关注学生与教学内容有关的经验，积极地调动学生的生活经验和思维经验，在学生原有认知的基础上进行教学，并允许以及鼓励学生更多地用自己的语言来表述概念。

1.调动学生生活经验endprint

生活中，有的经验可以使学生感觉淡漠，使学生缺乏感受性和反应性，因而，就会限制将来获得比较丰富经验的各种可能性。而有的经验可能立即使人感到欢快，然而它却促使人们养成马马虎虎和不细心的态度；这种态度就会改变后来的经验的性质。故此，在调动学生经验时，首先要考虑经验带给学生的情感，要调动那些能够促进学生积极情感的经验。

案例：“年、月、日”教学片段

吴老师关注提取儿童的生活经验，请同学们用生活中经历的一些事情，描述一下1年、1月、1日有多长。

学生1：今年春节到明年再过春节是1年。

学生2：今年5月7日是我的生日，再到明年的5月7日，我长大了1岁，也就是又过了1年。

学生3：我爸爸这个月领工资到下个月再领工资就是1个月。

学生4：今天这时到明天这时就是1日。

……

课堂上，同学们七嘴八舌地说着、笑着，回味着生活的经历，初步体会了年、月、日的时间概念。学习年、月、日这样的内容不像学习时、分、秒，教师不可能让学生现场体验。但是通过这样的巧妙设计，让学生通过自己的语言、自己的经验，将隐藏于他们内心深处的各种体验调入“前台”，这样学生对新知的理解就会变得更加容易，感悟也会更加深刻。

2.调动学生思维经验

“分数的初步认识”是人教版三年级上册的一个教学内容，是学生对数域的第一次拓展，学生在理解上会产生一定的困难。吴老师则通过学生感兴趣的内容用易懂的语言，充分调动起学生的思维经验，巧妙解决了这一教学难点。

案例：“分数的初步认识”教学片段

上课伊始，吴老师首先提出了一个富有挑战且符合儿童年龄特征的任务：“能用你喜欢的方式来表示1个桃子的一半吗？”

学生的兴趣被大大地激发，通过这样有意思的任务，吴老师逐步引出分数的概念，让学生对分数有一个初步的认识。

但其中有一名学生却始终坚持己见用画图的形式来表达“1个桃子的一半”，没有体会出分数这种表示方法的简洁性。于是吴老师在课末，将他请到了讲台上，让他用自己的方法来表示1个桃子的，他径直走上了讲台开始画桃子，没画一会儿就走过来对吴老师说：“老师，这种方法太麻烦了，还是分数表示好。”边说边使劲把画在黑板上的桃子图擦掉了。

学生原有的经验起初可以顺利地表示出“桃子的一半”。但随着平均分的份数的增加、所分事物的变化，使得他们发现原有经验不能满足现状，必须调整，从而逐渐接纳了“分数”这个新朋友。就这样，学生将学习内容与已有的知识和经验联系起来，没有机械的语言，没有生硬的给予，自然地实现了学生自我的主动建构。

听过吴老师课的人都有一个突出的感受，就是她把单纯的讲授变成了平等的对话，有更多的机会听学生说，于是产生了如此有效的交流。在课堂上，吴老师关注的不是对学生说了多少话，而是让学生自己来说一说，来发现数学的奥秘。

吴老师尊重学生朴素的语言，尊重学生的原生态，尊重学生运用自身经验内化概念的过程。正是吴老师的尊重，换来了学生明明白白的话语，换来了学生发挥经验、内化概念。

（三）做学生乐做的事——说得好还要做得好

“做数学”是目前数学教育的一个重要观点，它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性。研究表明：人们在学习时，如果仅靠听和看，最多能吸收30%的新知；如果动手做，可以吸收90%以上的新知识。

1.模拟操作，适时唤醒学生的经验

案例：“平移与旋转”教学片段

学生通过将各种游乐项目（如激流勇进、波浪飞椅、弹射塔、勇敢者转盘、滑翔索道等）分类，初步了解了平移、旋转。

吴老师：请同学们先闭上眼睛静静地想一想什么是平移，什么是旋转。

整个课堂静悄悄的，过了一会儿——

吴老师：请同学们站起身来用自己的动作表示平移和旋转。

孩子们都迫不及待地要来“表演”……

学生：我这样走就是身体向前平移（边说边向前走了几步），这样就是旋转（为了与平移区分，他又原地转了一圈）。

吴老师通过让学生模拟操作的形式明白概念。学生无法用语言表述平移、旋转，却可以通过“表演”将经验与概念对接。以现场“做”的形式唤醒学生经验，使得学生的学习过程简单、明了而有趣。

2.角色扮演，做得好自然说得好

给学生提供充分的数学活动的机会，学生经历了做的过程，思考就有了载体。通过角色扮演，学生更容易入情入境，更容易通过主动感受进行学习，做得好自然说得好。

案例：“平移与旋转”教学片段

屏幕上出现了一个有趣的题目：你是一名出租汽车公司的调度员，你的任务就是应客户要求，调度车辆到达客户指定的地点。你能做到吗？试一试吧！

吴老师提出活动要求：先独立思考小汽车做的是平移还是旋转运动；再看它向什么方向，移动了几个格子，并把移动的过程记录下来。

明确要求后，学生们利用自己手中的小汽车学具移动着，进一步感受平移方向的变化。

学生通过亲身参与扮演运动的物体，明确地感受到了平移与旋转，语言表达会在理解的基础上自然生成，当然还需要教师的指导、帮助。与其说很多话让学生去体会、理解，何不让学生亲身参与、主动思考呢？

3.适度等待，让学生自己运用经验

教学中适度地等待，等待学生自主地运用经验，自主地将经验与新知相联系。学生经验流出之时，正是学生自主建构成功之刻。

案例：“积的变化规律”教学片段

教师要求学生根据两组算式，自己再举一个例子。

教师：你们刚才都互相看了，你们写的跟她写的一样吗？endprint

学生：不一样。

教师：请你今天晚上，把具有这种规律的所有的乘法算式全都写完。（稍停）我看有的同学张嘴了，怎么了？今天晚上能干完这件事儿吗？（稍停）我看你摇头了，那我给你一个星期的时间吧。一个月吧！

学生：我认为永远也写不完。

教师：同意吗？

学生：同意！

教师：太多了！这一生一世也写不完呀！那下面这项任务可就太具有挑战性了！请你们把永远也写不完的算式中藏着的规律，用一个简洁的方式写出来。（稍停顿）我给你们点儿建议吧，可以用一句话、一组算式，还可以借助小图形来帮帮忙。试试看，写在黄色纸上。

教师大概等待了五分钟的时间，等出了学生精彩的“作品”。

这是由吴老师指导，北京黄城根小学薛铮老师执教的一堂课。吴老师在指导过程中，要求执教教师不要急于公布标准统一的结论，让学生在适度的等待中独立思考，让他们学会运用已有的经验表达自己的想法。正如吴老师曾说过的：“等待是一种教学理念；等待是一种教学策略；等待是一种教学艺术。”

三

“水有源，故其流不穷；木有根，故其生不穷。”学生有经验，自然就有教育的可能和空间。经验是儿童数学学习的重要资源，学生的学习过程就是一个经验的激活、利用、调整、提升的过程，是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。

（一）激活经验

我们所谓正规的教育已经使我们的学生误以为自己没有了直觉，其实它就深藏在某个角落，等待教师将它释放。而这就需要教师通过精心的设计，调动起学生以往积累的经验。直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以丰富的经验为基础，否则是不会迸发出思维的火花的。这就需要我们引导学生用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”，使数学变得“简单些”。

（二）利用经验

小学数学不应过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的语言诠释对数学的理解，从而把握住数学的魂。教师不应刻意追求课堂的尽善尽美，而应鼓励学生用原生态的，甚至是有些粗糙的语言诠释自己对数学意义的理解，使数学变得“朴实些”。

（三）调整经验

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式等的不同，他们的经验也往往是个性化的，需要教师把人为制造的难点降下来，充分关注学生个性化的学习需求，使数学变得“容易些”。那些肤浅的、片面的、零散的甚至错误的经验则需要教师有选择地利用，并不断地调整、改造。

（四）提升经验

知识可以通过书本、被告知等方式获得，而经验只有通过自己的“做”来获得。通过教师精心设计的课堂活动，学生在经历经验的激活、利用、调整的过程后，将经验进行提升，从而获得更为丰富的经验，为再一次被激活做好充分的准备。在这种螺旋上升的发展过程中，学生的经验得以进一步丰富和发展，学习的质量进一步提高，从而构建起属于自己的数学。

一位诗人说：一切经验是闪光的拱门，辉映着人迹未到的世尘，只要我向着它步步靠近，那里的边缘便消逝无存。课堂是生命与生命的对话，课堂是经验与经验的对接。教师与学生互相靠近，将教师的“学术”经验与学生的已有经验对接，教师进入学生的话语系统，进入学生的思维系统，师生才能真诚对话。

（北京教科院基教研中心 100045

北京市西城区黄城根小学 100034）endprint

学生：不一样。

教师：请你今天晚上，把具有这种规律的所有的乘法算式全都写完。（稍停）我看有的同学张嘴了，怎么了？今天晚上能干完这件事儿吗？（稍停）我看你摇头了，那我给你一个星期的时间吧。一个月吧！

学生：我认为永远也写不完。

教师：同意吗？

学生：同意！

教师：太多了！这一生一世也写不完呀！那下面这项任务可就太具有挑战性了！请你们把永远也写不完的算式中藏着的规律，用一个简洁的方式写出来。（稍停顿）我给你们点儿建议吧，可以用一句话、一组算式，还可以借助小图形来帮帮忙。试试看，写在黄色纸上。

教师大概等待了五分钟的时间，等出了学生精彩的“作品”。

这是由吴老师指导，北京黄城根小学薛铮老师执教的一堂课。吴老师在指导过程中，要求执教教师不要急于公布标准统一的结论，让学生在适度的等待中独立思考，让他们学会运用已有的经验表达自己的想法。正如吴老师曾说过的：“等待是一种教学理念；等待是一种教学策略；等待是一种教学艺术。”

三

“水有源，故其流不穷；木有根，故其生不穷。”学生有经验，自然就有教育的可能和空间。经验是儿童数学学习的重要资源，学生的学习过程就是一个经验的激活、利用、调整、提升的过程，是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。

（一）激活经验

我们所谓正规的教育已经使我们的学生误以为自己没有了直觉，其实它就深藏在某个角落，等待教师将它释放。而这就需要教师通过精心的设计，调动起学生以往积累的经验。直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以丰富的经验为基础，否则是不会迸发出思维的火花的。这就需要我们引导学生用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”，使数学变得“简单些”。

（二）利用经验

小学数学不应过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的语言诠释对数学的理解，从而把握住数学的魂。教师不应刻意追求课堂的尽善尽美，而应鼓励学生用原生态的，甚至是有些粗糙的语言诠释自己对数学意义的理解，使数学变得“朴实些”。

（三）调整经验

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式等的不同，他们的经验也往往是个性化的，需要教师把人为制造的难点降下来，充分关注学生个性化的学习需求，使数学变得“容易些”。那些肤浅的、片面的、零散的甚至错误的经验则需要教师有选择地利用，并不断地调整、改造。

（四）提升经验

知识可以通过书本、被告知等方式获得，而经验只有通过自己的“做”来获得。通过教师精心设计的课堂活动，学生在经历经验的激活、利用、调整的过程后，将经验进行提升，从而获得更为丰富的经验，为再一次被激活做好充分的准备。在这种螺旋上升的发展过程中，学生的经验得以进一步丰富和发展，学习的质量进一步提高，从而构建起属于自己的数学。

一位诗人说：一切经验是闪光的拱门，辉映着人迹未到的世尘，只要我向着它步步靠近，那里的边缘便消逝无存。课堂是生命与生命的对话，课堂是经验与经验的对接。教师与学生互相靠近，将教师的“学术”经验与学生的已有经验对接，教师进入学生的话语系统，进入学生的思维系统，师生才能真诚对话。

（北京教科院基教研中心 100045

北京市西城区黄城根小学 100034）endprint

学生：不一样。

教师：请你今天晚上，把具有这种规律的所有的乘法算式全都写完。（稍停）我看有的同学张嘴了，怎么了？今天晚上能干完这件事儿吗？（稍停）我看你摇头了，那我给你一个星期的时间吧。一个月吧！

学生：我认为永远也写不完。

教师：同意吗？

学生：同意！

教师：太多了！这一生一世也写不完呀！那下面这项任务可就太具有挑战性了！请你们把永远也写不完的算式中藏着的规律，用一个简洁的方式写出来。（稍停顿）我给你们点儿建议吧，可以用一句话、一组算式，还可以借助小图形来帮帮忙。试试看，写在黄色纸上。

教师大概等待了五分钟的时间，等出了学生精彩的“作品”。

这是由吴老师指导，北京黄城根小学薛铮老师执教的一堂课。吴老师在指导过程中，要求执教教师不要急于公布标准统一的结论，让学生在适度的等待中独立思考，让他们学会运用已有的经验表达自己的想法。正如吴老师曾说过的：“等待是一种教学理念；等待是一种教学策略；等待是一种教学艺术。”

三

“水有源，故其流不穷；木有根，故其生不穷。”学生有经验，自然就有教育的可能和空间。经验是儿童数学学习的重要资源，学生的学习过程就是一个经验的激活、利用、调整、提升的过程，是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。

（一）激活经验

我们所谓正规的教育已经使我们的学生误以为自己没有了直觉，其实它就深藏在某个角落，等待教师将它释放。而这就需要教师通过精心的设计，调动起学生以往积累的经验。直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以丰富的经验为基础，否则是不会迸发出思维的火花的。这就需要我们引导学生用“熟悉的”去解释“陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”，使数学变得“简单些”。

（二）利用经验

小学数学不应过于强调对某些数学文字的表面理解，而应力求引导学生感悟数学的本质，鼓励学生用自己的语言诠释对数学的理解，从而把握住数学的魂。教师不应刻意追求课堂的尽善尽美，而应鼓励学生用原生态的，甚至是有些粗糙的语言诠释自己对数学意义的理解，使数学变得“朴实些”。

（三）调整经验

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式等的不同，他们的经验也往往是个性化的，需要教师把人为制造的难点降下来，充分关注学生个性化的学习需求，使数学变得“容易些”。那些肤浅的、片面的、零散的甚至错误的经验则需要教师有选择地利用，并不断地调整、改造。

（四）提升经验

知识可以通过书本、被告知等方式获得，而经验只有通过自己的“做”来获得。通过教师精心设计的课堂活动，学生在经历经验的激活、利用、调整的过程后，将经验进行提升，从而获得更为丰富的经验，为再一次被激活做好充分的准备。在这种螺旋上升的发展过程中，学生的经验得以进一步丰富和发展，学习的质量进一步提高，从而构建起属于自己的数学。

一位诗人说：一切经验是闪光的拱门，辉映着人迹未到的世尘，只要我向着它步步靠近，那里的边缘便消逝无存。课堂是生命与生命的对话，课堂是经验与经验的对接。教师与学生互相靠近，将教师的“学术”经验与学生的已有经验对接，教师进入学生的话语系统，进入学生的思维系统，师生才能真诚对话。

（北京教科院基教研中心 100045

北京市西城区黄城根小学 100034）endprint