抓住问题本质 促进模型建立

戎曙光

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在教学中，引导学生抓住问题的本质进行思考，有利于学生更好地建立数学模型。人教版小学数学五年级下册“打电话”一课，一个重要目标是要让学生在设计打电话方案的基础上发现规律，建立解决这类问题的模型，从而帮助学生建立初步的模型思想，提高学习数学的兴趣，培养学生的应用意识。在打电话问题中，“让知道消息的人都去通知”，是这一课所提出的问题的本质所在。在教学中，教师要努力抓住这个本质，让学生在充分积累数学活动经验的基础上建立模型。

一、抓住本质进行猜想，明确方向

任何问题的解决，首先要明确解决问题的方向。在教学中，每当出现一个新的问题时，很多学生会急于计算，而不是先去完整地思考，明确解决问题的方向。所以，教师要有目的地培养学生从头思考问题、整体思考问题的习惯。在“打电话”一课伊始，教师就创设了这样一个情境：假期里，班主任有紧急事情要通知全班学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，假设我们全班学生也都互相知道电话号码，你觉得怎样通知最快？让学生讨论交流。在这里，教师没有让学生马上去思考“最快要多少时间”，而是要学生先猜一猜“你觉得怎样通知最快”。学生在经过自主思考、小组讨论后逐渐达成了共识：让知道消息的人都去通知才是最快的。这样教学，一方面引导学生从整体上来思考这个问题，既避免了学生脱离目标的盲目猜想，又避免了学生急于进行计算而忽略了问题的本质；另一方面充分调动了学生原有的知识经验，让知识很好地联系了起来，因为从生活经验看，大多数学生具有通知他人以及通知多个人的生活经验。从已有的知识经验看，四年级的教材中也已经安排过一些日常生活的简单事例，让学生尝试着在解决问题的过程中寻找最优化的方案，如烙饼问题中要使烙饼的时间最短，就是要尽可能多地利用锅里的空间，同时烙多个饼。这与打电话问题中要最节省时间，就要让知道消息的人都去通知的思想是相类似的。通过引导学生抓住问题的本质来进行猜想，使解决问题有了明确的方向，培养了学生整体思考问题的习惯。

二、抓住本质进行设计，感悟模型

让学生用画图来呈现打电话的方案是学生建立数学模型的重要过程，这个环节有利于学生感悟数学模型，积累数学活动的经验。通过前一环节的教学，虽然学生明白了让知道消息的人都去通知才最节省时间，但在具体画图时，经常会出现知道消息的人没有都去通知或重复通知的情况。所以，在引导学生画图的过程中，教师仍然要紧紧抓住“让知道消息的人都去通知”这个问题本质。笔者在实际教学中，就对重点进行了两次指导，第一次是在让学生探索“2分钟最多能通知多少人”后，教师展示一份学生的方案，学生在方案中画出了，第二分钟教师和知道消息的学生都同时参与通知了2个人，进一步突出“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质。而第二次的指导是在让学生探索“3分钟最多能通知多少人”后，教师出示学生常见的一种错误方案：第3分钟只有3个人在通知，漏了一个人没有参与通知。学生很快指出了这一方案中的问题并予以改正。教师趁势继续追问：怎样才能做到不遗漏呢？这马上又触及到了这一问题的本质，学生有的说在通知第3分钟的时候一定要看清楚前2分钟一共有多少人知道消息（包括教师），一定要让知道消息的人都去通知，有的说要把每分钟通知的人分别对齐，这样可以很清楚地看出每分钟通知了哪几个人……在此基础上，教师让错误的学生把方案重新修改正确。学生的两次设计方案，教师都紧紧抓住“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质，既让每个学生扎实掌握了用图示表示打电话方案的方法，真正经历了数学学习的过程，又让学生在画图的过程中初步认识到每分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，感悟模型，为建立数学模型积累丰富的数学活动经验。

三、抓住本质进行想象，理解模型

培养学生的想象力是培养创新意识的重要方法，让学生抓住本质进行想象，能够引导学生的思维，让其更好地理解数学模型。“打电话”一课的教学中，在学生已经初步感悟模型的基础上，笔者安排了让学生想象的环节：第4分钟能再通知多少人？你是怎么想出来的？第5分钟呢？……随后用课件演示每分钟新通知人数的方格图（见右上图）：先出示一个深色正方形表示教师，再出示标着数字1的正方形表示第1分钟新通知了1个人，再出示标着数字2的正方形表示第2分钟新通知了2个人……在这里，教师并没有要求学生被动地去找规律，但是学生却能很清楚地看出每一分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，而且非常直观地感受到了每一分钟新通知的人数越来越多，自然地感悟到了知道消息的总人数总是上一分钟知道消息的总人数的2倍。通过先让学生抓住本质进行想象，再进行数形结合的直观演示的方法，使数学现象、数学规律和数学本质之间建立起了桥梁，相互促进，学生主动地、水到渠成地感悟到了规律，真正理解了数学模型。

→……→

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四、抓住本质进行归纳，建立模型

数学模型的真正建立必须有赖于学生自己的归纳，而教师引导学生抓住本质进行归纳，能让学生有效地建立数学模型。在教学中，教师并没有直接问学生发现了什么规律，而是让学生思考“5分钟一共通知了多少人”，在对之前学习的内容充分理解的基础上，很多学生自然地想到了用算式1+2+4+8+16=31或1×2×2×2×2×2-1=31，教师再让学生分别说说算式的含义以及为什么要这样列算式，让学生再次自觉运用“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质去进行解释。然后教师再让学生思考：“6分钟一共通知了多少人？7分钟呢？n分钟呢？”引导学生自然而然地归纳出数学模型。在这个环节中，模型的建立始终是在学生自己归纳的基础上完成的，教师只是引导学生紧紧抓住问题的本质来进行思考，学生学得自然、学得主动，才会真正理解模型、掌握模型。

学生学习数学的过程其实就是不断建立一类问题的数学模型的过程，引导学生抓住数学问题的本质，其实质就是引导学生学会数学地思考，让学生在抓住问题本质的基础上进行猜想、尝试、想象、归纳，是建立数学模型的重要方法和环节，只有这样，才能促进学生有效建立数学模型。

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模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在教学中，引导学生抓住问题的本质进行思考，有利于学生更好地建立数学模型。人教版小学数学五年级下册“打电话”一课，一个重要目标是要让学生在设计打电话方案的基础上发现规律，建立解决这类问题的模型，从而帮助学生建立初步的模型思想，提高学习数学的兴趣，培养学生的应用意识。在打电话问题中，“让知道消息的人都去通知”，是这一课所提出的问题的本质所在。在教学中，教师要努力抓住这个本质，让学生在充分积累数学活动经验的基础上建立模型。

一、抓住本质进行猜想，明确方向

任何问题的解决，首先要明确解决问题的方向。在教学中，每当出现一个新的问题时，很多学生会急于计算，而不是先去完整地思考，明确解决问题的方向。所以，教师要有目的地培养学生从头思考问题、整体思考问题的习惯。在“打电话”一课伊始，教师就创设了这样一个情境：假期里，班主任有紧急事情要通知全班学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，假设我们全班学生也都互相知道电话号码，你觉得怎样通知最快？让学生讨论交流。在这里，教师没有让学生马上去思考“最快要多少时间”，而是要学生先猜一猜“你觉得怎样通知最快”。学生在经过自主思考、小组讨论后逐渐达成了共识：让知道消息的人都去通知才是最快的。这样教学，一方面引导学生从整体上来思考这个问题，既避免了学生脱离目标的盲目猜想，又避免了学生急于进行计算而忽略了问题的本质；另一方面充分调动了学生原有的知识经验，让知识很好地联系了起来，因为从生活经验看，大多数学生具有通知他人以及通知多个人的生活经验。从已有的知识经验看，四年级的教材中也已经安排过一些日常生活的简单事例，让学生尝试着在解决问题的过程中寻找最优化的方案，如烙饼问题中要使烙饼的时间最短，就是要尽可能多地利用锅里的空间，同时烙多个饼。这与打电话问题中要最节省时间，就要让知道消息的人都去通知的思想是相类似的。通过引导学生抓住问题的本质来进行猜想，使解决问题有了明确的方向，培养了学生整体思考问题的习惯。

二、抓住本质进行设计，感悟模型

让学生用画图来呈现打电话的方案是学生建立数学模型的重要过程，这个环节有利于学生感悟数学模型，积累数学活动的经验。通过前一环节的教学，虽然学生明白了让知道消息的人都去通知才最节省时间，但在具体画图时，经常会出现知道消息的人没有都去通知或重复通知的情况。所以，在引导学生画图的过程中，教师仍然要紧紧抓住“让知道消息的人都去通知”这个问题本质。笔者在实际教学中，就对重点进行了两次指导，第一次是在让学生探索“2分钟最多能通知多少人”后，教师展示一份学生的方案，学生在方案中画出了，第二分钟教师和知道消息的学生都同时参与通知了2个人，进一步突出“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质。而第二次的指导是在让学生探索“3分钟最多能通知多少人”后，教师出示学生常见的一种错误方案：第3分钟只有3个人在通知，漏了一个人没有参与通知。学生很快指出了这一方案中的问题并予以改正。教师趁势继续追问：怎样才能做到不遗漏呢？这马上又触及到了这一问题的本质，学生有的说在通知第3分钟的时候一定要看清楚前2分钟一共有多少人知道消息（包括教师），一定要让知道消息的人都去通知，有的说要把每分钟通知的人分别对齐，这样可以很清楚地看出每分钟通知了哪几个人……在此基础上，教师让错误的学生把方案重新修改正确。学生的两次设计方案，教师都紧紧抓住“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质，既让每个学生扎实掌握了用图示表示打电话方案的方法，真正经历了数学学习的过程，又让学生在画图的过程中初步认识到每分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，感悟模型，为建立数学模型积累丰富的数学活动经验。

三、抓住本质进行想象，理解模型

培养学生的想象力是培养创新意识的重要方法，让学生抓住本质进行想象，能够引导学生的思维，让其更好地理解数学模型。“打电话”一课的教学中，在学生已经初步感悟模型的基础上，笔者安排了让学生想象的环节：第4分钟能再通知多少人？你是怎么想出来的？第5分钟呢？……随后用课件演示每分钟新通知人数的方格图（见右上图）：先出示一个深色正方形表示教师，再出示标着数字1的正方形表示第1分钟新通知了1个人，再出示标着数字2的正方形表示第2分钟新通知了2个人……在这里，教师并没有要求学生被动地去找规律，但是学生却能很清楚地看出每一分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，而且非常直观地感受到了每一分钟新通知的人数越来越多，自然地感悟到了知道消息的总人数总是上一分钟知道消息的总人数的2倍。通过先让学生抓住本质进行想象，再进行数形结合的直观演示的方法，使数学现象、数学规律和数学本质之间建立起了桥梁，相互促进，学生主动地、水到渠成地感悟到了规律，真正理解了数学模型。

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四、抓住本质进行归纳，建立模型

数学模型的真正建立必须有赖于学生自己的归纳，而教师引导学生抓住本质进行归纳，能让学生有效地建立数学模型。在教学中，教师并没有直接问学生发现了什么规律，而是让学生思考“5分钟一共通知了多少人”，在对之前学习的内容充分理解的基础上，很多学生自然地想到了用算式1+2+4+8+16=31或1×2×2×2×2×2-1=31，教师再让学生分别说说算式的含义以及为什么要这样列算式，让学生再次自觉运用“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质去进行解释。然后教师再让学生思考：“6分钟一共通知了多少人？7分钟呢？n分钟呢？”引导学生自然而然地归纳出数学模型。在这个环节中，模型的建立始终是在学生自己归纳的基础上完成的，教师只是引导学生紧紧抓住问题的本质来进行思考，学生学得自然、学得主动，才会真正理解模型、掌握模型。

学生学习数学的过程其实就是不断建立一类问题的数学模型的过程，引导学生抓住数学问题的本质，其实质就是引导学生学会数学地思考，让学生在抓住问题本质的基础上进行猜想、尝试、想象、归纳，是建立数学模型的重要方法和环节，只有这样，才能促进学生有效建立数学模型。

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模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在教学中，引导学生抓住问题的本质进行思考，有利于学生更好地建立数学模型。人教版小学数学五年级下册“打电话”一课，一个重要目标是要让学生在设计打电话方案的基础上发现规律，建立解决这类问题的模型，从而帮助学生建立初步的模型思想，提高学习数学的兴趣，培养学生的应用意识。在打电话问题中，“让知道消息的人都去通知”，是这一课所提出的问题的本质所在。在教学中，教师要努力抓住这个本质，让学生在充分积累数学活动经验的基础上建立模型。

一、抓住本质进行猜想，明确方向

任何问题的解决，首先要明确解决问题的方向。在教学中，每当出现一个新的问题时，很多学生会急于计算，而不是先去完整地思考，明确解决问题的方向。所以，教师要有目的地培养学生从头思考问题、整体思考问题的习惯。在“打电话”一课伊始，教师就创设了这样一个情境：假期里，班主任有紧急事情要通知全班学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，假设我们全班学生也都互相知道电话号码，你觉得怎样通知最快？让学生讨论交流。在这里，教师没有让学生马上去思考“最快要多少时间”，而是要学生先猜一猜“你觉得怎样通知最快”。学生在经过自主思考、小组讨论后逐渐达成了共识：让知道消息的人都去通知才是最快的。这样教学，一方面引导学生从整体上来思考这个问题，既避免了学生脱离目标的盲目猜想，又避免了学生急于进行计算而忽略了问题的本质；另一方面充分调动了学生原有的知识经验，让知识很好地联系了起来，因为从生活经验看，大多数学生具有通知他人以及通知多个人的生活经验。从已有的知识经验看，四年级的教材中也已经安排过一些日常生活的简单事例，让学生尝试着在解决问题的过程中寻找最优化的方案，如烙饼问题中要使烙饼的时间最短，就是要尽可能多地利用锅里的空间，同时烙多个饼。这与打电话问题中要最节省时间，就要让知道消息的人都去通知的思想是相类似的。通过引导学生抓住问题的本质来进行猜想，使解决问题有了明确的方向，培养了学生整体思考问题的习惯。

二、抓住本质进行设计，感悟模型

让学生用画图来呈现打电话的方案是学生建立数学模型的重要过程，这个环节有利于学生感悟数学模型，积累数学活动的经验。通过前一环节的教学，虽然学生明白了让知道消息的人都去通知才最节省时间，但在具体画图时，经常会出现知道消息的人没有都去通知或重复通知的情况。所以，在引导学生画图的过程中，教师仍然要紧紧抓住“让知道消息的人都去通知”这个问题本质。笔者在实际教学中，就对重点进行了两次指导，第一次是在让学生探索“2分钟最多能通知多少人”后，教师展示一份学生的方案，学生在方案中画出了，第二分钟教师和知道消息的学生都同时参与通知了2个人，进一步突出“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质。而第二次的指导是在让学生探索“3分钟最多能通知多少人”后，教师出示学生常见的一种错误方案：第3分钟只有3个人在通知，漏了一个人没有参与通知。学生很快指出了这一方案中的问题并予以改正。教师趁势继续追问：怎样才能做到不遗漏呢？这马上又触及到了这一问题的本质，学生有的说在通知第3分钟的时候一定要看清楚前2分钟一共有多少人知道消息（包括教师），一定要让知道消息的人都去通知，有的说要把每分钟通知的人分别对齐，这样可以很清楚地看出每分钟通知了哪几个人……在此基础上，教师让错误的学生把方案重新修改正确。学生的两次设计方案，教师都紧紧抓住“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质，既让每个学生扎实掌握了用图示表示打电话方案的方法，真正经历了数学学习的过程，又让学生在画图的过程中初步认识到每分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，感悟模型，为建立数学模型积累丰富的数学活动经验。

三、抓住本质进行想象，理解模型

培养学生的想象力是培养创新意识的重要方法，让学生抓住本质进行想象，能够引导学生的思维，让其更好地理解数学模型。“打电话”一课的教学中，在学生已经初步感悟模型的基础上，笔者安排了让学生想象的环节：第4分钟能再通知多少人？你是怎么想出来的？第5分钟呢？……随后用课件演示每分钟新通知人数的方格图（见右上图）：先出示一个深色正方形表示教师，再出示标着数字1的正方形表示第1分钟新通知了1个人，再出示标着数字2的正方形表示第2分钟新通知了2个人……在这里，教师并没有要求学生被动地去找规律，但是学生却能很清楚地看出每一分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，而且非常直观地感受到了每一分钟新通知的人数越来越多，自然地感悟到了知道消息的总人数总是上一分钟知道消息的总人数的2倍。通过先让学生抓住本质进行想象，再进行数形结合的直观演示的方法，使数学现象、数学规律和数学本质之间建立起了桥梁，相互促进，学生主动地、水到渠成地感悟到了规律，真正理解了数学模型。

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四、抓住本质进行归纳，建立模型

数学模型的真正建立必须有赖于学生自己的归纳，而教师引导学生抓住本质进行归纳，能让学生有效地建立数学模型。在教学中，教师并没有直接问学生发现了什么规律，而是让学生思考“5分钟一共通知了多少人”，在对之前学习的内容充分理解的基础上，很多学生自然地想到了用算式1+2+4+8+16=31或1×2×2×2×2×2-1=31，教师再让学生分别说说算式的含义以及为什么要这样列算式，让学生再次自觉运用“让知道消息的人都去通知”这个问题的本质去进行解释。然后教师再让学生思考：“6分钟一共通知了多少人？7分钟呢？n分钟呢？”引导学生自然而然地归纳出数学模型。在这个环节中，模型的建立始终是在学生自己归纳的基础上完成的，教师只是引导学生紧紧抓住问题的本质来进行思考，学生学得自然、学得主动，才会真正理解模型、掌握模型。

学生学习数学的过程其实就是不断建立一类问题的数学模型的过程，引导学生抓住数学问题的本质，其实质就是引导学生学会数学地思考，让学生在抓住问题本质的基础上进行猜想、尝试、想象、归纳，是建立数学模型的重要方法和环节，只有这样，才能促进学生有效建立数学模型。

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