“0.3≠0.30”，这是怎么回事？

王瑛+严育洪

【“望”：病例观察】

下面是“小数的性质”教学时，教师遭遇到的尴尬情形。

师：以元为单位，3角怎么表示？

生：0.3元。

师：那30分呢？

生：0.30元。

师：以米为单位，3分米怎么表示？

生：0.3米。

师：那30厘米呢？

生：0.30米。

师：你发现了什么？

生：0.3元=0.30元，0.3米=0.30米。

教师擦去单位名称，剩下0.3=0.30，问：那现在相等吗？

很多学生顿了一下后回答：不相等！

教师一愣，有点恼怒地告诫学生：不相等？！想清楚了再回答。它们相等吗？

生（齐声）：相等！

……

【“问”：病历记录】

课后，教师找来这些发出“异”见的学生，咨询他们当时认为“0.3≠0.30”的真实想法。

生1：“我当时是这么想的，0.3元≠0.30米，所以0.3≠0.30。”

生2：“我当时也觉得0.3≠0.30，因为0.3和0.30的后面可以随便跟什么单位，比如0.3千克和0.30克也不相等。”

生3：“我的想法跟他们一样，0.3和0.30有时候相等，有时候不相等，后面的单位相同时，0.3=0.30；后面的单位不相同时，0.3≠0.30，所以0.3和0.30在没有单位的情况下就无法比较。”

……

教师又问：“上完课，现在你们知道0.3=0.30了吧？”学生点头。

接着教师假设：“如果课一开始直接让你们比较0.3与0.30的大小，你们觉得自己会吗？”

生1：“我觉得自己会比较的。我会把它们看成0.3元和0.30元，0.3元=3角，0.30元=30分=3角，所以0.3=0.30。”

生2：“我会这么想，在它们后面添上单位“米”，0.3米=3分米，0.30米=30厘米=3分米，所以0.3=0.30。“

生3：“我会把它们画成这样的图（如下图），它们涂色部分的面积相等，所以0.3=0.30。”

……

教师好奇地问前两位学生：“你们怎么会想到添上这两个单位的？”结果他们回答说是以前在认识小数的时候老师都是这么教的。

最后，教师不无遗憾地跟这些学生说道：“瞧，现在你们挺清楚的嘛，当时怎么就糊涂了呢？！”他们不好意思地吐了吐舌头。接着一个孩子说出了让人瞠目结舌的秘密：“是老师把我弄糊涂了。老师问我们：‘那现在相等吗？，让我误以为老师是在故意反过来问，正好前面有‘元和‘米，于是就想岔了。”其他学生也若有所思。

【“切”：病理诊治】

这一节课出现的病症并不是这一节课所形成的，而是以前一连串教学中的问题慢慢积累而成的，只不过这一节课设置的情境成了问题的导火索，使学生对知识的误解暴露无遗。

在这节课中，“元”和“米”为何在学生头脑中留下这么深刻的印象，以至于陷在生活的“泥潭”而不能自拔，一是因为教材在教学小数的意义（认识小数第一次安排在三年级，第二次安排在五年级）、小数的大小等内容时都是回到购物和测量这两大学生常见的生活情境之中理解知识、解决问题，结果导致学生“留恋”于生活“走不出来”；二是因为一些教师在教学的时候过多、过久滞留于生活情境之中，对知识抽象不足或抽象太晚，结果导致学生“流连”于生活“走不出来”。

充分利用学生生活中的数学进行教学是数学教学“生活化”的主要做法，这种由生活实践形成的各种数学知识和技能具有直接性的特点，这种直接性十分有利于调动学生学习的积极性，而且置身于实际情境往往也有利于主体更好地发挥自己的聪明才智，有助于学生更快更好地理解和掌握抽象的知识。然而，也正由于它是与各个具体情境直接相联系的，与实物、事物对应性强，因此相应的知识和技能的可迁移性差，概括性、抽象性水平低，从而就表现出一定的局限性。如建构主义所指明的那样，在数学教学中通过“贴近生活”得以调动的学生的生活经验就未必如我们所期望的那样，恰能为抽象的数学概念或知识的学习提供合适的基础，还可能包括许多不相干的，甚至是有一定干扰性的成分，对学生的数学学习产生负面效应：影响学生完成从特殊到一般的抽象过程。

上述课例中，学生根据教师创设的情境，由自身生活中的经验，很快得出“0.3元=0.30元”和“0.3米=0.30米”，此时的0.3和0.30都有具体的含义，学生的思维一如既往地被框在具体的情境中，无法一下子跳出来、转过来。正因为生活中用的大多是名数，它们有具体的含义，所以当数后面没有单位名称时，学生的脑海中还“留恋”或“流连”在单位名称上，无法确定具体含义，于是就认为它们不相等，可以说，正是这种思想的局限性影响了知识的正迁移。

要解决这一种陷于生活的“泥潭”而不能自拔的问题，有效克服低层次、低水平学习的局面，需要教师从知识的“上游”和教学的“上端”加以整治，改变抽象程度不高的知识表征方式和教学表达方式。按照知识的序列，三年级的“小数的初步认识”是知识的起步，教材采用了学生熟悉的测量和购物情境，利用“米”与“分米”、“元”与“角”之间的进率关系来帮助学生理解十分之几就是零点几的关系。在认识小数第一课时，教师就应该做好知识的抽象工作，当借助情境推出知识后，教学就应该去情景化，把学生的注意力集中在知识的“本身”——本课研究的是“数”。

认识一个事物就是把这个对象从与它相关的事物中相剥离的过程。然而，在实际教学过程中，学生在研究小数和分数之间的关系时，常常始终“带”着情境中的数量，知识抽象得并不“干净”。因此，对测量情境中产生的小数，教师要么框出其中的“数”，如：endprint

要么用红色粉笔突出其中的“数”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隐去其后的单位名称，仅把“数”留在学生的视野里。

紧随其后，教师应进一步抓住购物情境中产生的小数与测量情境中产生的小数进行意义的比对与同化。例如，“0.5元”与“0.5米”去除单位后小数意义相同，都表示，然后把小数的意义通过“方形图→线段图→数轴图”反映出来，让学生领悟小数在数学中的不同表征方式，进而强化小数的意义，引导学生排除生活情境的干扰，走向数学的最深处。

一旦前期的知识抽象彻底，等到教学“小数的性质”时，学生就不会那么容易受困于生活情境之中，而能够清楚地明白教师所提出的“0.3和0.30是否相等”这一问题指向的是数的大小比较，与数量无关。

从上述课例中，我们还能够发现另外一个涉及教师教学行为的问题。学生之所以会去牵扯小数的数量，一方面与教学从生活引入有关，另一方面与教师问话有关，“那现在相等吗”让学生误以为教师说的是反话，从而想方设法证明0.3和0.30不相等。之所以会产生这样的误解，是因为在以往的教学中，限于时间，教师大多会直接擦去单位名称直接揭示“0.3=0.30”，而不会多此一问，反之，如果教师突然多此一问，就会让学生以为教师故此一问，是反话正说。由此可见，教师的“反常”会引起学生的怀疑，从而误入歧途。当然，如果学生基础扎实，不管教师怎样说、怎样问，都会意志坚定。

其实，教到“小数的性质”这一步，学生的学习已经多次经历了从生活到数学、从特殊到一般的过程，已具有了丰富的生活经验和数学经验。只要知识抽象得彻底，“小数的性质”这一节课不妨换一种教学路线，采用从一般到特殊的思路来设计教学：课一开始，让学生直接思考“0.3和0.30是否相等”这一数学问题，估计会有许多学生凭直觉会猜测0.3和0.30相等，教师就可以充分利用学生的这种想法甚至争议，引导学生去自己寻找方法来证明自己的观点或推翻别人的观点。此时，学生会主动迁移以前的相关经验，像上述课后访谈中的那些学生的想法一样，或利用购物或测量的生活情境来寻找答案，或通过画图（不画图亦可）直接从这些小数所表示的分数意义上来说明问题，当然也可能有学生把0.3和0.30放入前一节课刚学的数位顺序表中来解释。而教师可以事先为学生提供米尺、方格纸、数位顺序表等探索工具。

从数学回溯到生活，这样“倒行逆施”的教法可以最大程度上避开生活对学生思考问题的负面影响。在这里，学生成功地运用了“关系映射反演”原则：给每个数加上一个单位，比如“米”，这样就形成了“数”与“长度”的一一对应关系，“长度”是“数”在这个映射下的像。利用生活经验和数学经验，得到了像之间的关系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出这两个像的原像之间的关系（0.3=0.30）。学生运用“关系映射反演”原则来解决问题，从一般到特殊，从而有效地避免了由生活经验（特殊）到数学知识（一般）所带来的“意外”。

当然，为了使学生适应这样的思考问题、研究问题的方式，我们在教学五年级的“小数的再认识”时，就可以尝试改变“小数的初步认识”时所遵循的“生活应用→数学发现”的一般教学程序，而采用“数学发现→生活解释”这样逆向行驶：先让学生根据已知的“一位小数表示十分之几”猜想出“两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……”，然后让学生回到购物和测量的生活情境中寻找依据，在此正好与教材例题实现对接。

这样反其道而行之的教学思路，还有一个更大的好处是，可以有效地改变惯常和平常的教学方式，充分发挥学生的主体作用，真正让学习变成学生自己的事。因为人的思维和人体的健康系统具有免疫自检自适应功能一样，学生在寻找知识解释方法、寻找知识解释工具的过程中，会根据知识的意义进行自适应的不断尝试和不断调整，所以，教师不必担心学生找不到知识的“家”。

综上所述，生活并不总是对学生的学习产生“正能量”，它有时也会阻扰学生更深入的学习。经验是理解的基础，提供了把未知的信息模块连接到已有经验结构中去的背景和方法，但有时也会产生误导。希望我们的教师都能明白这一点，千万不要不分阶段、不分场合、不分对象都来“生活化”一下，如果一味这样教学，就可能会弄巧成拙。

（江苏省无锡市锡山区东亭实验小学 214101

（江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）endprint

要么用红色粉笔突出其中的“数”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隐去其后的单位名称，仅把“数”留在学生的视野里。

紧随其后，教师应进一步抓住购物情境中产生的小数与测量情境中产生的小数进行意义的比对与同化。例如，“0.5元”与“0.5米”去除单位后小数意义相同，都表示，然后把小数的意义通过“方形图→线段图→数轴图”反映出来，让学生领悟小数在数学中的不同表征方式，进而强化小数的意义，引导学生排除生活情境的干扰，走向数学的最深处。

一旦前期的知识抽象彻底，等到教学“小数的性质”时，学生就不会那么容易受困于生活情境之中，而能够清楚地明白教师所提出的“0.3和0.30是否相等”这一问题指向的是数的大小比较，与数量无关。

从上述课例中，我们还能够发现另外一个涉及教师教学行为的问题。学生之所以会去牵扯小数的数量，一方面与教学从生活引入有关，另一方面与教师问话有关，“那现在相等吗”让学生误以为教师说的是反话，从而想方设法证明0.3和0.30不相等。之所以会产生这样的误解，是因为在以往的教学中，限于时间，教师大多会直接擦去单位名称直接揭示“0.3=0.30”，而不会多此一问，反之，如果教师突然多此一问，就会让学生以为教师故此一问，是反话正说。由此可见，教师的“反常”会引起学生的怀疑，从而误入歧途。当然，如果学生基础扎实，不管教师怎样说、怎样问，都会意志坚定。

其实，教到“小数的性质”这一步，学生的学习已经多次经历了从生活到数学、从特殊到一般的过程，已具有了丰富的生活经验和数学经验。只要知识抽象得彻底，“小数的性质”这一节课不妨换一种教学路线，采用从一般到特殊的思路来设计教学：课一开始，让学生直接思考“0.3和0.30是否相等”这一数学问题，估计会有许多学生凭直觉会猜测0.3和0.30相等，教师就可以充分利用学生的这种想法甚至争议，引导学生去自己寻找方法来证明自己的观点或推翻别人的观点。此时，学生会主动迁移以前的相关经验，像上述课后访谈中的那些学生的想法一样，或利用购物或测量的生活情境来寻找答案，或通过画图（不画图亦可）直接从这些小数所表示的分数意义上来说明问题，当然也可能有学生把0.3和0.30放入前一节课刚学的数位顺序表中来解释。而教师可以事先为学生提供米尺、方格纸、数位顺序表等探索工具。

从数学回溯到生活，这样“倒行逆施”的教法可以最大程度上避开生活对学生思考问题的负面影响。在这里，学生成功地运用了“关系映射反演”原则：给每个数加上一个单位，比如“米”，这样就形成了“数”与“长度”的一一对应关系，“长度”是“数”在这个映射下的像。利用生活经验和数学经验，得到了像之间的关系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出这两个像的原像之间的关系（0.3=0.30）。学生运用“关系映射反演”原则来解决问题，从一般到特殊，从而有效地避免了由生活经验（特殊）到数学知识（一般）所带来的“意外”。

当然，为了使学生适应这样的思考问题、研究问题的方式，我们在教学五年级的“小数的再认识”时，就可以尝试改变“小数的初步认识”时所遵循的“生活应用→数学发现”的一般教学程序，而采用“数学发现→生活解释”这样逆向行驶：先让学生根据已知的“一位小数表示十分之几”猜想出“两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……”，然后让学生回到购物和测量的生活情境中寻找依据，在此正好与教材例题实现对接。

这样反其道而行之的教学思路，还有一个更大的好处是，可以有效地改变惯常和平常的教学方式，充分发挥学生的主体作用，真正让学习变成学生自己的事。因为人的思维和人体的健康系统具有免疫自检自适应功能一样，学生在寻找知识解释方法、寻找知识解释工具的过程中，会根据知识的意义进行自适应的不断尝试和不断调整，所以，教师不必担心学生找不到知识的“家”。

综上所述，生活并不总是对学生的学习产生“正能量”，它有时也会阻扰学生更深入的学习。经验是理解的基础，提供了把未知的信息模块连接到已有经验结构中去的背景和方法，但有时也会产生误导。希望我们的教师都能明白这一点，千万不要不分阶段、不分场合、不分对象都来“生活化”一下，如果一味这样教学，就可能会弄巧成拙。

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要么用红色粉笔突出其中的“数”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隐去其后的单位名称，仅把“数”留在学生的视野里。

紧随其后，教师应进一步抓住购物情境中产生的小数与测量情境中产生的小数进行意义的比对与同化。例如，“0.5元”与“0.5米”去除单位后小数意义相同，都表示，然后把小数的意义通过“方形图→线段图→数轴图”反映出来，让学生领悟小数在数学中的不同表征方式，进而强化小数的意义，引导学生排除生活情境的干扰，走向数学的最深处。

一旦前期的知识抽象彻底，等到教学“小数的性质”时，学生就不会那么容易受困于生活情境之中，而能够清楚地明白教师所提出的“0.3和0.30是否相等”这一问题指向的是数的大小比较，与数量无关。

从上述课例中，我们还能够发现另外一个涉及教师教学行为的问题。学生之所以会去牵扯小数的数量，一方面与教学从生活引入有关，另一方面与教师问话有关，“那现在相等吗”让学生误以为教师说的是反话，从而想方设法证明0.3和0.30不相等。之所以会产生这样的误解，是因为在以往的教学中，限于时间，教师大多会直接擦去单位名称直接揭示“0.3=0.30”，而不会多此一问，反之，如果教师突然多此一问，就会让学生以为教师故此一问，是反话正说。由此可见，教师的“反常”会引起学生的怀疑，从而误入歧途。当然，如果学生基础扎实，不管教师怎样说、怎样问，都会意志坚定。

其实，教到“小数的性质”这一步，学生的学习已经多次经历了从生活到数学、从特殊到一般的过程，已具有了丰富的生活经验和数学经验。只要知识抽象得彻底，“小数的性质”这一节课不妨换一种教学路线，采用从一般到特殊的思路来设计教学：课一开始，让学生直接思考“0.3和0.30是否相等”这一数学问题，估计会有许多学生凭直觉会猜测0.3和0.30相等，教师就可以充分利用学生的这种想法甚至争议，引导学生去自己寻找方法来证明自己的观点或推翻别人的观点。此时，学生会主动迁移以前的相关经验，像上述课后访谈中的那些学生的想法一样，或利用购物或测量的生活情境来寻找答案，或通过画图（不画图亦可）直接从这些小数所表示的分数意义上来说明问题，当然也可能有学生把0.3和0.30放入前一节课刚学的数位顺序表中来解释。而教师可以事先为学生提供米尺、方格纸、数位顺序表等探索工具。

从数学回溯到生活，这样“倒行逆施”的教法可以最大程度上避开生活对学生思考问题的负面影响。在这里，学生成功地运用了“关系映射反演”原则：给每个数加上一个单位，比如“米”，这样就形成了“数”与“长度”的一一对应关系，“长度”是“数”在这个映射下的像。利用生活经验和数学经验，得到了像之间的关系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出这两个像的原像之间的关系（0.3=0.30）。学生运用“关系映射反演”原则来解决问题，从一般到特殊，从而有效地避免了由生活经验（特殊）到数学知识（一般）所带来的“意外”。

当然，为了使学生适应这样的思考问题、研究问题的方式，我们在教学五年级的“小数的再认识”时，就可以尝试改变“小数的初步认识”时所遵循的“生活应用→数学发现”的一般教学程序，而采用“数学发现→生活解释”这样逆向行驶：先让学生根据已知的“一位小数表示十分之几”猜想出“两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……”，然后让学生回到购物和测量的生活情境中寻找依据，在此正好与教材例题实现对接。

这样反其道而行之的教学思路，还有一个更大的好处是，可以有效地改变惯常和平常的教学方式，充分发挥学生的主体作用，真正让学习变成学生自己的事。因为人的思维和人体的健康系统具有免疫自检自适应功能一样，学生在寻找知识解释方法、寻找知识解释工具的过程中，会根据知识的意义进行自适应的不断尝试和不断调整，所以，教师不必担心学生找不到知识的“家”。

综上所述，生活并不总是对学生的学习产生“正能量”，它有时也会阻扰学生更深入的学习。经验是理解的基础，提供了把未知的信息模块连接到已有经验结构中去的背景和方法，但有时也会产生误导。希望我们的教师都能明白这一点，千万不要不分阶段、不分场合、不分对象都来“生活化”一下，如果一味这样教学，就可能会弄巧成拙。

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