流场中功能梯度材料圆柱壳的频散特性

姚熊亮，叶曦，计方（哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨5000；中国舰船研究院，北京009）

流场中功能梯度材料圆柱壳的频散特性

姚熊亮1，叶曦1，计方2
（1哈尔滨工程大学船舶工程学院，哈尔滨150001；2中国舰船研究院，北京100192）

文章基于Love壳体理论和Helmholtz波动方程推导了内外流场作用下功能梯度材料圆柱壳流固耦合振动方程。研究了流场作用下功能梯度壳内传播波的频散特性，并与各向同性圆柱壳进行比较。研究表明：在以拉伸和扭转运动为主的频段上，功能梯度壳体的材料特性改变对各支传播波相速度的影响较大，且扭转运动对应频段所受的影响大于拉伸运动对应的频段，而对弯曲波相速度的影响较小。该文可为水下航行器新型复合材料壳体的波动特性研究提供参考。

圆柱壳；功能梯度材料；体积分数指数；频散；传播波

dispersion characteristics;propagation wave

1 引言

现今水下航行器壳体多采用复合材料，一般的复合材料整体材料性能是统一的，而功能梯度材料（FGMs）的宏观理化特性在空间上呈现梯度变化，从而使壳体两侧呈现截然不同性能和功能，使结构能更好地适应水下的复杂环境，提高水下航行器的综合声隐身性能。由于没有明显的分界面，且其性能的梯度变化规律可根据实际需要进行配置，较其他类型的复合材料具有更好的抗热冲击性、耐高温性以及更强的使用灵活性，同时具有较高的机械强度和较好的力学性能，广泛应用于船舶，航天，能源等关键工程领域，拥有良好的开发和使用前景。

目前，国内外已有许多学者正在进行功能梯度圆柱壳结构的动态特性研究，但是对壳内传播波特性的研究开展得较少。Loy[1]首先利用Love壳体理论研究了功能梯度圆柱壳的自由振动，计算了镍和不锈钢复合而成的功能梯度圆柱壳固有频率，讨论了壳体参数以及功能梯度材料体积分数指数的变化对壳体固有频率的影响。Tahmasebi等人[2]研究了功能梯度圆柱壳在两端自由以及两端刚固的边界条件下的自由振动特性，同时加入了剪切变形对壳体振动方程的影响。伊克巴尔等[3]利用波动法讨论了功能梯度圆柱壳内充液时的自振特性，计算了不同边界条件下充液壳的固有频率。功能梯度材料具有巨大的开发潜力，国内学者也展开了大量的研究。曹志远[4]利用Love理论，对相当长圆柱壳提出轴向、周向分离变量振型函数，求解了功能梯度材料长圆柱壳的固有频率。梁斌等人[5]利用Rayleigh-Ritz方法建立了功能梯度材料圆柱壳自由振动固有频率的特征方程，计算了两段简支、一端固定一端简支两种边界条件下的固有频率，并讨论了壳体几何参数以及材料组分等变化对自由振动的影响。功能梯度材料自振特性的相关文献还有[6-15]。功能梯度壳体自振特性研究已经获得相当多的成果，但是对于当内外流场存在时壳体波动特性的研究成果还相对较少。

本文研究指数型体积分数功能梯度圆柱壳在流体环境下的传播波频散特性。根据Love壳体理论以及Helmholtz波动方程建立系统控制方程，分别讨论了功能梯度壳体在内外流场作用下的传播波特性，并与各向同性圆柱壳进行比较，最后分析了功能梯度材料体积分数指数对传播波频散特性的影响。为功能梯度材料应用于水下航行器壳体及舷间结构等提供理论参考。

2 流场中功能梯度材料圆柱壳振动基本理论

功能梯度圆柱壳结构模型如图1所示。考虑由两种材料复合而成，具有均匀厚度的功能梯度材料圆柱壳结构，取壳体中面为参考面，则壳体的杨氏模量E，泊松比μ和密度ρ可以表示为如下形式[1]：

图1 功能梯度圆柱壳模型Fig.1 Themodel of FG cylindrical shell

其中：E1，E2，μ1，μ2，ρ1，ρ2分别为壳体内外层材料的杨氏模量，泊松比和密度；h为壳体厚度，h=Ro-Ri；p为功能梯度材料体积分数的指数，取值范围为0，+∞［］。

对于由功能梯度材料组成的圆柱壳，当厚径比小于0.05时，横向剪切变形的影响较小[1]，因此经典的壳体理论仍适用。本文采用Love的经典壳体理论得出功能梯度圆柱壳在流场中的壳体振动方程。

圆柱壳微段平衡方程为[12]：

由于功能梯度材料圆柱壳周向仍为各向同性，故壳体的平面应力状态可表示为：

其中：ω为圆频率，km为轴向波数，n为周向模态数。

柱坐标系下理想流体的波动方程及边界条件为：

其中：k0为流体中自由波波数，k0=ω/cf，cf为自由波相速度；ρf为流体密度。

由分离变量法可知（9）式的流体声压解可表示为如下形式：

式中：Ai，Bi，Ci分别为拉伸刚度，耦合刚度以及弯曲刚度，可定义如下：

对于任意的频率和周向模态数，该流固耦合系统都有无数个轴向波数相对应，根据频散方程求得的km值，可将其分为三类：当km为实数时，表示沿壳体轴向的传播波；当km为虚数时，表示沿壳体轴向的近场衰减波；而当km为共轭复数时，表示一对沿相反方向传播的共轭衰减波。本文仅求解频散方程的实数根，即仅讨论壳体轴向传播波的性质。令传播波相速度Cs=ω/km。

3 数值结果与讨论

计算中取壳体厚径比h/R=0.02，功能梯度材料体积分数的指数p=1。流体中自由波波速为cf= 1 500m/s，流体密度为ρf=1 000 kg/m3，不考虑初始压力q的影响。定义A型圆柱壳为各向同性圆柱壳，材料为不锈钢，弹性模量Es=2.077 88×1011N/m2，泊松比μs=0.317 756，密度ρs=8 166 kg/m3，B型圆柱壳为功能梯度材料圆柱壳，由两层材料复合而成，外层材料为不锈钢，内层材料为镍，弹性模量En= 2.050 98×1011N/m2，泊松比μn=0.31，密度ρn=8 900 kg/m3。

图2为流场作用下各向同性圆柱壳和功能梯度圆柱壳相速度频散曲线的对比。

由图2和图3可知，有流场存在时，无论是内流场还是外流场，各向同性圆柱壳和功能梯度圆柱壳的相速度频散曲线整体趋势相似，A型圆柱壳的传播波相速度高于B型圆柱壳，这是由于B型圆柱壳内层材料为镍，其杨氏模量较不锈钢低，而密度较不锈钢高，因此B型功能梯度材料圆柱壳和A型各向同性圆柱壳相比，刚度减小，质量增加，固有频率降低。

图2 内流场作用下A型和B型圆柱壳相速度频散曲线比较Fig.2 Dispersion curves of Type A and Type B cylindrical shellswith internal flow field

内流场作用时，呼吸模态下（n=0），相速度频散曲线存在明显的“台阶”。相速度较高处的各个“台阶”相连，在高频段对应为拉伸波的相速度，相速度较低处的各个“台阶”相连，在高频段对应为扭转波的相速度。“台阶”之外的各支传播波是由拉伸、扭转和弯曲运动相互耦合形成，在较高频率处转化为弯曲波。

随着周向模态数的增加，相速度频散曲线的“台阶”逐渐变得不明显，各支传播波扭转、拉伸和弯曲运动耦合增强。在高频段，各支传播波中扭转运动较强的频段逐渐接近于杆中的扭转波相速度，同样，各支传播波中拉伸运动较强的频段逐渐接近于板中的拉伸波相速度。

如图2所示，壳体材料对传播波相速度的影响在“台阶”上最为明显，且对相速度较高处“台阶”的影响高于对相速度较低处“台阶”的影响，由此可知壳体材料参数对以拉伸波为主的传播波频段的相速度影响最为显著，其次为以扭转波为主的传播波频段，而对各支传播波其余频段的影响相对较弱。

如图3所示，在外流场作用下，传播波的相速度频散曲线不存在“台阶”，3支传播波在高频段分别转化为拉伸波、扭转波和弯曲波。与内流场的情形相似，壳体材料对传播波相速度的影响主要发生在扭转波和拉伸波为主的频段，且对后者的影响高于前者，而对弯曲波相速度的影响较弱。

上述讨论中功能梯度材料的体积分数指数p=1，为了研究功能梯度材料体积分数指数对壳体传播波性质的影响，取指数p=30，计算各支传播波的相速度曲线并进行比较。

图3 外流场作用下A型和B型圆柱壳相速度频散曲线比较Fig.3 Dispersion curves of Type A and Type B cylindrical shellswith external flow field

图4 指数p对B型功能梯度圆柱壳频散曲线的影响Fig.4 The influence of exponent p on the dispersion characteristic of Type B cylindrical shell

由图4可以得出，随着指数p的增加，真空中与流场作用下，B型功能梯度圆柱壳的相速度曲线都有所下移，表明此时传播波相速度减小，传播波波数增加，壳体固有频率减小，这与文献[1]的结论相同。指数p的改变，会引起功能梯度材料壳体杨氏模量、密度和泊松比等材料参数沿厚度方向梯度分布的改变，宏观上导致壳体的刚度和质量发生变化。对于B型功能梯度圆柱壳，指数p增加，壳体的弯曲刚度、耦合刚度和拉伸刚度降低，单位面积质量增加，因此固有频率降低。p改变对各支传播波相速度带来的影响在拉伸和扭转运动为主的频段上最为明显，且对前者的影响大于后者，而在其余频段上影响较小。

4 结论

基于经典壳体理论，采用波动法计算并研究功能梯度圆柱壳传播波的频散特性，将所得结果与各向同性材料圆柱壳比较，分析体积分数指数改变对壳体内传播波相速度的影响，可以得出如下结论：

当壳体为功能梯度材料时，其宏观特性沿厚度方向按梯度变化，壳内传播波频散特性受到各材料组分及其相互之间体积比的影响。功能梯度壳体材料参数和各组分体积分数的改变会引起系统刚度和质量的变化，影响固有频率及传播波的相速度频散特性。拉伸波和扭转波的相速度受材料特性影响较大，且前者所受的影响更为显著，而弯曲波相速度所受的影响较小，可以忽略。

通过合理配置功能梯度材料组分及体积分数指数，使功能梯度材料在水下的复杂环境中具备良好的自振及波动特性，对于提高水下航行器声隐身性能具有一定的工程实用价值。

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Dispersion characteristics of functionally graded materials cylindrical shellw ith flow field

YAO Xiong-liang1,YE Xi1,JIFang2
(1 College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China; 2 China Ship Research and Development Academy,Beijing 100192,China)

Based on the Love's shell theory and Helmholtz wave equations,the vibration equation about fluid-structure coupling with internal and external flow field is deduced.The dispersion characteristics of propagation waves in FG cylindrical shellwith flow field is studied and compared with the isotropic cylindrical shell.The research shows that in the frequency band themainlymotion components are tension and torsion,the change ofmaterial of FG cylindrical shell has great influence on phase velocity of the propagation waves.And the effect to torsion ismore obvious than tension.However it is less important to the phase velocity of bending wave.This paper can provide reference for studying wave-motion characteristics of non-pressure shellwith new style compositematerial.

cylindrical shell;functionally gradedmaterial;exponent of volume fraction;

TB535+.1 U663

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.10.012

1007-7294（2014）10-1254-08

2014-01-08

国家自然科学基金重点项目（50939002）；国际科技合作项目（2007DFR80340）

姚熊亮（1963-），男，哈尔滨工程大学教授/博士生导师；叶曦（1987-），男，博士，E-mail:63055418@qq.com。