基于下记录值样本的指数分布族参数估计

许 莹

(长春大学旅游学院 基础部,吉林 长春 130607)

1 引言

记录值被给出至今已有近百年的历史，当记录值第一次被给出时，曾轰动一时，全球各界科研工作者对其展开了猛烈的研究[1].计算机、竞技体育、天气预报以及人类生理极限等不同领域均有记录值的身影，并且记录值所起到的作用也是有目共睹.Chandle.K.N于1952年首次将记录值同统计学联系起来，由于早前统计领域中记录值的应用时间较短，因此大多数学者仅在经典统计理论中应用记录值[2].近几年，许多学者研究了基于记录值模型参数的Bayes估计，但只局限在对上记录值的研究，对于下记录值的研讨还较为空白.笔者基于下记录值样本，对指数分布族参数进行讨价，现报告如下.

定义1 设连续分布函数F(x;θ)的样本为X1,X2,…,Xn，俩俩相互独立，f(x;θ)是其密度函数.对任意n≥1，令L(1)=1，L(n+1)=min{j:j>L(n),Xj>XL(n)},则{XL(n)}({L(n)})称为这个序列的一个下记录值(下记录时间).

2 指数族的选取

选用F(x;θ)=[g(x)]θ，且B≥x≥A，θ>0为分布函数，因为F'(x;θ)=f(x;θ)，所以指数族的密度函数是：f(x;θ)=θg'(x)g(x)θ-1，且B>x>A，θ>0.

3 Bayes估计

引理2 如果统计判决问题的损失函数是X～f(x;θ),θ∈Θ,L(θ,δ),π(θ)是θ的先验分布，所以当下面两点成立，①若关于δ,L(θ,δ)是严凸损失函数，在此统计判决问题几乎处处有惟一的Bayes解.②若θ具有惟一的Bayes估计，那么此估计是容许的.

证明 由于参数θ的共轭先验分布是伽玛分布Γ(α,β)，那么我们容易知道

又由于T=T(XL(n))=-lng(XL(n))，所以，lng(x)=-t，g(x)=e-t，g'(x)=-e-1,

即可知,

故

4 经验Bayes估计

假定超参数α已知，且超参数β为未知，下记录值样本为XL(1),XL(2),…XL(n)，这样我们可以得到边缘密度函数，即

由于T=T(XL(n))=-lng(XL(n)),所以lng(x)=-t,g(x)=e-t,g'(x)=-e-1,故

因为在P(x|β)下我们可以得到β的极大似然估计，即

5 结论

由于记录值减少了样本数量，使得在计算更简单的前提下得到同样精准的结果，如此优越的性质，让各领域学者对记录值的认知也越来越深厚，并且把它推广到更广阔的领域[3].近几年，基于记录值模型参数的Bayes估计问题，激发了许多学者的研究热情.Bayes统计与经典统计相比，优点较多，它不仅重视总体信息和样本信息的使用，而且更加重视收集以及加工先验信息，把先验信息数量化，形成先验信息并参与统计推断，这样一来，不但结果更加精准，计算过程也会更加简单[4].

参考文献：

[1]王亮,师义民.平衡损失函数下Cox模型的可靠性分析:记录值样本情形[J].工程数学学报,2011,28(6):787-793.

[2]林正炎,陆传荣,苏中根.概率极限理论基础[M].北京:高等教育出版社,1999:80-85.

[3]Arnold B C, Villasennor J A.The asymptotic distributions of sums of records[J].Kluwer Academic Publishers, Extremes,1998,1(3):351-363.

[4]徐宝,王德辉,付志慧.一类对称损失下刻度参数估计的不变性[J].吉林大学学报:理学版,2007,45(5):697-701.