例谈分类与整合思想的应用

伍利美

分类与整合思想的考查在高考中占有比较重要的位置，通常以解答题为主进行考查.为什么要分类？如何分类？如何整合？这就要求学生必须有严谨、周密的逻辑思维能力和一定的分析问题、解决问题的能力.

一、对含有参数的字母进行分类与整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的单调区间.

解：函数f（x）的导数：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）当a=0时，若x<0，则f'（x）<0；若x>0，则f'（x）>0.

所以当a=0，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（2）当a>0时，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，当a>0时，函数f（x）在区间（-∞，-■）内为增函数，在区间（-■，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（3）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，当a<0时，函数f （x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-■）内为增函数，在区间（-■，+∞）内为减函数.

评注：数学问题中含有变量或参数，这些变量或参数取不同的值时会导致不同的结果，故需要对参数进行分类讨论，再适当进行整合.

二、对排列、组合、概率问题中各种可能出现的结果进行分类与整合

例2：盒子有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ，求ξ的分布列.

解：记ξ=k为所取两球标号之和，则k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列为

评注：排列、组合、概率问题是考查分类与整合思想的重要载体，应使学生学会如何分步研究解决或分类研究解决，然后再由它们整合出所要求的结果.

三、对几何问题中元素的形状、位置变化情况进行分类整合

例3：在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的边长为2，宽为1、AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.

解：（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=■；

（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，l），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G点坐标为G（-k，l），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-■，■），折痕所在的直线方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）当k=0时，折痕的长为2.

（2）当k≠0时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N（0，■），P（-■，0），设PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的长度的最大值2.

评注：涉及各种图形元素的位置关系时应考虑周密，不重不漏.

在重视分类与整合思想的应用时，也应防止见凡参数就讨论的轻率做法，能整体解决的就不必分类讨论，辩证地运用分类与整合来解题.

责任编辑 罗峰

分类与整合思想的考查在高考中占有比较重要的位置，通常以解答题为主进行考查.为什么要分类？如何分类？如何整合？这就要求学生必须有严谨、周密的逻辑思维能力和一定的分析问题、解决问题的能力.

一、对含有参数的字母进行分类与整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的单调区间.

解：函数f（x）的导数：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）当a=0时，若x<0，则f'（x）<0；若x>0，则f'（x）>0.

所以当a=0，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（2）当a>0时，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，当a>0时，函数f（x）在区间（-∞，-■）内为增函数，在区间（-■，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（3）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，当a<0时，函数f （x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-■）内为增函数，在区间（-■，+∞）内为减函数.

评注：数学问题中含有变量或参数，这些变量或参数取不同的值时会导致不同的结果，故需要对参数进行分类讨论，再适当进行整合.

二、对排列、组合、概率问题中各种可能出现的结果进行分类与整合

例2：盒子有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ，求ξ的分布列.

解：记ξ=k为所取两球标号之和，则k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列为

评注：排列、组合、概率问题是考查分类与整合思想的重要载体，应使学生学会如何分步研究解决或分类研究解决，然后再由它们整合出所要求的结果.

三、对几何问题中元素的形状、位置变化情况进行分类整合

例3：在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的边长为2，宽为1、AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.

解：（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=■；

（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，l），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G点坐标为G（-k，l），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-■，■），折痕所在的直线方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）当k=0时，折痕的长为2.

（2）当k≠0时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N（0，■），P（-■，0），设PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的长度的最大值2.

评注：涉及各种图形元素的位置关系时应考虑周密，不重不漏.

在重视分类与整合思想的应用时，也应防止见凡参数就讨论的轻率做法，能整体解决的就不必分类讨论，辩证地运用分类与整合来解题.

责任编辑 罗峰

分类与整合思想的考查在高考中占有比较重要的位置，通常以解答题为主进行考查.为什么要分类？如何分类？如何整合？这就要求学生必须有严谨、周密的逻辑思维能力和一定的分析问题、解决问题的能力.

一、对含有参数的字母进行分类与整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的单调区间.

解：函数f（x）的导数：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）当a=0时，若x<0，则f'（x）<0；若x>0，则f'（x）>0.

所以当a=0，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（2）当a>0时，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，当a>0时，函数f（x）在区间（-∞，-■）内为增函数，在区间（-■，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（3）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，当a<0时，函数f （x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-■）内为增函数，在区间（-■，+∞）内为减函数.

评注：数学问题中含有变量或参数，这些变量或参数取不同的值时会导致不同的结果，故需要对参数进行分类讨论，再适当进行整合.

二、对排列、组合、概率问题中各种可能出现的结果进行分类与整合

例2：盒子有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ，求ξ的分布列.

解：记ξ=k为所取两球标号之和，则k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列为

评注：排列、组合、概率问题是考查分类与整合思想的重要载体，应使学生学会如何分步研究解决或分类研究解决，然后再由它们整合出所要求的结果.

三、对几何问题中元素的形状、位置变化情况进行分类整合

例3：在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的边长为2，宽为1、AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.

解：（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=■；

（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，l），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G点坐标为G（-k，l），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-■，■），折痕所在的直线方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）当k=0时，折痕的长为2.

（2）当k≠0时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N（0，■），P（-■，0），设PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的长度的最大值2.

评注：涉及各种图形元素的位置关系时应考虑周密，不重不漏.

在重视分类与整合思想的应用时，也应防止见凡参数就讨论的轻率做法，能整体解决的就不必分类讨论，辩证地运用分类与整合来解题.

责任编辑 罗峰