探讨概率统计中微积分的应用

孙向涛

摘 要：概率统计就是针对与自然界中随机出现的统计规律，微积分不仅是概率统计的基础，概率统计与微积分之间是相互联系、相互发展的关系。特别是随着天文学、生物学、经济学、工程学、化学、力学的发展，微积分与概率统计的关系也越来越紧密，以下本篇就探讨在概率统计中微积分的应用。

关键词：微积分 概率统计 函数

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

众所周知概率统计是建立在微积分的基础上的，概率统计针对随机事件规律的统计，而概率统计中又会应用的微积分，微积分不仅是概率统计的关键，同时也可以决定概率统计的成败。以下就从微积分、概率统计的概念出发，介绍微积分在概率统计中的应用。

1 概率统计与微积分的概念

概率统计就是针对自然界的不确定性的现象，包括结果的不确定、偶然随机现象所呈现出的集体性规律，再根据概率论、数理统计的方法，统计出数据的规律性。然而对于微积分，也就是研究函数的微分、积分以及有关函数概念与函数应用的数学分支，微积分是建立在实数、极限、函数基础上的[1]。微积分在建立中的出发点就是直观的无穷小量，这个基础理论显然也是不牢固的，通过19世纪柯西与维尔斯特拉斯的极限理论以及康托尔的实数理论，才形成当前严密化的微积分知识。而且若果说没有微积分的推动，那么对于概率统计中的公理化、系统化学科也将很难形成。微积分同概率统计之间是有一定的亲缘关系，微积分不仅可以决定概率论中的确定论特征，概率论的发展也是另辟蹊径，概率统计中不仅有着非线性、反因果的特征，微积分更是可以渗透到概率统计中的各个方面[2]。

2 概率统计中微积分的应用

针对概率统计与微积分的概念，以及概率统计与微积分的关系，以下就从一些例子出发，分析在概率统计中的微积分应用。

问题1：有N个朋友可以随机地在一个圆桌旁边就坐，如果说在所有的朋友当前，其中有两个人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相邻的座位，那么这个概率为多少？

问题2：在一个书架整理中，可以将编号分别是1，2，3的三本书任意地排列摆放在书架上，那么在这样的排列方式中，则出现至少有一本书在从左到右的排列顺序号同这本书编号相同，这样的概率又是多少？

问题3：在5个数字中进行连续抽取，针对1，2，3，4，5中等可能数字有放回地进行连续抽取期中国的3个数字，那么针对这样的事件中，3个数字完全不同出现的概率是多少？3个数字中不含1与5的概率是多少？“个数字中5刚好可以出现两次的概率是多少？以及在3个数字中至少出现以此数字5的概率是多少？

3 微积分方法在概率统计中的实际应用

3.1 级数求和法

级数是数学的重要组成部分，是表示函数的重要工具。在利用裂项相消法去求级数和的方法中，其关键计算方法就是要怎样去将级数通项拆开，并将其可以拆分成前后都有抵消部分的数据形式，通常经过变形的级数，不仅有理化分子，也有理化分母以及三角函数恒等，将其进行变形处理，就可以达到裂项相消的计算目标。又比如，针对一个三角函数式的级数求和中，计算级数的通项，就需要考虑怎样去利用三角函数公式，将这个三角函数式简化成两式之差，这样就也可以达到运用裂项相消法的目标。并且，如果说一个级数的通项是一个分母的分式，以及通项是若干根式之积的分式， 这时候就可以考虑把分母以及分子有理化，之后也会便于运用裂项相消法进行级数求和。同时在求级数和中，也可以利用四则运算的方法，等将所给的级数转化成代数方程的形式，然后再去求解。这些都可以证明，在概率统计中微积分的应用，微积分与概率统计有着相关联系。

3.2 求极限的应用

极限也是一种概率形式，极限作为微积分中的基础，贯穿在微积分的始终，极限的求法也是多种多样的，以下做具体介绍。公式原理如：求和法中当数列的通项是由n项的和构成时，通常可以考虑先求和再求极限.等差数列与等比数列往往可以直接用公式，而有些则需用到拆项、重组等，需要去认真观察所给的数列，这样就可以把原来的数列化为简单的数列，求其极限。

3.3 求概率方法

原理：就是通过建立随机模型，应用概率方法确定复杂结构的数列极限。建立如下表示的随机模型：也就根据设一个袋中装有一个红球与一个白球，并可以从中有放回的取球两次，如果说两球都是红球，则是成功；如果说两球不都是红球，就袋子里面再放一个白球，直到成功。同时对于求概率的方法中，也可以将这个数转化为微分方程再进行求解，也就是根据它的导数以及它本身的特点，找出二者之间的关联，看它是否可以满足在微分方程中的定解条件，然后再解该方程求概率。

3.4 使用Stolz定理来求极限

在数列极限问题的求解中，运用适当的微积分方法，不仅可以及时找到问题的突破口，还可以举一反三的解决问题。我们知道数项级数收敛的必要条件，对某些极限问题，也可通过级数来帮助解决。

3.5 对于二重积分的计算

4 结语

综上所述，通过以上分析，不仅认识到概率统计与微积分的概念，更是认识到概率统计与微积分之间的关系，并且针对概率统计中的微积分应用，了解到微积分在概率统计中的重要性。

参考文献

[1] 张英琴.对工科概率统计课程教学的几点建议[J].科教文汇（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

[2] 孙春香，李冠军.数学建模思想在概率统计教学中的应用[J].科技资讯，2012，14（12）：76-77.

[3] 马冉，姬玉荣.数学建模思想在概率统计教学中的融入[J].数学学习与研究，2010，21（14）：56-57.endprint

摘 要：概率统计就是针对与自然界中随机出现的统计规律，微积分不仅是概率统计的基础，概率统计与微积分之间是相互联系、相互发展的关系。特别是随着天文学、生物学、经济学、工程学、化学、力学的发展，微积分与概率统计的关系也越来越紧密，以下本篇就探讨在概率统计中微积分的应用。

关键词：微积分 概率统计 函数

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

众所周知概率统计是建立在微积分的基础上的，概率统计针对随机事件规律的统计，而概率统计中又会应用的微积分，微积分不仅是概率统计的关键，同时也可以决定概率统计的成败。以下就从微积分、概率统计的概念出发，介绍微积分在概率统计中的应用。

1 概率统计与微积分的概念

概率统计就是针对自然界的不确定性的现象，包括结果的不确定、偶然随机现象所呈现出的集体性规律，再根据概率论、数理统计的方法，统计出数据的规律性。然而对于微积分，也就是研究函数的微分、积分以及有关函数概念与函数应用的数学分支，微积分是建立在实数、极限、函数基础上的[1]。微积分在建立中的出发点就是直观的无穷小量，这个基础理论显然也是不牢固的，通过19世纪柯西与维尔斯特拉斯的极限理论以及康托尔的实数理论，才形成当前严密化的微积分知识。而且若果说没有微积分的推动，那么对于概率统计中的公理化、系统化学科也将很难形成。微积分同概率统计之间是有一定的亲缘关系，微积分不仅可以决定概率论中的确定论特征，概率论的发展也是另辟蹊径，概率统计中不仅有着非线性、反因果的特征，微积分更是可以渗透到概率统计中的各个方面[2]。

2 概率统计中微积分的应用

针对概率统计与微积分的概念，以及概率统计与微积分的关系，以下就从一些例子出发，分析在概率统计中的微积分应用。

问题1：有N个朋友可以随机地在一个圆桌旁边就坐，如果说在所有的朋友当前，其中有两个人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相邻的座位，那么这个概率为多少？

问题2：在一个书架整理中，可以将编号分别是1，2，3的三本书任意地排列摆放在书架上，那么在这样的排列方式中，则出现至少有一本书在从左到右的排列顺序号同这本书编号相同，这样的概率又是多少？

问题3：在5个数字中进行连续抽取，针对1，2，3，4，5中等可能数字有放回地进行连续抽取期中国的3个数字，那么针对这样的事件中，3个数字完全不同出现的概率是多少？3个数字中不含1与5的概率是多少？“个数字中5刚好可以出现两次的概率是多少？以及在3个数字中至少出现以此数字5的概率是多少？

3 微积分方法在概率统计中的实际应用

3.1 级数求和法

级数是数学的重要组成部分，是表示函数的重要工具。在利用裂项相消法去求级数和的方法中，其关键计算方法就是要怎样去将级数通项拆开，并将其可以拆分成前后都有抵消部分的数据形式，通常经过变形的级数，不仅有理化分子，也有理化分母以及三角函数恒等，将其进行变形处理，就可以达到裂项相消的计算目标。又比如，针对一个三角函数式的级数求和中，计算级数的通项，就需要考虑怎样去利用三角函数公式，将这个三角函数式简化成两式之差，这样就也可以达到运用裂项相消法的目标。并且，如果说一个级数的通项是一个分母的分式，以及通项是若干根式之积的分式， 这时候就可以考虑把分母以及分子有理化，之后也会便于运用裂项相消法进行级数求和。同时在求级数和中，也可以利用四则运算的方法，等将所给的级数转化成代数方程的形式，然后再去求解。这些都可以证明，在概率统计中微积分的应用，微积分与概率统计有着相关联系。

3.2 求极限的应用

极限也是一种概率形式，极限作为微积分中的基础，贯穿在微积分的始终，极限的求法也是多种多样的，以下做具体介绍。公式原理如：求和法中当数列的通项是由n项的和构成时，通常可以考虑先求和再求极限.等差数列与等比数列往往可以直接用公式，而有些则需用到拆项、重组等，需要去认真观察所给的数列，这样就可以把原来的数列化为简单的数列，求其极限。

3.3 求概率方法

原理：就是通过建立随机模型，应用概率方法确定复杂结构的数列极限。建立如下表示的随机模型：也就根据设一个袋中装有一个红球与一个白球，并可以从中有放回的取球两次，如果说两球都是红球，则是成功；如果说两球不都是红球，就袋子里面再放一个白球，直到成功。同时对于求概率的方法中，也可以将这个数转化为微分方程再进行求解，也就是根据它的导数以及它本身的特点，找出二者之间的关联，看它是否可以满足在微分方程中的定解条件，然后再解该方程求概率。

3.4 使用Stolz定理来求极限

在数列极限问题的求解中，运用适当的微积分方法，不仅可以及时找到问题的突破口，还可以举一反三的解决问题。我们知道数项级数收敛的必要条件，对某些极限问题，也可通过级数来帮助解决。

3.5 对于二重积分的计算

4 结语

综上所述，通过以上分析，不仅认识到概率统计与微积分的概念，更是认识到概率统计与微积分之间的关系，并且针对概率统计中的微积分应用，了解到微积分在概率统计中的重要性。

参考文献

[1] 张英琴.对工科概率统计课程教学的几点建议[J].科教文汇（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

[2] 孙春香，李冠军.数学建模思想在概率统计教学中的应用[J].科技资讯，2012，14（12）：76-77.

[3] 马冉，姬玉荣.数学建模思想在概率统计教学中的融入[J].数学学习与研究，2010，21（14）：56-57.endprint

摘 要：概率统计就是针对与自然界中随机出现的统计规律，微积分不仅是概率统计的基础，概率统计与微积分之间是相互联系、相互发展的关系。特别是随着天文学、生物学、经济学、工程学、化学、力学的发展，微积分与概率统计的关系也越来越紧密，以下本篇就探讨在概率统计中微积分的应用。

关键词：微积分 概率统计 函数

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）02（c）-0217-01

众所周知概率统计是建立在微积分的基础上的，概率统计针对随机事件规律的统计，而概率统计中又会应用的微积分，微积分不仅是概率统计的关键，同时也可以决定概率统计的成败。以下就从微积分、概率统计的概念出发，介绍微积分在概率统计中的应用。

1 概率统计与微积分的概念

概率统计就是针对自然界的不确定性的现象，包括结果的不确定、偶然随机现象所呈现出的集体性规律，再根据概率论、数理统计的方法，统计出数据的规律性。然而对于微积分，也就是研究函数的微分、积分以及有关函数概念与函数应用的数学分支，微积分是建立在实数、极限、函数基础上的[1]。微积分在建立中的出发点就是直观的无穷小量，这个基础理论显然也是不牢固的，通过19世纪柯西与维尔斯特拉斯的极限理论以及康托尔的实数理论，才形成当前严密化的微积分知识。而且若果说没有微积分的推动，那么对于概率统计中的公理化、系统化学科也将很难形成。微积分同概率统计之间是有一定的亲缘关系，微积分不仅可以决定概率论中的确定论特征，概率论的发展也是另辟蹊径，概率统计中不仅有着非线性、反因果的特征，微积分更是可以渗透到概率统计中的各个方面[2]。

2 概率统计中微积分的应用

针对概率统计与微积分的概念，以及概率统计与微积分的关系，以下就从一些例子出发，分析在概率统计中的微积分应用。

问题1：有N个朋友可以随机地在一个圆桌旁边就坐，如果说在所有的朋友当前，其中有两个人是一定要坐在一起的，也就是要要在的相邻的座位，那么这个概率为多少？

问题2：在一个书架整理中，可以将编号分别是1，2，3的三本书任意地排列摆放在书架上，那么在这样的排列方式中，则出现至少有一本书在从左到右的排列顺序号同这本书编号相同，这样的概率又是多少？

问题3：在5个数字中进行连续抽取，针对1，2，3，4，5中等可能数字有放回地进行连续抽取期中国的3个数字，那么针对这样的事件中，3个数字完全不同出现的概率是多少？3个数字中不含1与5的概率是多少？“个数字中5刚好可以出现两次的概率是多少？以及在3个数字中至少出现以此数字5的概率是多少？

3 微积分方法在概率统计中的实际应用

3.1 级数求和法

级数是数学的重要组成部分，是表示函数的重要工具。在利用裂项相消法去求级数和的方法中，其关键计算方法就是要怎样去将级数通项拆开，并将其可以拆分成前后都有抵消部分的数据形式，通常经过变形的级数，不仅有理化分子，也有理化分母以及三角函数恒等，将其进行变形处理，就可以达到裂项相消的计算目标。又比如，针对一个三角函数式的级数求和中，计算级数的通项，就需要考虑怎样去利用三角函数公式，将这个三角函数式简化成两式之差，这样就也可以达到运用裂项相消法的目标。并且，如果说一个级数的通项是一个分母的分式，以及通项是若干根式之积的分式， 这时候就可以考虑把分母以及分子有理化，之后也会便于运用裂项相消法进行级数求和。同时在求级数和中，也可以利用四则运算的方法，等将所给的级数转化成代数方程的形式，然后再去求解。这些都可以证明，在概率统计中微积分的应用，微积分与概率统计有着相关联系。

3.2 求极限的应用

极限也是一种概率形式，极限作为微积分中的基础，贯穿在微积分的始终，极限的求法也是多种多样的，以下做具体介绍。公式原理如：求和法中当数列的通项是由n项的和构成时，通常可以考虑先求和再求极限.等差数列与等比数列往往可以直接用公式，而有些则需用到拆项、重组等，需要去认真观察所给的数列，这样就可以把原来的数列化为简单的数列，求其极限。

3.3 求概率方法

原理：就是通过建立随机模型，应用概率方法确定复杂结构的数列极限。建立如下表示的随机模型：也就根据设一个袋中装有一个红球与一个白球，并可以从中有放回的取球两次，如果说两球都是红球，则是成功；如果说两球不都是红球，就袋子里面再放一个白球，直到成功。同时对于求概率的方法中，也可以将这个数转化为微分方程再进行求解，也就是根据它的导数以及它本身的特点，找出二者之间的关联，看它是否可以满足在微分方程中的定解条件，然后再解该方程求概率。

3.4 使用Stolz定理来求极限

在数列极限问题的求解中，运用适当的微积分方法，不仅可以及时找到问题的突破口，还可以举一反三的解决问题。我们知道数项级数收敛的必要条件，对某些极限问题，也可通过级数来帮助解决。

3.5 对于二重积分的计算

4 结语

综上所述，通过以上分析，不仅认识到概率统计与微积分的概念，更是认识到概率统计与微积分之间的关系，并且针对概率统计中的微积分应用，了解到微积分在概率统计中的重要性。

参考文献

[1] 张英琴.对工科概率统计课程教学的几点建议[J].科教文汇（下旬刊），2010，7（18）：41-42.

[2] 孙春香，李冠军.数学建模思想在概率统计教学中的应用[J].科技资讯，2012，14（12）：76-77.

[3] 马冉，姬玉荣.数学建模思想在概率统计教学中的融入[J].数学学习与研究，2010，21（14）：56-57.endprint