1维光子晶体中TM波的传输公式及其辨析

刘启能

（重庆工商大学计算机科学与信息工程学院，重庆400067）

1维光子晶体中TM波的传输公式及其辨析

刘启能

（重庆工商大学计算机科学与信息工程学院，重庆400067）

为了得到1维光子晶体中TM波的传输公式，采用传输矩阵的方法和电磁波的边界条件，推导出TM波在介质层中的特征矩阵及其反射系数和透射系数公式。结果表明，用TE波反射系数和透射系数公式做代换的方法不能得到正确的TM波的反射系数和透射系数公式；对推导出TM波的反射系数和透射系数公式进行了分析，由TM波的反射系数和透射系数公式得出的光强透射率和反射率满足能量守恒；并且推出的TM波反射系数公式不仅能够反映反射波与入射波的数量关系，且能够反映反射波与入射波的位相关系。这些结果对研究1维光子晶体中TM波的传输性质是有帮助的。

材料；光子晶体；TM波；反射系数；透射系数

引 言

光子晶体的概念自JOHN和YABLONOVITCH于1987年提出来后，由于利用光子晶体的带隙可以十分方便地控制光波的传播，光子晶体的研究很快成为光学的前沿领域内一个活跃的课题［1-6］。在光子晶体的研究中由于1维光子晶体的结构最简单、研究最方便，但它却具有其它高维光子晶体的基本属性。因此对1维光子晶体的研究成为光子晶体研究领域内的重要内容［7-12］。

1维光子晶体的研究方法中特征矩阵法是最基本、最重要的方法，但在现有的文献［13-14］中仅对电矢量垂直于入射面的TE波通过介质层的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式进行了推导，而对电矢量平行于入射面的TM波通过介质层的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式没有做推导，仅是将TE波的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式做代换得到TM波的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式。由于TM波的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式是研究1维光子晶体的基本公式，它们的正确与否直接决定着1维光子晶体的研究结果，因此必须弄清这一问题。作者将推导出TM波的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式，结果发现，对于TM波的特征矩阵公式上述代换是正确的，但是对于TM波的反射系数和透射系数公式上述代换是不正确的。

1 公式推导

［13］中关于TE波通过介质层的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式是正确的，这里直接列出其特征矩阵M：

TE波的反射系数rTE和透射系数tTE为：

式中表示入射空间，下标3表示出射空间。

下面推导TM波的特征矩阵以及反射系数和透射系数公式。设TM波从介质1入射到厚度为d2的介质层2，通过介质层2后透射，如图1所示。。下标1

Fig.1 TM wave propagation in dielectric layer

图1 中，E1和H1表示界面1两侧的电矢量和磁矢量的切向分量，E2和H2表示界面2两侧的电矢量和磁矢量的切向分量。下面计算中讨论的分别是各分矢量对应的标量。对于界面1，切向分量E1和H1连续有：

对界面2，切向分量E2和H2连续有：

由（7）式和（8）式得：

将（9）式和（10）式代入（4）式和（5）式得：

将（11）式和（12）式表示为矩阵关系：

其特征矩阵为：

比较（14）式与（1）式可以看出，TM波的特征矩阵与TE波的特征矩阵形式相同，只不过是将（1）式的因此，对于TM波的特征矩阵可以通过对TE波的特征矩阵做替换的方法得到。

展开（15）式得：

由（16）式和（17）式解出反射系数和透射系数分别为：

2 公式分析

下面进一步利用TM波的反射系数和透射系数公式来说明入射波、反射波和透射波的能量关系以及反射波与入射波的位相关系。

2.1 能量守恒

由图1可知，TM波沿z轴的入射能流密度Siz、反射能流密度Srz、透射能流密度Stz满足：

TM波光强的反射率R和透射率T分别为：

取n1＝1（空气），n2＝1.8（氧化铝），n3＝2.38（硫化锌），d2＝200nm，λ＝600nm，利用（21）式计算出反射率R和透射率T随入射角的响应曲线，如图2所示。图2中的R为反射率曲线、T为透射率曲线、实线为R＋T随入射角的响应曲线。由图2看出：入射角在0～π／2范围内变化时恒有R＋T＝1，这表明由TM波的反射系数和透射系数公式推出的反射率R和透射率T满足能量守恒。从而验证了本文中推导的TM波的反射系数和透射系数公式的正确性。

Fig.2 Response curves of reflectance and transmittance versus incident angle（in new formula）

如果按照参考文献［13］中将TE波的反射系数和透射系数公式中的P换为的方法得到的TM波光强的反射率R′和透射率T′分别为：

取n1＝1（空气）、n2＝1.8（氧化铝）、n3＝2.38（硫化锌）、d2＝200nm、λ＝600nm。利用（22）式计算出反射率R′和透射率T′随入射角的响应曲线，如图3所示。图3中的R′为反射率曲线、T′为透射率曲线、实线为R′＋T′随入射角的响应曲线。由图3看出：入射角在0～π／2范围内变化时有R′＋T′不恒等于1，即不满足能量守恒定律。因此用代换的方法得出TM波的反射系数和透射系数公式是错误的。

Fig.3 Response curves of reflectance and transmittance versus incident angle（in old formula）

2.2 位相关系

考察TM波和TE波垂直入射的情况下其反射波与入射波的位相关系，如图4所示。由图4看出：当TM波垂直入射时，其反射波的电矢量分量E1r与入射波的电矢量分量E1i方向相反，即是反相的。而TE波垂直入射时，其反射波的电矢量分量E1r与入射波的电矢量分量E1i方向相同，即是同相的。

Fig.4 The reflection wave and incident wave phase relationship of TM wave and the TE wave veltical incidence

（23）式表明，垂直入射时TM波的反射波与入射波的位相关系和TE波的情况相同。而从图4中知道，垂直入射时TM波的反射波与入射波的位相关系和TE波的情况相反。因此（23）式是不正确的，即把TE波的反射系数公式中的P替换为后作为TM波的反射系数是不正确的。

再用（18）式研究这一问题，由（18）式会直接得出在垂直入射情况下TM波的反射系数为：

（24）式正是图4中反映出的结果，即垂直入射时TM波的反射波与入射波的位相关系和TE波的情况相反。因此，本文中推出的TM波的反射系数公式不仅能够反映反射波与入射波的数量关系，而且还能反映反射波与入射波的位相关系。

3 结 论

前面利用TM波在界面切向分量连续的条件，推导出TM波在介质层中的特征矩阵及其反射系数和透射系数公式。并对推导出TM波的反射系数和透射系数公式进行了分析，结果表明，推出的TM波的反射系数和透射系数公式满足能量守恒。TM波的反射系数公式不仅能够反映反射波与入射波的数量关系，而且还能反映反射波与入射波的位相关系。而目前文献中介绍的将TE波反射系数和透射系数TM波的反射系数和透射系数公式不满足能量守恒，因此它是错误的。

由于TM波的反射系数和透射系数公式是1维光子晶体研究中的重要公式，因此本文中推出的TM波的反射系数和透射系数公式对研究TM波在1维光子晶体中的传输特性有着重要的意义。

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Transm ission formula and analysis of TM wave in 1-D photonic crystal

LIU Qineng
（College of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to obtain transmission formula of TM wave in 1-D photonic crystal，the characteristicmatrix and the reflection and transmission coefficients of TM wave in dielectric layerwere deduced based on the transfermatrixmethod and the boundary conditions of electromagnetic wave.The results show that the reflection and transmission coefficients of TM wave converted from the reflection and transmission coefficients of TE wave were not correct.And then，the deduced reflection and transmission coefficients of TM wave were analyzed.The transmittance and reflectance of TM wave intensity satisfies the law of energy conservation.Reflection coefficient formula of TM wave can not only reflect the relationship between the number of reflection wave and incidentwave，butalso reflect the phase relationship between the reflection wave and incidentwave TM wave reflection coefficient formula can reflect the reflection wave and incidentwave number and the phase relation.These results are helpful for study of transmission properties of TM wave in 1-D photonic crystal.

materials；photonic crystal；TM wave；reflection coefficient；transmission coefficient

O436

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.03.009

1001-3806（2014）03-0325-05

重庆市教委科技研究基金资助基金项目（KJ130713）

刘启能（1957-），男，教授，从事光学与声学研究。

E-mail：liuqineng57＠163.com

2013-07-03；

2013-09-03