简化变形Ostrovsky方程的精确解

李保安，李灵晓

（河南科技大学数学与统计学院，河南 洛阳 471023）

简化变形Ostrovsky方程的精确解

李保安，李灵晓

（河南科技大学数学与统计学院，河南 洛阳 471023）

利用（G′／G）-展开法求解了简化变形Ostrovsky方程，得到了含有任意参数的用双曲函数、三角函数和有理函数表示的三类行波解。适当选择参数时，由双曲函数表示的解可导出与文献中完全一致的结果，而且本文还给出了更丰富的其他形式的结果。

简化变形Ostrovsky方程；（G′／G）-展开法；精确解；行波解

0 引言

非线性演化方程

是描述旋转海洋中弱非线性波动的数学模型，由Ostrovsky［1］在1978年首次导出，其中，c0是无色散线性波的速度，p是非线性系数，q和r是色散系数。方程（1）被称为Ostrovsky方程。

对长波而言，高频色散可被忽略，此时q＝0，方程（1）就变成了简化的Ostrovsky方程

这个方程也被许多作者在不同的物理背景下导出。文献［2］证明了方程（2）可变换为可积的方程

这是很有意义的重要发现。方程（3）称为简化变形Ostrovsky方程。后来，文献［3］还发现方程（3）是反散射方法完全可积的，其特解可用Hirota方法和Bäcklund变换方法构造出来。2007年，文献［4］用tanh-展开方法和指数函数方法得到了方程（3）的行波解。2008年，文献［5］用辅助方程方法得到了方程（3）的行波解。本文用最近提出的（G′／G）-展开方法［6－8］求出方程（3）的行波解，并将所得结果与文献中的结果进行对比。

1 用（G′／G）-展开方法求方程（3）的行波解

为求方程（3）的行波解，首先引进行波变量

其中，v是常数。将式（4）代入方程（3），则方程（3）化为u＝u（ξ）的常微分方程（ODE）

对上式关于ξ积分，可得

其中，c是积分常数，待定。

其次，考虑到uu″与u3的齐次平衡，可设u＝u（ξ）具有形式

其中G＝G（ξ）满足二阶线性ODE

2 与用其他方法所得结果之比较

结果（见式（26）～式（29））与文献［4－5］中的结果完全一致，但本文中的u3、u4、u5在文献［4－5］中并未给出。分别作出u3、u4、u5取特定参数值时的图形，见图1。

3 结论

本文用（G′／G）-展开方法求出了简化变形Ostrovsky方程的含有任意参数的用双曲函数，三角函数和有理函数表示的3种类型的行波解。当适当选择参数时，由双曲函数表示的解可导出与文献中完全一致的结果。但三角函数解与有理函数解在文献中并没有给出，这是因为其中所用的方法不同所致。本文以简化变形Ostrovsky方程为例进一步表明（G′／G）-展开方法是获得非线性方程精确解的简明、直接、基本和有效的方法之一，或许还可得到更丰富的结果。

致谢：本文得到王明亮教授的悉心指导与帮助，作者表示衷心感谢！

图1 u3、u4、u5取特定参数值时的图形

［1］ Ostrovsky L A.Nonlinear InternalWaves in a Rotating Ocean［J］.Oceanology，1978，18：119－125.

［2］ Vakhnenko V O，Parkes E J.The Two Loop Soliton of the Vakhnenko Equation［J］.Nonlinearity，1998，11：1457－1464.

［3］ Vakhnenko V O，Parkes E J.The Calculation of Multsoliton Solutions of Vakhnenko Equation［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2002，13：1819－1826.

［4］ Yusufoglu E，Bekir A.A Travelling Wave Solution to the Ostrovsky Equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，186：256－260.

［5］ Kangalgil F，Ayaz F.New Travelling Wave Solutions for the Ostrovsky Equation［J］.Physics Letters A，2008，372：1831－1835.

［6］ Wang M，Li X，Zhang J.The（G′／G）Expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics［J］.Physics Letters A，2008，372：417－423.

［7］ 许丽萍，张金良.扩展的G′／G展开法与变系数薛定谔方程的精确解［J］.河南科技大学学报：自然科学版，2012，33（4）：78－81.

［8］ 黄彦辉，张金良，魏鹏波.两个变系数非线性Schrödinger的精确解［J］.河南科技大学学报：自然科学版，2013，34（3）：83－86.

O175.2

A

1672－6871（2014）02－0082－04

国家自然科学基金项目（11271110）；河南省教育厅自然科学研究计划基金项目（2011B110013）；河南科技大学基金项目（2008ZY035）

李保安（1972－），男，河南洛阳人，副教授，硕士，研究方向为非线性偏微分方程.

2013－06－24