浅议基本几何体的表面取点

余元

【摘要】学生在学习截交线、相贯线时往往感到很困难，那么其主要的原因是对形体分析和基本体表面取点的投影规律掌握不好，因此，本文通过对基本几何体的表面取点进行分析，旨在让学生掌握表面取点的方法及提高制图实际运用的能力，培养学生的空间想象能力。

【关键词】基本体；表面取点；机械制图

在中等职业技术教育中，《机械制图》作为一门专业覆盖面极为广泛的重要技术基础课，其基本要求是让学生能够用图形表达物体的形状，并由已经画好的图样想象物体的形状，初步掌握识读和绘制机械图样的能力，培养学生的空间想象力。基本体表面取点不仅形象地反映了形体的各个方位，开拓了学生的思维空间，并且为求截交线和相贯线奠定了坚实的基础，本文通过对基本体表面取点的分析论述，旨在让学生正确理解和运用表面取点。

一、点的投影规律

任何物体都是由面（平面和曲面）组成的，而面又是由线或者说由点组成的。因此要分析基本体的表面取点，很有必要首先阐述一下点的投影规律。

点的投影规律是：点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴；点的H面投影至OX轴的距离等于其W面投影至OZ轴的距离。简单地说点的投影规律就是“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。视图中物体表面上的点都满足点的投影规律。

二、点、线、面的重要性原理

如果空间点A在某面P上，则该点A的投影一定在面P的同面投影上；如果空间点A在线L上，则该点A的投影一定在线L的同面投影上；如果线L在面P上，则线L的投影一定在面P的同面投影上。这就是说点、线、面的重要性原理，我们在作图和分析时一定要灵活运用它。

三、基本体的表面取点

任何物体都有可以看成是由若干个基本体组合而成的，基本体包括平面体和曲面体两类。平面体的每个表面都是平面，如棱柱，棱锥；曲面体至少有一个表面是曲面，如圆柱体、圆锥体、圆球和圆环体等。

1、表面取点的方法

表面取点首先要对基本体进行形体分析，明确研究点所处的面是平面还是曲面，是一般位置还是特殊位置面，只有注意了点所处表面的特性，才可以选择正确而又快捷的方法。

（1） 特殊位置面上的点的取点方法（积聚性法）

如果所求的点处于特殊位置面上，在进行表面取点时，按照点的投影规律，从点的已知投影入手，首先找出该点所处面的具有积聚性的视图上的对应投影，然后运用“长对正、高平齐、宽相等”求出该点的第三投影。在三个视图中，如果面处于可见位置，则该面上点的同面投影也是可见的，反之为不可见，在标注时一定要注意点的可见性。

（2）一般位置面的点的取点方法（辅助法）

一般位置面上的点在进行表面找点时往往比较困难，也是同学们感到头痛的，但只要我们灵活运用下述方法，我想都是可以解决的。

辅助直线法：如果某点在椎体的一般位置面上，可以过顶点和已知点作一条辅助直线，求出该直线在基本体表面的投影，并利用点线面重属性原理，即可求出该点其余投影。

辅助圆法：如果某点在旋转体的一般位置表面，可以过该点作一个垂直于旋转轴的纬圆，求出该纬圆的基本体表面上的投影，并利用点线面重属性原理，即可求出该点其余投影。

2、表面取点的应用

（1）平面立体表面取点

下面我们以棱锥为例分析平面表面之点。

图1所示，已知棱锥面△SAC上点M的V面投影（m′）（不可见），求作m和m′′的作图过程。由分析可知点M所在棱面△SAC为侧垂面，属于特殊位置平面，该面在W面的投影具有积聚性，故首先运用“高平齐”作出点M的侧面投影m′′，再运用“长对正，宽相等”作出点M的水平投影m。如图2所示，已知三棱锥面上的点M的V面投影m′（可见），求作另外两面投影的作图过程。由分析可知点M所在表面△ABC为一般位置平面，故要用辅助线法作图。过锥顶S和点M作辅助直线SD，具体作图步骤：连接s′m′，并延长a′b′于d′，得辅助线SD的V投影s′d′，再利用“长对正”求出SD的H面投影sd上，由点线面的重属性原理可知水平投影m必在sd上，因此利用“长对正”可求得点M在H面的水平投影m。点M的W面投影m′′，则利用“宽相等，高平齐”作s′′d′′求得，也可利用“宽相等，高平齐”由m′和m直接求出。

（2） 曲面立体表面取点

下面以圆锥为例来分析曲面表面之點。

图3

如图3所示，已知圆锥面上一点M的V面投影m′，求作点M的H面投影m和W面投影m′′。由分析可知点M在一般位置平面上，要运用辅助线法作图。具体作图过程：过m作圆锥轴线的垂直线，交圆锥左右轮廓线于ab，得辅助纬圆的V面投影。再作辅助纬圆的H面的水平投影（以s为圆心，a′b′为直径画圆）。运用“长对正”由m′求得m，再运用“宽相等，高平齐”求点M在W面的投影m′′（不可见）

3、关于表面取点的几点说明

立体表面取点的关键在于运用形体分析，明确研究点的位置。

因此表面取点过程如下：

（1） 分析三视图，确定立体形状

（2） 确定点所在的面或线

（3） 根据点所在面或线的特点，确定其求法

①点所在面的某一投影具有积聚性，直接利用投影关系求另外两投影。

②点所在面的所有投影都无积聚性，用辅助线或面求其另两投影。

③点在某一线（素线或轴线上），直接求其另两投影。

四、表面取点的运用

表面取点的实际运用很多，在求立体被平面所截形成的截交线，两回转体表面的交线，补视图中的漏线以及画三视图等中都充分应用到，在此以求解两回转体表面的相贯线为例进行分析表面取点的运用。

两回转体表面的相贯线一般是一条封闭的空间曲线，因此相贯线上的点具有一般性（仅有少数点位于特殊位置），两回转体表面的相贯线是两立体表面的公共线，因此在求相贯线时要充分分析两立体的形状，对采用什么样的辅助平面法很重要。

现举例来分析表面取点的运用。作出圓柱和圆台相贯线的投影，如图4所示

投影分析：两立体为圆柱和圆台，轴线垂直正交，其相贯线为封闭的空间曲线，但前后对称，在左视图上的相贯线具有积聚性，其投影为一个圆和圆柱在左视图的投影重合。为了求出相贯线的正面投影和水平投影，要采用辅助面法进行求解并且辅助平面选择水平面。

作图：1、由于圆柱和圆台前后对称面处的转向轮廓相交的点为特殊点，首先求出点1′、5′，并运用前面特殊点的求解方法做出水平投影1、5。

2、由于圆柱轴线水平面上的相贯线上的点为相贯线的最前点或最后点，因此过圆柱轴线做辅助水平面，截面与圆台交线的水平投影为圆，该圆与圆柱外形线的交点3、7为相贯线上的点，因此可以求出正面上的投影3′（7′），因为前后对称，故图4只标出了可见点的名称（下同）。

3、再作辅助水平面，与两回转体的截交线分别为圆和直线，但在左视图上具有积聚性，为平行于底边的线。找出辅助平面在左视图上与两者相贯线的投影圆相交两点2′′和8′′，并运用辅助圆法和点投影知识做出相贯线在水平面的投影点2、8，同时应用投影知识求出正面上投影2′（8′）。

4、采用相同的作辅助水平面的方法，可求出图4中相贯线在左视图上的点4′′和6′′，再求出水平投影4、6在正面投影4′（6′）。根据需要还可以多作出一些点的投影，然后按照顺序连接各点同面投影就完成相贯线的投影。

综上所述，立体表面取点关键在于确定研究点的空间位置，知道其所处面的特性，然后用正确的找点方法同时运用形体分析进行求点。正确理解和运用基本体表面取点在制图中的艺术，不仅让学生巩固制图的基本理论知识，为学习截交线和相贯线打下了坚实的基础，而且让学生尝到了制图的乐趣，培养了学生的空间想象能力，为最终学好制图铺平了道路。

参考文献：

[1]钱可强，王槐德，徐照南。机械制图教学与研究。云南科技出版社，1992

[2]李立群。机械制图。人民交通出版社，1996

[3]夏华生、王梓森。机械制图。高等教育出版社，1998

[4]钱可强。机械制图。中国劳动社会保障出版社，2001

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