三次函数的系数与函数性质研究

朱九云

【摘要】初中阶段我们已经学习过二次函数，在高中阶段又系统地学习并深化了二次函数，而三次函数是一种新接触的多项式函数，它与二次函数不同，却又是沿同一条主线发展而来的，因此，它与二次函数也存在一些相似的地方，比如说一些相同的研究方向.三次函数在高考中依然是一个热点.本文主要就是来探究和总结三次函数的系数与函数性质的关系.

【关键词】高中数学；三次函数；知识探究；知识总结

从这几年的江苏高考来看，都有涉及三次函数的考查，考过基础题，也有难题和压轴题，特别是对于三次函数导函数为二次函数的类型比较常见，那么我们在教学中对三次函数问题的研究也应该加强.在函数的相关问题中，导数的应用对于研究函数的性质可以说是开辟了一条非常有效快捷的道路，与传统的研究函数的方法相比，导数的方法更是一种全新的视角和全新的思维.在目前的高中数学教学中，导数方法研究函数主要体现在两个方面：一个就是导数的几何意义，也就是和切线有关的问题；而另一方面就是用导数的方法来研究函数的单调性.下面我们将从导数与三次函数的单调性关系入手来研究三次函数的系数和性质.

一、导数与函数单调性

导数是高中阶段所学习的概念，主要是用于探究函数的单调性.我们知道，函数的单调性与其导数有着直接的联系，当f′（x）>0时，函数单调递增，相反，当f′（x）<0时，函数单调递减.虽然二次函数也有单调性，但是三次函数比起二次函数，单调性的变化更加丰富，考查也可以更加灵活，因此，在考试中，关于函数的性质和单调性的理解，往往都是以考查三次函数为主.我们在学习二次函数的时候就知道，函数图像和相关性质与函数的系数是相联系的，比如说函数图像的开口方向、顶点、最大值和最小值、对称轴、与x轴的交点等等.在三次函数中也是一样的，三次函数的相关性质与系数也是有直接的关联，比如说函数的单调性、极值点和最值.在教学中，教师要注重启发学生们理解和运用导数值与函数性质之间的关系，让学生们更进一步地理解导数值的正负在函数图像中所体现的意义.

二、三次函数系数与图像的关系

在我们学习和研究三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0中，以系数a来说，它与函数的图像会有什么关系呢？也就是说，在函数图像的整体趋势上会有什么样的影响呢？它将如何来决定函数的图像？那么，我们可以通过分a>0和a<0这两种情况来讨论.经过学生们的探究和讨论后，教师可以适当地进行点拨，并针对学生们的讨论结果进行总结，可以得出：对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其中的三次项系数a控制着函数的总体趋势.当a>0时，x从负无穷大到正无穷大时，函数f（x）的整体变化趋势也是从负无穷大到正无穷大，从图像上来看，就是图像从第三象限向第一象限延伸.相反的，当a<0时，x的取值从负无穷大到正无穷大时，函数值却是从正无穷大到负无穷大，图像则是从第二象限过渡到第四象限.对于这两种情况，我们可以作进一步的研究，探讨函数系数与函数性质之间的关系.比如我们以a>0这种情况为例，当然也可以选择a<0，探讨的方法是一样的.

三、三次函数系数与函数性质的关系

在高中阶段，我们在研究函数的性质时，常常会利用導数的知识来辅助研究.那么，在三次函数的性质的探讨过程中，我们又如何利用导数来进行研究呢？函数又会有怎样的一些性质和特征呢？

在我们研究三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）时，可以先求出该函数的导数，得到f′（x）=3ax2+2bx+c，这个导函数是一个二次函数，在初中阶段就已经接触过，高中阶段也进一步探究和学习过，因此，二次函数的性质我们是比较熟悉的.根据二次函数的性质，我们可以知道，二次函数中二次项系数a控制的是函数图像的开口方向，当a>0时，开口向上，同时有最小值.相反，当a<0时，开口向下，有最大值.在这里，f′（x）显然是一个开口向上的二次函数，那么f′（x）的值会是怎么样的呢？f′（x）的值是正还是负，又需要我们进一步分类讨论，在二次函数中，这是一个函数图像与x轴的交点问题，可以分为有两个交点、有一个交点或没有交点，而有交点情况又是以Δ为判断依据.那么，结合3a>0这个条件，当二次函数与x轴没有交点时，Δ=（2b）2-4×（3a）×c<0，化简得出b2-3ac<0，此时函数图像在x轴的上方，f′（x）的值为正.也就是对于任意的x∈R，f′（x）>0恒成立，再依据三次函数与倒数的关系，可以得出，原三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在实数区间上单调递增.当二次函数f′（x）与x轴有且只有一个交点的时候，那么Δ=（2b）2-4×（3a）×c=0，也就是b2-3ac=0，此时f′（x）的顶点刚好在x轴上，也就是x=x0时，f′（x）=0，在其他范围内，f′（x）>0恒成立.因此，根据导数与函数单调性性质可知，此时原三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在实数区间内同样是单调递增.而另外一种情况却是变化最丰富的，也就是当f′（x）与x轴有两个交点的时候，此时函数所需要满足的系数条件是Δ=（2b）2-4×（3a）×c>0，即b2×3ac>0，此时函数f′（x）的值可以是正的也可以是负的，根据此时f′（x）的正负情况，可以得到，当xx2时，f′（x）>0，原三次函数在这个区间上是单调递增的.当x1

从上面整个探究过程来看，知识之间的联系是非常密切的，通过引入导数，把三次函数和二次函数联系起来了，而且运用了二次函数的性质和导数来探究三次函数的性质.很多学生觉得三次函数很复杂，导数也不好理解，其实只要掌握了正确的探究方式，充分运用所学知识进行分析和整理，那么探究的思路也会越来越清晰，当学生能够理解整个探究过程的时候，那么学三次函数就会觉得非常简单了.因此，在教学中，教师一定要注重探究过程的研究和展示，而不是让学生们记住结论，这样才是有效的教学.