例谈中学数学解题中的构造法

祝永华

【摘要】构造法是一种重要而灵活的思维方式，更是培养学生创新思维的有效途径.解题中的构造法是指根据题目条件的结构特征，通过直觉观察、联想及猜想等思维活动，想象到各种知识间的内在联系或形式上的某种相似性，有目的地构造特定的数学模型，从而把原命题转化为与之等价的命题，通过对它的讨论而使原命题得到解决.本文主要针对中学数学解题中的這一常用方法进行了论述.同时，结合具体实例对构造法中常见的几种类型：构造方程、构造函数、构造向量、构造数列、构造几何图形给予了较详尽的论述.

【关键词】构造方程；构造函数；构造向量；构造数列；构造几何图形

解决数学问题时，常规的思考方式是由已知到未知的定向思维.但有些问题按这样的思维方式来寻求解决问题的途径却比较困难，甚至无从下手.这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径.构造法就是这样的手段之一.

所谓构造法是指当解决某些数学问题使用通常办法按定式思维难以奏效时，应从问题的结构和特点出发，进行广泛联想，构造出一个与条件或问题相关的数学命题，实际问题得以转化，从而解决问题的方法.

构造法具有以下特点：

（1）构造法是一种通过构造新的数学对象使原问题得以转化，从而解决问题的一种方法.它与数学变换方法具有某种相似性.

（2）构造法解决问题的过程比较直观，它不仅能断定某种数学对象的存在，而且能按一定方式在有限步骤内具体找到它.

（3）构造法解决问题具有很大的灵活性，针对某一具体问题，如何进行构造，这与个体的数学知识和经验都密切相关.

正由于构造法的这些特点与所要求的解题转化过程很好地吻合，构造法就成为解题的主要方法之一，成为数学家常用的解决问题的思想方法，并在中学数学中有着广泛的应用.下面我们就结合实例具体地给予讨论，以期能给读者一些有益的启示.

一、构造方程

有些数学问题未必是方程问题，然而我们可以构造辅助方程，通过对方程的根与系数的关系、判别式、根的定义等的利用，使问题得以解决.

从上述诸多例题中，我们可以体会到构造法解题，不仅需要有扎实广博的基础知识，而且必须有敏锐的观察能力.由此及彼的联想能力和转化迁移的创造能力.同时，用构造法解题也是提高解题水平，激发主体学习兴趣的一种妙法，使之能在较单调的数学学习中体会到一点数学的奇异之美、方法之美.然而，更重要的是，它在培养学生的思维能力，尤其是创造性思维能力方面有其特殊的功效.如历史上许多著名的数学家，诸如欧几里得、高斯、欧拉、拉格朗日、康托等人，都曾用此法成功地解决过数学中的难题，为数学学科的发展作出了重大的贡献，从而推动数学巨峰的不断向前发展.既然构造法如此重要，我们在解题中不仅要多利用它，而且要善利用它，即做到：细观察、善类比、多联想、勤实践、善总结、广积累、常反思.