三角形“四心”的向量视角

王立文

摘要：三角形“四心”与平面向量有机结合，可拓宽它的应用范围，使很多复杂的几何问题得以解决。若能记住有关三角形“四心”的性质，这样可以大大提高解题速度，简化解题过程，总能起到事半功倍的作用。

关键词：三角形 垂心 内心 外心 重心 平面向量

三角形“四心”在历年的高考试题和高考模拟试题中频繁出现，它主要考查了平面向量与三角形的一些基本知识和基本理论，同时又考查了学生的数学思想方法和综合运用数学知识去解决实际问题的基本能力。下面将三角形“四心”的基本性质通过例题来阐述它的解题过程，方法和策略，希望对广大学生和同行的学习和教学有所帮助。

一、有关重心的问题

概念：三角形三边中线的交点叫三角形的重心。

性质：O是△ABC的重心的充要条件是■+■+■=0。

推论：P是△ABC所在平面上任意一点，■=■（■+■+■）？圳O是△ABC的重心。

例1：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■），则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

[点拨]：由■=■+λ（■+■）？圯■=λ（■+■），由平行四边形法则和共线定理可知AP一定经过△ABC的重心，故选C。

例2：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■） λ∈[0，+∞），则P点的轨迹一定经过△ABC的（ ）

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

[点拨]：在△ABC中，由正弦定理有■sin B=■sin C，令t=■sin B=■sin C，则■=■+■（■+■） ■∈[0，+∞）？圯■=■（■+■），由平行四边形法则和共线定理可知AP是一定经过△ABC的重心的，故选A。

二、有关内心的问题

概念：三角形的三个内角平分线的交点叫三角形的内心。

性质：O是△ABC的内心的充要条件是a■+b■+c■=■，（a，b，c是△ABC的A、B、C所对的三边）。或：■·（■-■）=■·（■-■）=■·（■-■）=0？圳O是△ABC的内心。

例3：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■），λ∈[0，+∞），则P点的轨迹一定经过△ABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

[点拨]：由已知条件可得■=λ（■+■），λ∈[0，+∞），由向量平行四边形法则可知P在△ABC的∠BAC的平分线上，故选B。

例4：已知非零向量■与■满足（■+■）·■=0，且（■·■）=■，则△ABC为（ ）

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

[点拨]：由命题，从（■+■）·■=0，可知∠BAC的平分线垂直对边BC，故△ABC为等腰三角形；从（■·■）=■可知cosA=■，所以∠A=60°，故△ABC为等边三角形，故选D。

三、有关外心的问题

概念：三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心；

性质：O是三角形的外心？圳■=■=■或■■=■■=■■。

例5：已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■），λ∈[0，+∞），则P点的轨迹一定经过△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

[点拨]：取BC的中点D，则■=■，由已知条件可得■=λ（■+■），又因为■·■=λ（■+■）=λ（■-■）=0，所以■⊥■，所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过△ABC的外心，故选D。

四、有关垂心的问题

概念：三角形三边上的高的交点，叫三角形的垂心。

性质：O是△ABC的垂心的充要条件是

■·■=■·■=■·■

例6：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，■=■+λ（■+■），λ∈[0，+∞），则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

[点拨]：由已知等式可知■=λ（■+■），在等式两边同时乘以■，即■·■=λ（■+■）=λ（-■+■）=0？圯AP⊥BC，

故P点的轨迹一定通过△ABC的垂心，故选B。

五、另外，还有三角形“四心”的结合应用

例7：△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，■=m（■+■+■），则实数m=_____。

[点拔]：如图，△ABC的外心为O，垂心为H，连接BO并延长，交圆周于D，则∠BAD=∠BCD=90°，从而有DC∥AH，DA∥CH，故四边形CDAH为平行四边形。

所以■=■，所以■=■=■-■=■+■。

所以■=■+■=■+■+■，故m=1。

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（责编 赵建荣）