从问题出发：让数学探究走向实质

钱卫江

摘 要：问题是探究性教学的核心和出发点. 本文在阐述数学探究性教学中问题的导向功能和问题设计原则的基础上，提出了以认知为基础、以生活为背景、以类比为方式、关注动态生成等探究性问题设计策略，真正让探究走向实质.

关键词：问题；探究；实质

探究性学习就是在一种好奇心驱使下，以问题或任务为导向，学生有高度智力投入且内容和形式十分丰富的体验学习活动. 然而目前，在探究式教学活动实施过程中，存在一个很大的缺陷，就是有的教师一味地追求所谓的“探究”，而忽视了问题的导向功能，问题情境不明确，缺乏启发性、适应性、序列性、生成性，致使学生不明探究方向，探究活动也显得粗糙而简单、无序而重复，也使得数学探究不能朝向更深层次挖掘，探究性学习并未真正地被学生接受和使用. 因此，教师必须把问题作为探究性教学的出发点，将提出问题和解决问题作为学生探究能力培养的目标和正向评判指标，使学生在问题的引领下，在提出问题、分析问题、解决问题的探究过程中自主建构知识、发展智力、提高能力，从而培养学生开放的、自由探究的理性精神，推动学生数学知识和能力水平的发展和提高.

[?] 数学探究性教学中问题的导向功能

一切思维都是从问题开始的.没有问题就难以诱发和激起求知欲，没有问题就感不到问题的存在，学生也就不会去深入思考，引导探究发现也只是表层或形式的.

以“问题”为“导向”的探究性学习是组织、引领学生进行数学探究活动的总体路径，也是发现、分析问题，寻找、解决问题的理论和现实路径，使得学生在具有一定影响、控制、支配数学思维方向的问题引领下，展开积极的数学探究活动，能动性地发现、探求、认识、领悟数学的本质与思想方法，获得丰富的数学探究体验和理解，实现知识的意义建构，发展创新意识，提升数学能力.

因此，教学中教师要把学生的学习设置于复杂的、有意义的问题情境中，将学生置于积极的问题解决者、数学学习主人的角度，直接去面对反映真实数学世界情境的建构问题. 引领学生以积极的心态去解决有效的数学问题，培养学生的自主探究意识、习惯和数学问题求解能力，发展数学学科知识基础，形成解决高智慧的数学问题的技能，获得数学新知识的生成与发展.

[?] 数学探究性教学中问题的设计原则

问题是探究性教学的核心和出发点. 科学选择、设计问题是探究性课堂教学的第一步，也是非常重要的一步.因此教师应有效设计问题，让学生融入问题解决，指引学生问题解决，从而理解基本数学概念、原理，获得重要的数学基本技能.

1. 问题必须蕴涵数学的内在思想

数学知识的建构、技能与能力的获得和数学思维的培养是问题导向式教学的最终目的. 因此，问题的设计要体现一定的数学思想和方法，使学生把握问题与数学的概念原理之间的关系，关注有意义的数学思想和联系，拓展学科要点的重要数学技能，在数学探究实践活动建构中体验数学学科的本质特性.

2. 问题必须具有真实性和情境性

这种真实性和情境性反映了问题的来源，可以是日常生活情境中的真实问题，也可以是教师根据教学内容的需要，模仿实际生活中的问题或创设与实际生活相关的真实问题，让学生感悟数学与实际生活的密切联系，激发学生探究学习的内驱力，促进学生多方面、多层次、多角度地思考和深入探究，发现数学本质.

3. 问题要能统领数学探究全过程

应当设计主问题，即核心问题，统领数学探究全过程，构建探究教学流程，简化探究程序，突出探究重点，引发学生产生探究动机，把握探究方向，对所要探究的内容深入思考，展开探究、讨论，借助于数学问题，系统、全面深刻感悟和揭示数学本质，自主地完成知识建构.

4. 问题要讲究一定的形式和深度

问题的形式和深度应与能力要求和学生的思维水平相统一，才能引发学生积极的思维活动和丰富的情感体验，加深对问题的认识. 因此，教师应根据不同的教学内容及探究目标，设置具有合理的程序和阶梯性的数学问题，把学生的思维逐步引向新的高度，促进学生思维能力发展和教学目标达成.

[?] 数学探究性教学中问题的设计策略

1. 以认知为基础，引发认知冲突

《数学课程标准》强调：“数学教学要从学生已有的知识经验出发，让学生在经历、体验、探索中感悟知识.” 因此，在数学探究教学过程中，教师要从课标要求出发，将问题设计在学生的最近发展区，引发学生的认知冲突和积极探索，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造” 、“再发现” 过程，从而提升学生的探究意识和实践能力.

学生从“等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和”这个规律，探究出求等差数列前n项和的一般方法，进而推广到一般等差数列的求和方法.

2. 以生活为背景，探索数学规律

新的《数学课程标准》更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，探索数学规律，分析和解决生活中的实际问题. 因此在教学中，教师应充分利用数学背后的大量故事，以丰富多彩的形式展现给学生，让学生在轻松愉快的氛围中接受新知识的挑战.

如教学“组合数的性质定理1”时，设计教学如下：

（背景） 给某小组12名同学安排卫生清洁工作，其中清洁区安排10人，教室安排2人.现有二个方案：①先确定去清洁区的名单，余下的留在教室；②先确定留在教室的名单，余下的去清洁区.

问题1：哪一个方案更好？

问题2：列式计算两种方案中不同的安排方法数.

问题3：从问题2的结论推测更一般情况的结论，并加以证明.

问题4：试用组合数的定义导出定理的结论.

这样设计生动的生活化数学问题，使得数学迸发出无限的魅力，也使得数学活动展现得淋漓尽致，极大地激发了学生探究的欲望，促使他们主动投入到积极的规律探究活动中去.

3. 以类比为方式，形成建模思想

现代心理学认为，把不同事物联系起来思考，是人类进行创造性思维活动的重要方式. 合理的类比和科学的想象应当是探究活动的左膀右臂. 因此，教学中教师应根据探究内容和目标设计类比想象型问题，使学生不断提炼、探索问题的解决措施，达到数学思想的活化形成.

如在教学“导数在实际生活中的应用”时，有这样的题目：在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的小正方形，折起来做成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长是多少时，箱子的容积最大，是多少？在学生建立容积与箱底边长（或切去的正方形边长）的函数关系（注意定义域），然后用导数的方法求解后，笔者顺势提出以下几个问题让学生尝试探究：

问题1：倒过来想，一个长方体无盖纸盒，将侧面展开铺在桌面上是一个什么形状的图形？

问题2：给你一张矩形纸片，你能否通过适当的裁剪后，制成一个长方体无盖铁盒？

问题3：你能根据所获得的方法将边长为a的等边三角形纸片制成一个无盖的正三棱柱纸盒吗？……

这样设计类比想象型问题，为学生建模策略的建构提供了丰富的问题情境支持，使学生能有效运用函数和导数的知识来构建数学模型，从而逐步形成数学思想方法.

4. 关注动态生成，引领探究方向

探究问题的设计要为教学目标服务，要有利于提高学生的探究性学习. 然而，课堂上有效探究问题的设计有时又是相对的，教师的问题预设再周密，学生探究过程中仍难免出现始料未及的问题或暴露学生思维的错误. 因此，教师要善于利用“错误”这一生成性资源，巧妙地设计问题，对学生的探究活动给予合理的引导与调控，使学生的探究方向不偏离主题，把探究学习引向步步深化.

. “你们凭什么认为∈[0，]呢？它就不能在区间之外吗？”学生在富有启发性问题的诱导下，同伴之间积极主动地进行合作探索，分析错误的原因，调整策略，很快便探寻出了正确的答案，使学生感受到了数学的严谨.

总之，教师必须把问题作为探究性教学的出发点，通过提出问题，促进学生学习；通过引导学生探究问题，促进学生开展积极主动的探究学习活动；通过重建教学问题结构和敏锐地捕捉生成性资源，调控和引导学生探究的方向. 只有这样，才能把握探究实质，探究性学习才会有蓬勃的生机.