一道函数题的教学探究与反思

储玺

摘 要：本文以课堂教学活动为主线，通过对一道错误率较高的函数题剖析研究，师生共同探究优化解题策略，让学生在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的同时，体会到“数形结合”是研究函数问题的重要的思想方法. 教学过程中，通过小组合作学习塑造了学生之间的团队精神，通过生生之间的“互辩”，让学生的思维迸发出智慧的火花.

关键词：函数；数形结合；变式迁移

[?] 问题的剖析

1. 学情调查，课堂预设

俗话说“凡事预则立，不预则废”，为有计划、有针对性地上好一节课，使课堂效率最大化，备好课是前提. 考试结束后，批改试卷进行错题分析与课堂筹划是每位数学教师必做的工作，目的是为课堂开展教学活动提供重要依据. 笔者认为不妨从以下三个角度进行错题分析与课堂筹划：（1）命题意图：揣摩命题者意图，理清考查知识点与思想方法；（2）学生错误原因：运算错误、审题错误、知识漏洞、方法问题、考试心理、考试策略等；（3）教师教学形式方法：指导对象（如个别指导、集中点评）、点评主体（如学生自评互评、教师点拨示范）、展示形式（如问答、板演、投影）、互动方式（如师生互动、生生互动）、训练科目（如案例辨析、变式训练、反馈训练、错题重组）等. 通过错题分析摸清学情，从而准确地进行课堂预设.

2. 提问导入，回归本源

教师：在高一阶段，我们研究了一系列基本初等函数，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，谁能谈谈我们是如何研究这些基本初等函数的？

学生1：研究函数应优先研究函数的三要素，即定义域、对应法则、值域.

学生2：研究函数的性质，如单调性、最值、奇偶性、周期性等.

学生3：前两位同学只是提出了研究函数的内容，而研究函数的切入点是什么没有提及. 我认为如果有了函数图象，这些就一目了然.

学生2立刻反驳：要是呈现不出函数图象呢？事实上，很多时候就是呈现不出来的，譬如本次试卷的填空题最后一题（即上述问题）.

教师：你们说得都很好！学生3的观点是研究函数的重要手段，呈现出函数图象有利于直观地把握所研究函数，这是运用的数形结合思想，值得大家关注.那么此题中的函数图象如何呈现呢？

学生：……（教室里陷入了沉静）

点评：（1）导入方式很多，如复习导入、情境导入、错案辨析导入等. 选择提问导入，主要是考虑到本题的难度与学生现状，若课堂上直接让学生说思路. 谈思维，可能难以推进，由此浪费宝贵的课堂时间. （2）导入的问题旨在引导学生当遇见一个新函数时思维的角度，即能站在整个高中数学的高度，回忆并借鉴课本研究基本初等函数的方法，思考函数是什么，研究什么，如何研究.

[?] 小结与反思

为了研究某些新函数，往往需要设法呈现出其图象，再根据图象研究其性质，这是运用数形结合思想研究函数行之有效的方法. 纵观数学发展史，该方法溯源于解析几何中借助于方程的曲线研究曲线的方程，而函数图象是特殊的曲线. 数形结合思想作为数学研究的重要思想，体现了数与形之间辩证统一的关系，即以形的直观阐明数的抽象，以数的精确刻画形的属性，两者相辅相成，相互转化. 对于函数问题，若能呈现出函数图象，则可根据图象的分布区域、变化趋势、对称性等形态表征研究出这个函数的一系列性质，这也为进一步研究与函数联系的方程、不等式问题提供了有力的支撑.

课堂教学中教师要倡导积极主动、勇于探索的学习方式，力求发挥学生学习的自主性；教者要关注学生的学习过程，这是学生获得体验、产生学习数学积极情感的重要途径.只有这样，才能使学生经历数学再发现和再创造的历程，对知识有更加深刻的认识和理解，学会数学的思考方式和学习方式，同时提高学生的探索能力、创造能力与创新意识.反思一些数学学习方式，把数学学习等同于单一的数学解题活动，依靠记忆公式、题型、结论、规则解题，让数学学科特有的思维特征变得刻板僵化，这是不科学的，因此我们应摒弃旧观念，倡导在理解的基础上去思考、自主地生长、开拓和发展.中国数学教育讲究提炼数学思想方法，这是很好的方向，值得提倡.但是，当前存在的一种倾向是把数学思想方法变成一堆需要记忆的规则，这种依靠灌输的方式是行不通的.

只有引导和组织学生在经历观察、实验、比较、分析、抽象概括、推理等活动后，在互相之间的交流中，讨论质疑，促进同化和顺应，才能不断地提高数学思维能力. 正如斯诺克比赛中，一堆桌球有规则地排放在球桌上，高手能做到一杆清台，他们一定深谙解球之道——分析台面球的整体分布结构，思考每一步之间的分解串联，完成每一杆的精确打击. 解题也一样，整体驾驭，纵横联系，层层分解，各个击破，教师要将这样的道理让学生在解题中进行体会.

总之，本堂课教者顺应学生的认知规律，通过函数问题图象化探究，让学生充分认识到呈现函数图象意识的重要性，正如数学特级教师孙维刚先生所说：“八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼翔浅底.”