基于新课标背景下的数学习题配置探究

蒋志学

为了改变教学习题配置的滞后性，走出数学解题教学的低效状态，有关教育专家纷纷呼吁“解决问题”配置考题，以问题解决为主导，引领学生经过分析、讨论将实际问题建成数学模型，再运用数学知识解决问题，从而提高学生的数学应用意识。

一、数学习题的功能

1.知识功能

通过数学习题的练习，使学生获得基础的数学知识，形成基本技能，从而主动建构知识体系。

（1）以习题建立新旧知识之间的联系，让学生产生新的思考，带着疑问学习新知。

（2）以习题巩固知识。概念的掌握离不开形成和同化的过程，巩固练习能将新的概念纳入到已有的认知结构中，形成新的知识网络。

（3）通过解题了解学生概念、定理、公式的掌握情况，从而调整思路，改变策略，实施更为有效的教学方法。

2.教育功能

（1）思维训练。

问题是思维活动的载体，学生理解问题、探索问题、转换问题直至解决问题都离不开有效的思维活动。教师要引导学生准确阅读习题，理解文本，仔细观察显性条件，深入挖掘隐性条件，培养思维的精细性；掌握运算技巧，提高计算准确性，从全方位审视，探寻最佳的解决方案，培养思维的敏捷性；通过知识的类比转化，将未知的问题、不熟悉的问题转化为已知的、熟知的问题，培养思维的灵活性。学生不唯上、不唯书，从多角度考虑问题，敢于打破常规，培养思维的创造性。

（2）思想教育。

数学题取材于社会生产和生活实际，通过解题激发学生的学习兴趣。挖掘数学题的来龙去脉，寻找多样化的解决策略，对学生进行辩证唯物主义的渗透和熏陶。

（3）情感培养。

解题的过程不是一帆风顺的，往往充满着曲折艰辛，学生容易受到挫折，教师要激发兴趣，引导学生思考、讨论，增强解题信心，培养坚韧的意志。

（4）审美功能。

数学之美无处不在，教师要引导学生欣赏、感受数学题的统一、和谐、对称之美，接受美的熏陶。

3.评价功能

学生的基础水平和学习能力可以通过解题来检查和评定，教师可以通过一题多解，评价学生的思维发散能力，还可以通过解决实际问题，评价学生应用数学的意识。

二、数学习题的编制方法

1.演绎法

教师从某一真命题出发，通过逻辑推理、特殊值代入等方法编制数学题。

例1根据不等式

1+112+113+…+11n≥2（n+1-1） （n∈N+），

令2（n+1-1）=20，有n=120，据此得到新题：

证明：1+112+113+…+111016063≥22014。

2.变换法

从题目的已知条件出发，保留原有的数量关系，将问题加以变换，从而得到新题的一种编制方法。

例2求二次函数f（x）=x2+2（2a-1）x+5a2-4a-2在区间[0，1]上最小值g（a）的表达式。

变式一设a为实数，记函数f（x）=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）。

①设g（x）=1+x+1-x，求x的取值范围，并将f（x）表示为t的函数；

②求g（a）；

③试求满足g（a）=g（11a）的所有实数a。

3.逆推法

教师不再是顺着题目给定的条件一步一步地探索结果，而是反其道而行之，从题目的结论出发，逆推出所需条件的一种编制数学习题的方法。如等比数列a1，a2，a3，…，an，…当公比q≠1时，前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1-anq11-q。已知a1，q，n或a1，an，q可求an或n，亦可运用倒推法命题。

例3在等比数列{an}中，已知：a1=1，q=3，Sk=364，求ak。

4.类比法

类比是一个“由此及彼”的分析方法，人们运用某种熟知的事物属性，推测与之类似的事物的属性的推理方法，但其结论必须要通过实验来检验。如在同一平面内，两个边长都是a的正方形，其中一个正方形的一项点在另一个正方形的中心，则这两个正方形的重叠部分的面积恒为a214。由此类比新题：

例4在空间内，有两个棱长均为a的正方体，其中一个正方体的一顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积是多少？

5.拓展法

教师从一道基本的题目出发，对题目的数量关系和图形的形状位置加以变换，由原选的一道题拓展变化成若干道题，以达到触类旁通、举一反三的效果。如有A、B、C三名男生和D、E两名女生站成一排，如果男生站在一起，有多少种排法？教者通过拓展变换，演变成一系列的题目。

（1）若A站在队伍的中间，有多少种不同的站法？