整体思想在高中数学解题中的应用

杜学文

数学是一门重在学习解题思路的学科，如何让学生更好地学习高中数学、掌握解题方法，这就要求教师在教学中能够巧妙地将整体思想贯穿到教学当中去，向学生明确地展示出得出解题方案的整体思想。

一、总体思想在高中数学解题中的重要作用

整体思想简单地说，解答数学习题时，暂时忽略局部复杂而模糊的细节，以整体来解题，从而达到求解出问题结论的目的。它是最基本、最常用的的数学思想，在高中数学中是一种重要的解题思想。学生若能灵活掌握整体思想的运用，将会在高中数学的解题中化复杂为简单，让难题变为易解题，从而提高学生做题的准确率。

二、整体思想在高中数学解题中的应用实例

一般情况下，整体思想的解题方法往往与换元相结合，首先要对题目进行整体性地观察，然后根据解题需要判断是否需要进行整体的变形、换元、配对或者是代入等转化。需要注意的是，在转化的过程中要注意一切的运算都要以等价为原则。

1。运用整体思想补式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，则A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。运用整体思想代换

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范围。

解设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因为-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

点评如遇到此类的问题，我们在解题的过程中要采用整体的代换方式进行求解。

3。运用整体思想换元

例3设x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角换元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），则x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解较困难，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，从而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知当t=2即x=y=212时，x+y+xy的最大值为112+2。

点评在对二元函数进行求解时，整体思想是最常用的解题方法，一般采用整体换元将二元函数转化为一元函数进行求解。

4。运用整体思想配方

例4求函数y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此题，我们首先要进行思想的转换，然后进行整体的配方，最后利用放缩来求解。

我们先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，当且仅当x2+4+11x2+4，即x2=-3时等号成立，显然这是不可能的。因此，利用均值不等式中的等号成立不能够求出最小值，我们必须寻找新的解题方法。

注意到x2+4与11x2+4的关系，尝试整体配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因为41x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，当且仅当x=0时等号成立，故y的最小值是512。

点评本题中整体配方后，就可以视（41x2+4-1141x2+4）2为一个新的整体，通过研究它的最小值，就能达到研究整个函数最小值的目的.因此，在解题中，我们要能够抓住问题的根本特点，灵活地运用整体思想，才能取得意想不到的效果。

5。运用整体思想求导

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

视x+1-2x-t为一个整体，令其为F（x），对F（x）实施整体求导，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因为x∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上单调递减，F（0）为其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成

数学是一门重在学习解题思路的学科，如何让学生更好地学习高中数学、掌握解题方法，这就要求教师在教学中能够巧妙地将整体思想贯穿到教学当中去，向学生明确地展示出得出解题方案的整体思想。

一、总体思想在高中数学解题中的重要作用

整体思想简单地说，解答数学习题时，暂时忽略局部复杂而模糊的细节，以整体来解题，从而达到求解出问题结论的目的。它是最基本、最常用的的数学思想，在高中数学中是一种重要的解题思想。学生若能灵活掌握整体思想的运用，将会在高中数学的解题中化复杂为简单，让难题变为易解题，从而提高学生做题的准确率。

二、整体思想在高中数学解题中的应用实例

一般情况下，整体思想的解题方法往往与换元相结合，首先要对题目进行整体性地观察，然后根据解题需要判断是否需要进行整体的变形、换元、配对或者是代入等转化。需要注意的是，在转化的过程中要注意一切的运算都要以等价为原则。

1。运用整体思想补式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，则A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。运用整体思想代换

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范围。

解设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因为-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

点评如遇到此类的问题，我们在解题的过程中要采用整体的代换方式进行求解。

3。运用整体思想换元

例3设x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角换元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），则x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解较困难，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，从而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知当t=2即x=y=212时，x+y+xy的最大值为112+2。

点评在对二元函数进行求解时，整体思想是最常用的解题方法，一般采用整体换元将二元函数转化为一元函数进行求解。

4。运用整体思想配方

例4求函数y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此题，我们首先要进行思想的转换，然后进行整体的配方，最后利用放缩来求解。

我们先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，当且仅当x2+4+11x2+4，即x2=-3时等号成立，显然这是不可能的。因此，利用均值不等式中的等号成立不能够求出最小值，我们必须寻找新的解题方法。

注意到x2+4与11x2+4的关系，尝试整体配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因为41x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，当且仅当x=0时等号成立，故y的最小值是512。

点评本题中整体配方后，就可以视（41x2+4-1141x2+4）2为一个新的整体，通过研究它的最小值，就能达到研究整个函数最小值的目的.因此，在解题中，我们要能够抓住问题的根本特点，灵活地运用整体思想，才能取得意想不到的效果。

5。运用整体思想求导

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

视x+1-2x-t为一个整体，令其为F（x），对F（x）实施整体求导，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因为x∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上单调递减，F（0）为其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成

数学是一门重在学习解题思路的学科，如何让学生更好地学习高中数学、掌握解题方法，这就要求教师在教学中能够巧妙地将整体思想贯穿到教学当中去，向学生明确地展示出得出解题方案的整体思想。

一、总体思想在高中数学解题中的重要作用

整体思想简单地说，解答数学习题时，暂时忽略局部复杂而模糊的细节，以整体来解题，从而达到求解出问题结论的目的。它是最基本、最常用的的数学思想，在高中数学中是一种重要的解题思想。学生若能灵活掌握整体思想的运用，将会在高中数学的解题中化复杂为简单，让难题变为易解题，从而提高学生做题的准确率。

二、整体思想在高中数学解题中的应用实例

一般情况下，整体思想的解题方法往往与换元相结合，首先要对题目进行整体性地观察，然后根据解题需要判断是否需要进行整体的变形、换元、配对或者是代入等转化。需要注意的是，在转化的过程中要注意一切的运算都要以等价为原则。

1。运用整体思想补式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，则A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。运用整体思想代换

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范围。

解设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因为-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

点评如遇到此类的问题，我们在解题的过程中要采用整体的代换方式进行求解。

3。运用整体思想换元

例3设x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角换元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），则x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解较困难，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，从而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知当t=2即x=y=212时，x+y+xy的最大值为112+2。

点评在对二元函数进行求解时，整体思想是最常用的解题方法，一般采用整体换元将二元函数转化为一元函数进行求解。

4。运用整体思想配方

例4求函数y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此题，我们首先要进行思想的转换，然后进行整体的配方，最后利用放缩来求解。

我们先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，当且仅当x2+4+11x2+4，即x2=-3时等号成立，显然这是不可能的。因此，利用均值不等式中的等号成立不能够求出最小值，我们必须寻找新的解题方法。

注意到x2+4与11x2+4的关系，尝试整体配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因为41x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，当且仅当x=0时等号成立，故y的最小值是512。

点评本题中整体配方后，就可以视（41x2+4-1141x2+4）2为一个新的整体，通过研究它的最小值，就能达到研究整个函数最小值的目的.因此，在解题中，我们要能够抓住问题的根本特点，灵活地运用整体思想，才能取得意想不到的效果。

5。运用整体思想求导

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

视x+1-2x-t为一个整体，令其为F（x），对F（x）实施整体求导，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因为x∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上单调递减，F（0）为其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成