例析导数法在高考复习中的严谨性的缺失

朱毅

1. “单调性概念理解”的严谨性缺失

书本定义：设定义在某区间上的函数y=f（x），如果f ′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f ′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.

理解这正是我们同学用来解决求函数单调区间的依据，但同学们往往忽略了这只是函数在这个区间上单调递增或递减的一个充分条件，而并非必要条件.

例1已知函数f（x）=2x3-ax+c在（-∞，+∞）上单调递增，则（ ）.

A.a<0且c∈R B.a≥0且c∈R

C.a<0且c=0 D.a≤0且c∈R

误区因为函数在（-∞，+∞）上单调递增，所以在（-∞，+∞）上f ′（x）=6x2-a>0恒成立，故据二次函数的图象和性质，Δ<0即a<0，选A答案.

正确分析选D.当a<0时f ′（x）=6x2-0a>0；当a=0时，函数的导函数f ′（x）=6x2≥0，函数在（-∞，+∞）上单调递增.

2. “求单调区间”严谨性的缺失

在求函数的单调区间时，有些老师在教学中“避重就轻”，只注重导函数的值是否为正还是为负，经常忽略强调定义域的重要性，要知道一个单调区间离开了定义域就可能没有意义.

例2（2010年重庆卷18）已知函数f（x）=x-11x+a+ln（x+1），其中实数a≠-1

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性.

解（1）略.

（2）误解因a≠-1，由（1）知f ′（1）=11a+1+112.

又因为f（x）在x=1处取得极值，所以f ′（1）=0，

即11a+1+11a=0，解得a=-3.

故 f ′（x）=-21（x-3）2+11x+1=（x-1）（x-7）1（x-3）2（x+1）.

由f ′（x）=0可得x1=1，x2=7.

当x<1或x>7时，f ′（x）>0函数增区间为（-∞，1）和

（7，+∞）.

当1

正确分析其实函数的定义域为：（-1，3）∪（3，+∞），所以增区间为（-1，1）和（7，+∞），减区间为（1，7）.

点评《考试说明》在“考试要求”、“考试内容”以及对具体知识的考查中突出了对数学基础知识的考查.本题作为高考数学第一道解答题，注重通性通法，淡化特殊技巧，强调基础知识.高考试题中大部分知识点都是老师在平时教学中重点讲解的.因此，考生在学习过程中，应从基础抓起，有深厚的基础知识功底，才能形成良好的数学思维和数学能力.

3.“求切线方程”时严谨性的缺失

利用导数几何意义求解切线方程，是导数应用的一个重要方面，这部分内容虽然比较浅显，但由于学生认知能力的局限性，知识结构难免会出现盲点，故而在解题时容易走入误区，产生“会而不对、对而不全”的现象，形成错解、漏解.

例3（2009年全国题）已知函数f（x）=x4-3x2+6.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线通过原点（0，0），求切线方程.

解（1）略；

（2）误解

由题意可知f ′（x）=4x3-6x.

因为切线过原点（0，0），所以k=f ′（0）=0，切线方程为： y=0.

正确分析因为原点（0，0）不在曲线上，故不是切点而事实上点P才是切点.

设切点P的坐标为（x0，y0），则y0=x40-3x20+6.

k=f ′（x0）=4x30-6x0=x40-3x20+6-01x0-0，

整理得：x40-x20-2=0，

解之得： x0=±2.

P点坐标为（±2，4）.

故切线方程为：y=22x或y=-22x.

点评 利用导数的几何意义求函数切线方程时，注意该点是否是切点.机使用技能的高低是新一代评价个人文化素质的标准.计算机信息技术的飞速发展对每个人提出了新的要求，作为教师，更应该积极的推动计算机信息技术的发展，将多媒体信息技术用于教学课堂，这样利人又利己.

六、将多媒体信息技术融于教学课堂的反思

时代的发展，要求竞争者提高自身素质，也要求学校教育走在发展的最前端，学校教育的发展方向又要求教师更新教学手段.教学手段的更新主要受教育观念的支配，所以我们首先要转变教育观念，真正把信息技术运用到教学中来.把信息技术作为辅助教学的工具，充分发挥信息技术在学生自主学习、主动探索、合作交流等的优势，良好的实现教师角色的转变.信息技术在数学教学中的作用不可低估，它在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段.但它仅仅是课堂教学的一个辅助工具.教学活动过程的核心，是师生之间的情感互动交流过程，这个过程信息技术教育是无法取代的.在师生互动的教与学过程中，信息技术已经成为产生数学问题、促进学生思维扩散的路标.不过，我们不能盲目地使用信息技术，用它来取代教师在教学活动中的地位.所以，客观合理地将多媒体信息技术用于课堂教学，积极探索多媒体信息技术与课堂教学整合方法，才是现代教师在教学活动中应转变的观念.