浅析反函数的性质及其应用

王兆友

反函数是高中数学中的一个重要内容，由这个知识点所设计的考题经常出现在各级各类的选拔性考试试卷中.为使同学们能比较深刻地理解反函数的概念和性质，本文分类阐述有关性质，并举例说明其应用，供参考.

一、定义域与值域

反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.

例1设f（x）=4x-2x+1（x≥0），则f-1（0）=.

分析因反函数的定义域即为原函数的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，应填入1.

例2单调增函数f（x）满足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函数f -1（x）的定义域为[11a，41a]，则f（x）的定义域为.

分析令ax+3=t， 则x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因为反函数的定义域即为原函数的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，则4≤x≤7，于是f（x）的定义域为[4，7]，应填入[4，7].

二、原象与象

若函数f（x）存在反函数f-1（x），则有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x属于值域；f -1[f（x）]=x，x属于定义域.

例3已知函数f（x）=112（2x-2-x）的反函数为f -1（x），则不等式f -1（x）>1的解集为.

分析由于f（x）为增函数，则有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集为{x|x>314}，即应填入{x|x>314}.

例4设函数f（x）=1-2x11+x的反函数为h（x），又函数g（x）与h（x+1）的图象关于直线y=x对称，那么g（2）的值为（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）与h（x+1）互为反函数，设y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），则f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互换x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，应选B.

三、单调性与奇偶性

单调函数的反函数仍为单调函数，且与原函数单调性相同.奇函数若存在反函数，则它的反函数也是奇函数.

例5函数y=112（ex-e-x）的反函数是（ ）.

A.奇函数，它在（0，+∞）上是减函数

B.偶函数，它在（0，+∞）上是减函数

C.奇函数，它在（0，+∞）上是增函数

D.偶函数，它在（0，+∞）上是增函数

分析设y=f（x）， 则f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函数，且易知y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数且函数值y∈（0，+∞）. 则反函数f -1（x）既是奇函数又是单调增函数，故选（C）.

四、对称性

在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.若点（a，b）在y=f（x）图象上，则（b，a）在y=f -1（x）图象上.

例6若点（1，2）在函数y=ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值.

分析由点（1，2）在函数y=ax+b的图象上得2=a+b.又在它的反函数图象上，则（2，1）在函数y=ax+b的图象上，得1=2a+b.二式联立解得a=-3，b=7即为所求.

例7设a>0，且函数f（x）=bx+c12ax+1的反函数图象过点（-1，2），则关于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有两个不等的实根B.有两个相等实根

C.无实根 D.上述三种都有可能

分析由对称性知（2，-1）在f（x）的图象上，则-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，则 y=ax2+bx+c过点（2，-1）.又a>0，抛物线开口向上，故方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，即选（A）.

五、交点问题

同一坐标系内若函数y=f（x）的图象与其反函数y=f -1（x）的图象有交点，则交点必在直线y=x上.

例8若函数y=x-a（x≥a）的图象与其反函数的图象有公共点，则实数a的取值范围是.

分析根据性质，知函数y=x-a的图象必与直线y=x相交，二式联立得x=x-a，因为x≥a，所以x2-x+a=0.依题意，此方程有实根，则Δ=1-4a≥0，所以a≤114，应填上（-∞，114）.

例9设k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由题设易知A（1，0），再由对称性知B（0，1），又P为互为反函数图象的交点，则可设P（a，a），则S四边形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又点P在f（x）的图象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故应选B.

反函数是高中数学中的一个重要内容，由这个知识点所设计的考题经常出现在各级各类的选拔性考试试卷中.为使同学们能比较深刻地理解反函数的概念和性质，本文分类阐述有关性质，并举例说明其应用，供参考.

一、定义域与值域

反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.

例1设f（x）=4x-2x+1（x≥0），则f-1（0）=.

分析因反函数的定义域即为原函数的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，应填入1.

例2单调增函数f（x）满足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函数f -1（x）的定义域为[11a，41a]，则f（x）的定义域为.

分析令ax+3=t， 则x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因为反函数的定义域即为原函数的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，则4≤x≤7，于是f（x）的定义域为[4，7]，应填入[4，7].

二、原象与象

若函数f（x）存在反函数f-1（x），则有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x属于值域；f -1[f（x）]=x，x属于定义域.

例3已知函数f（x）=112（2x-2-x）的反函数为f -1（x），则不等式f -1（x）>1的解集为.

分析由于f（x）为增函数，则有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集为{x|x>314}，即应填入{x|x>314}.

例4设函数f（x）=1-2x11+x的反函数为h（x），又函数g（x）与h（x+1）的图象关于直线y=x对称，那么g（2）的值为（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）与h（x+1）互为反函数，设y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），则f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互换x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，应选B.

三、单调性与奇偶性

单调函数的反函数仍为单调函数，且与原函数单调性相同.奇函数若存在反函数，则它的反函数也是奇函数.

例5函数y=112（ex-e-x）的反函数是（ ）.

A.奇函数，它在（0，+∞）上是减函数

B.偶函数，它在（0，+∞）上是减函数

C.奇函数，它在（0，+∞）上是增函数

D.偶函数，它在（0，+∞）上是增函数

分析设y=f（x）， 则f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函数，且易知y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数且函数值y∈（0，+∞）. 则反函数f -1（x）既是奇函数又是单调增函数，故选（C）.

四、对称性

在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.若点（a，b）在y=f（x）图象上，则（b，a）在y=f -1（x）图象上.

例6若点（1，2）在函数y=ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值.

分析由点（1，2）在函数y=ax+b的图象上得2=a+b.又在它的反函数图象上，则（2，1）在函数y=ax+b的图象上，得1=2a+b.二式联立解得a=-3，b=7即为所求.

例7设a>0，且函数f（x）=bx+c12ax+1的反函数图象过点（-1，2），则关于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有两个不等的实根B.有两个相等实根

C.无实根 D.上述三种都有可能

分析由对称性知（2，-1）在f（x）的图象上，则-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，则 y=ax2+bx+c过点（2，-1）.又a>0，抛物线开口向上，故方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，即选（A）.

五、交点问题

同一坐标系内若函数y=f（x）的图象与其反函数y=f -1（x）的图象有交点，则交点必在直线y=x上.

例8若函数y=x-a（x≥a）的图象与其反函数的图象有公共点，则实数a的取值范围是.

分析根据性质，知函数y=x-a的图象必与直线y=x相交，二式联立得x=x-a，因为x≥a，所以x2-x+a=0.依题意，此方程有实根，则Δ=1-4a≥0，所以a≤114，应填上（-∞，114）.

例9设k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由题设易知A（1，0），再由对称性知B（0，1），又P为互为反函数图象的交点，则可设P（a，a），则S四边形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又点P在f（x）的图象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故应选B.

反函数是高中数学中的一个重要内容，由这个知识点所设计的考题经常出现在各级各类的选拔性考试试卷中.为使同学们能比较深刻地理解反函数的概念和性质，本文分类阐述有关性质，并举例说明其应用，供参考.

一、定义域与值域

反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.

例1设f（x）=4x-2x+1（x≥0），则f-1（0）=.

分析因反函数的定义域即为原函数的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，应填入1.

例2单调增函数f（x）满足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函数f -1（x）的定义域为[11a，41a]，则f（x）的定义域为.

分析令ax+3=t， 则x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因为反函数的定义域即为原函数的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，则4≤x≤7，于是f（x）的定义域为[4，7]，应填入[4，7].

二、原象与象

若函数f（x）存在反函数f-1（x），则有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x属于值域；f -1[f（x）]=x，x属于定义域.

例3已知函数f（x）=112（2x-2-x）的反函数为f -1（x），则不等式f -1（x）>1的解集为.

分析由于f（x）为增函数，则有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集为{x|x>314}，即应填入{x|x>314}.

例4设函数f（x）=1-2x11+x的反函数为h（x），又函数g（x）与h（x+1）的图象关于直线y=x对称，那么g（2）的值为（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）与h（x+1）互为反函数，设y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），则f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互换x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，应选B.

三、单调性与奇偶性

单调函数的反函数仍为单调函数，且与原函数单调性相同.奇函数若存在反函数，则它的反函数也是奇函数.

例5函数y=112（ex-e-x）的反函数是（ ）.

A.奇函数，它在（0，+∞）上是减函数

B.偶函数，它在（0，+∞）上是减函数

C.奇函数，它在（0，+∞）上是增函数

D.偶函数，它在（0，+∞）上是增函数

分析设y=f（x）， 则f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函数，且易知y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数且函数值y∈（0，+∞）. 则反函数f -1（x）既是奇函数又是单调增函数，故选（C）.

四、对称性

在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.若点（a，b）在y=f（x）图象上，则（b，a）在y=f -1（x）图象上.

例6若点（1，2）在函数y=ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值.

分析由点（1，2）在函数y=ax+b的图象上得2=a+b.又在它的反函数图象上，则（2，1）在函数y=ax+b的图象上，得1=2a+b.二式联立解得a=-3，b=7即为所求.

例7设a>0，且函数f（x）=bx+c12ax+1的反函数图象过点（-1，2），则关于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有两个不等的实根B.有两个相等实根

C.无实根 D.上述三种都有可能

分析由对称性知（2，-1）在f（x）的图象上，则-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，则 y=ax2+bx+c过点（2，-1）.又a>0，抛物线开口向上，故方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，即选（A）.

五、交点问题

同一坐标系内若函数y=f（x）的图象与其反函数y=f -1（x）的图象有交点，则交点必在直线y=x上.

例8若函数y=x-a（x≥a）的图象与其反函数的图象有公共点，则实数a的取值范围是.

分析根据性质，知函数y=x-a的图象必与直线y=x相交，二式联立得x=x-a，因为x≥a，所以x2-x+a=0.依题意，此方程有实根，则Δ=1-4a≥0，所以a≤114，应填上（-∞，114）.

例9设k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由题设易知A（1，0），再由对称性知B（0，1），又P为互为反函数图象的交点，则可设P（a，a），则S四边形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又点P在f（x）的图象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故应选B.