借助导数，巧用函数性质证明不等式

温湖南

不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多，证明的方法也难易悬殊，使用的技巧各异，尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结，但是有很多不等式，我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式，如果用常用的初等方法去证明，我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形，使它转化为我们较熟悉的函数不等式，再借助导数，利用函数的相关性质来证明，往往会事半功倍.

一、利用函数单调性证明不等式

函数单调性是函数的重要性质之一，在不等式证明中也扮演着重要的角色.运用函数单调性证明不等式，关键在于合理利用题设条件，构造出相应的函数，并将原问题进行等价转换，通过对函数单调性的讨论，从而使问题得到圆满解决.

1.函数单调性与导数的关系

定理：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f ′（x）>0（<0），则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）

2.函数单调性在不等式证明中的应用

利用函数单调性证明不等式是不等式证明中一种较为有效的方法，其基本步骤为：

（1）移项或作简单的恒等变形，使不等式的一端为零，另一端设为辅助函数f（x），此时问题转化为证明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函数f（x）的导函数f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分别确定f（x）的增区间和减区间.

（3）利用函数的单调性和端点处的函数值或极限值即可证明原不等式.

例1当x∈（0，π）时，证明不等式sinx

证明设f（x）=sinx-x，则f ′（x）=cosx-1.

因为x∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故当x∈（0，π）时，sinx

点评一般地，证明f（x）

例2已知：a>b>0，求证：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式变形为lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.观察不等式的特点，构造函数f（x）=lnx-1+11x（x>1），从而问题转化为证明：当x>1时，f（x）>0.

证明把不等式变形为lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

构造函数f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

从而问题转化为证明：当x>1时， f（x）>0.

因为f ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上单调递增.

所以当x>1时， f（x）>f（1）.

又因为 f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命题成立，即：若a>b>0，则lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函数凹凸性证明不等式

有些不等式利用函数的凹凸性可以很简洁、巧妙地得到证明.利用函数的凹凸性证明不等式关键是构造出能够解决问题的函数.

1.函数凹凸性

定义：设f（x）在（a，b）内连续，如果对任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，则称f（x）是（a，b）上的凹函数；如果对任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，则称f（x）是f（a，b）上的凸函数.

2.函数凹凸性与导数的关系

定理：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶导数和二阶导数.如果f ″（x）>0在（a，b）内恒成立，则称f（x）是区间[a，b]上的凹函数；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）内恒成立，则称f（x）是区间[a，b]上的凸函数.

3.函数凹凸性在不等式证明中的应用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

证明：令f（x）=tanx，则f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因为0

所以f ″（x）>0，所以f（x）的图象在（0，π12）内是凹的，

从而对x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以当02tanx+y12成立.

不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多，证明的方法也难易悬殊，使用的技巧各异，尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结，但是有很多不等式，我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式，如果用常用的初等方法去证明，我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形，使它转化为我们较熟悉的函数不等式，再借助导数，利用函数的相关性质来证明，往往会事半功倍.

一、利用函数单调性证明不等式

函数单调性是函数的重要性质之一，在不等式证明中也扮演着重要的角色.运用函数单调性证明不等式，关键在于合理利用题设条件，构造出相应的函数，并将原问题进行等价转换，通过对函数单调性的讨论，从而使问题得到圆满解决.

1.函数单调性与导数的关系

定理：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f ′（x）>0（<0），则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）

2.函数单调性在不等式证明中的应用

利用函数单调性证明不等式是不等式证明中一种较为有效的方法，其基本步骤为：

（1）移项或作简单的恒等变形，使不等式的一端为零，另一端设为辅助函数f（x），此时问题转化为证明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函数f（x）的导函数f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分别确定f（x）的增区间和减区间.

（3）利用函数的单调性和端点处的函数值或极限值即可证明原不等式.

例1当x∈（0，π）时，证明不等式sinx

证明设f（x）=sinx-x，则f ′（x）=cosx-1.

因为x∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故当x∈（0，π）时，sinx

点评一般地，证明f（x）

例2已知：a>b>0，求证：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式变形为lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.观察不等式的特点，构造函数f（x）=lnx-1+11x（x>1），从而问题转化为证明：当x>1时，f（x）>0.

证明把不等式变形为lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

构造函数f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

从而问题转化为证明：当x>1时， f（x）>0.

因为f ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上单调递增.

所以当x>1时， f（x）>f（1）.

又因为 f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命题成立，即：若a>b>0，则lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函数凹凸性证明不等式

有些不等式利用函数的凹凸性可以很简洁、巧妙地得到证明.利用函数的凹凸性证明不等式关键是构造出能够解决问题的函数.

1.函数凹凸性

定义：设f（x）在（a，b）内连续，如果对任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，则称f（x）是（a，b）上的凹函数；如果对任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，则称f（x）是f（a，b）上的凸函数.

2.函数凹凸性与导数的关系

定理：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶导数和二阶导数.如果f ″（x）>0在（a，b）内恒成立，则称f（x）是区间[a，b]上的凹函数；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）内恒成立，则称f（x）是区间[a，b]上的凸函数.

3.函数凹凸性在不等式证明中的应用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

证明：令f（x）=tanx，则f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因为0

所以f ″（x）>0，所以f（x）的图象在（0，π12）内是凹的，

从而对x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以当02tanx+y12成立.

不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多，证明的方法也难易悬殊，使用的技巧各异，尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结，但是有很多不等式，我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式，如果用常用的初等方法去证明，我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形，使它转化为我们较熟悉的函数不等式，再借助导数，利用函数的相关性质来证明，往往会事半功倍.

一、利用函数单调性证明不等式

函数单调性是函数的重要性质之一，在不等式证明中也扮演着重要的角色.运用函数单调性证明不等式，关键在于合理利用题设条件，构造出相应的函数，并将原问题进行等价转换，通过对函数单调性的讨论，从而使问题得到圆满解决.

1.函数单调性与导数的关系

定理：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f ′（x）>0（<0），则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）

2.函数单调性在不等式证明中的应用

利用函数单调性证明不等式是不等式证明中一种较为有效的方法，其基本步骤为：

（1）移项或作简单的恒等变形，使不等式的一端为零，另一端设为辅助函数f（x），此时问题转化为证明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函数f（x）的导函数f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分别确定f（x）的增区间和减区间.

（3）利用函数的单调性和端点处的函数值或极限值即可证明原不等式.

例1当x∈（0，π）时，证明不等式sinx

证明设f（x）=sinx-x，则f ′（x）=cosx-1.

因为x∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故当x∈（0，π）时，sinx

点评一般地，证明f（x）

例2已知：a>b>0，求证：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式变形为lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.观察不等式的特点，构造函数f（x）=lnx-1+11x（x>1），从而问题转化为证明：当x>1时，f（x）>0.

证明把不等式变形为lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

构造函数f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

从而问题转化为证明：当x>1时， f（x）>0.

因为f ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上单调递增.

所以当x>1时， f（x）>f（1）.

又因为 f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命题成立，即：若a>b>0，则lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函数凹凸性证明不等式

有些不等式利用函数的凹凸性可以很简洁、巧妙地得到证明.利用函数的凹凸性证明不等式关键是构造出能够解决问题的函数.

1.函数凹凸性

定义：设f（x）在（a，b）内连续，如果对任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，则称f（x）是（a，b）上的凹函数；如果对任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，则称f（x）是f（a，b）上的凸函数.

2.函数凹凸性与导数的关系

定理：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶导数和二阶导数.如果f ″（x）>0在（a，b）内恒成立，则称f（x）是区间[a，b]上的凹函数；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）内恒成立，则称f（x）是区间[a，b]上的凸函数.

3.函数凹凸性在不等式证明中的应用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

证明：令f（x）=tanx，则f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因为0

所以f ″（x）>0，所以f（x）的图象在（0，π12）内是凹的，

从而对x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以当02tanx+y12成立.