若干双下标加权和的大数定律*

任春光，张 培，王学军

(1.郑州华信学院 基础教学部，郑州 451100;2.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

在概率论中，大数定律是关于大量随机现象之平均结果稳定性的定理.不同的大数定律的差别只是对不同的随机变量(r.v.)序列而言，有的是相互独立的r.v.序列，有的是相依的r.v.序列，有的是同分布的r.v.序列，有的是不同分布的r.v.序列等等［1］.此处对文献［2］中的Chebyshev大数定律、Markov大数定律、Bernoulli大数定律、Poisson大数定律和文献［3］中的Borel强大数定律进行了改进，即得到的是r.v.序列双下标加权和的大数定律.有关随机变量的其他一些性质，如最大值不等式和大偏差结果，可见文献［4］，有关推广的Borel强大数定律的改进见文献［5］，随机变量的Hájek-Rényi型不等式及其收敛速度见文献［6-7］.随机变量序列的强收敛速度见文献［8］，函数的一致联系性见文献［9-10］.

令Ai，i=1，2，…为同一个概率空间(Ω，F，P)上的随机事件序列，记IA(ω)为事件A的示性函数，C，C1，c，ci，i=1，2，…为与n无关的常数，cni，ωni为实数列.

1 预备知识

引理1-6见文献［2］，引理7见文献［3］.

引理1(Chebyshev大数定律)［2］设{ξi}，i=1，2，…是两两互不相关的r.v.序列，每一r.v.都有

引理3(Bernoulli大数定律)［2］设μn是n次Bernoulli试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的ε＞0，恒有

引理4(Poisson大数定律)［2］如果在一个独立试验序列中，事件A在第i次试验中出现的概率等于pi，以λn记前n次试验中事件A出现的次数，则对任意的ε＞0，恒有

2 主要结论

对任意的ε＞0，再由Chebyshev不等式，可得

于是，在式(2)中，令n→+∞得式(1)，因此命题得证.

其实，Markov大数定律、Bernoulli大数定律、Poisson大数定律和Borel强大数定律中也可以进行类似的改进.

定理2(Markov大数定律的改进) 若{cni}为双下标常数序列，{ξi}，i=1，2，…为一均值为零的r.v.序列，且满足

证明 显然有

注2 对{ξi}，i=1，2，…为均值为零的两两互不相关的r.v.序列、鞅差序列、均值为零的NA序列、均值为零的φ-混合序列(混合系数满足一定系数)等，都满足式(3).进一步，若≤C1i，i≥1，取cni=，则可以验证

证明 易知Eηi=p，Dηi=pq≤1/4，而

从而由定理1即可推出定理3.

证明 易知Eαi=pi，Var αi=piqi≤1/4，而

从而由定理1即可推出定理4.

对∀ε＞0，由 Chebyshev不等式得

从而

下面用子序列的方法来证明定理5的结论.因为对 ∀n∈N+，∃k=k(n)∈N+，满足不等式km≤n＜km+kδ，所以

于是

式(6)中令n→+∞ (注意到n→+∞时，k→+∞)，再利用式(5)得式(4)，因此命题得证.

3 结束语

双下标r.v.序列和的大数定律及r.v.序列加权和的大数定律都有很多研究成果，r.v.序列双下标加权和的结果并不常见，另外在相依情形下的r.v.序列加权和的大数律问题是值得研究的，在今后科研中将关注此类问题.

［1］茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程［M］.北京:高等教育出版社，2004

［2］李贤平.概率论基础［M］.北京:高等教育出版社，1997

［3］LOÈVE M.Probability Theory I［M］.4th Edition.Beijing:Spring-Verlag，2000

［4］李晓琴，胡舒合，王学军，等.M-Z型序列的最大值不等式和大偏差定理［J］.安徽大学学报:自然科学版，2010，34(3):5-9

［5］任春光，胡舒合，李旭，等.一个推广的Borel强大数定律的改进［J］.安徽大学学报:自然科学版，2011，35(3):25-28

［6］赵婷，胡舒合，李晓琴，等.一类随机变量的概率不等式及几乎处处收敛性［J］.安徽大学学报:自然科学版，2010，34(1):7-10

［7］胡舒合，胡晓鹏，张林松.二阶矩限制下的Hajek-Renyi型不等式及其应用［J］.应用数学学报，2005，28(2):227-235

［8］胡舒合.强大数定律的若干新结果［J］.数学学报，2003，46(6):1123-1134

［9］费时龙，占伟军.函数一致连续性的几个判别方法及其应用［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2013，30(8):1-3

［10］刘倩，任晓花.观察法判断一元函数的一致连续性［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2013，30(7):9-11