巧用多项式的除法求矩阵多项式的逆矩阵

2014-05-26万波

重庆工商大学学报（自然科学版） 2014年3期

万波

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆 400067)

矩阵理论是线性代数的核心内容，有关矩阵的求逆是矩阵理论中的重点内容之一，也是各类线性代数考试中涉及较多的一类题型。在文献［1-2］中介绍了一类已知方阵A的二次或三次多项式方程，求方阵A的一次多项式的逆矩阵。文献［1-2］中的方法主要是通过观察构造从而得解，其方法灵活技巧性强不易被初学者掌握。文献［3-6］分别总结了几类特殊逆矩阵的求法。利用多项式的除法技巧，得到了一个所有已知方阵A的二次或三次多项式方程，求方阵A的一次多项式的逆矩阵结论，从而避开了需要观察构造才能得解这一麻烦过程。同时，利用多项式的除法技巧也可以得到最近文献［3］中的两个关于矩阵多项式的逆矩阵的结论。

1 主要结果

定理1 若n阶矩阵A满足A2+mA+nE=0，矩阵B满足B=A+kE，m，n，k满足km-n-k2≠0，记ω=km-n-k2，则矩阵B可逆，且B-1=ω-1［A+(m-k)E］.

证明利用多项式的除法有

于是A2+mA+nE=(A+kE)［A+(m-k)E］+(n-km+k2)E=0，所以(A+kE)［A+(m-k)E］=-(n-km+k2)E，即(A+kE){ω-1［A+(m-k)E］}=E，因此矩阵B可逆，且B-1=ω-1［A+(m-k)E］.

定理2 若n阶矩阵A满足A3+mA2+nA+lE=0，矩阵B满足B=A+kE，m，n，l，k满足l-nk+mk2-k3≠0，记ω=nk+k3-mk2-l，则矩阵B可逆，且B-1=ω-1［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］.

证明利用多项式的除法有

于是A3+mA2+nA+lE=(A+kE)［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］+(l-nk+mk2-k3)E=0，即(A+kE){ω-1［A2+(mk)A+(n-mk+k2)E］}=E.因此矩阵B可逆，且B-1=ω-1［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］.

2 举例应用

下面举例说明上述两个定理的应用.

例1［1］设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0，证明A+E可逆，并求(A+E)-1.

例2［1］设n阶矩阵A满足A3-A2+2A-E=0，证明E-A可逆并求其逆.

解采用不同于文献［1］的做法，先求A-E的逆，直接利用定理2可知，这时m=-1，n=2，l=-1，取k=-1，计算得 ω=nk+k3-mk2-l=-1≠0，所以由定理2可知，A-E 可逆，且(A-E)-1=ω-1［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］=-(A2+2E).因此E-A可逆，且(E-A)-1=(A2+2E).