一类p拉普拉斯方程的正解*

汪继秀，肖计雄

(1.湖北文理学院 数学与计算机学院，湖北襄阳 441053;2.襄阳五中，湖北襄阳 441021)

主要研究一类广义拟线性薛定谔方程

研究这类方程的动机主要源于

其中i是虚数单位;z:R×RN→复数;W:RN→R是给定势能;h，l:R+→R.

令z(t，x)=exp(-iEt)u(x)，其中E∈R，u是一实值函数，则方程(2)转化成

若取l(s)=s，则方程(3)等价于

Poppenberg［1］和Liu等［2］利用约束极小获得了问题(4)的正的基态解.Liu等［3］利用变量替换将问题(4)转换成半线性椭圆方程，并且构建了一个orlitz空间，利用山路引理得到问题(4)存在正解.这种变量替换的方法在文献［4，5］中也应用过.

这些文献都是取l(s)=s研究问题(2)的解，受这些启发，主要考虑在方程(3)中，取

推广到式(1)这类方程的解.

问题(1)对应的泛函

不能定义在W1，p(RN)上，为了克服这个困难，受文献［6］中的变量替换法的启发，令v=f-1(u)，且

则有

容易验证J(v)可以定义在W1，p(RN)上且J(v)∈C1.而且J(v)的非平凡临界点是关于

的解，即满足对∀φ∈C∞0(RN)，有

为了证明的方便，将问题(5)改写成

则泛函J(v)可以改写成

其中

能够证明:

定理1 假设V(x)是连续的径向函数且满足条件(A)，λ＞0，N≥3，2pα＜q＜2αp*，α≥1，则式(5)(6)(即式(1))有一个正解.

为了得到结论，需要先给出几个引理.类似文献［6］关于引理2.1的证明，能够得到:

引理1 函数f(t)满足以下性质:

1)f(t)是唯一定义在C∞上的函数并且可逆.

2)∀t∈R，|f'(t)|≤1.

3)∀t∈R，|f(t)|≤t.

并且由引理1中的性质4)和性质6)，也容易验证:

引理2g(x，v)，G(x，v)满足

引理3 泛函J满足

(1)存在 δ，ρ≥0，使得当‖v‖=ρ，J(v)≥δ.

(2)存在v∈H1(RN)，使得当‖v‖＞ρ，J(v)＜0.

证明 由引理2，直接有当 ε＞0充分小，存在Cε＞0，使得

则有

这也就得到了式(1).

由q＞2αp，α≥1，则当t→+∞时，J(v)→-∞，因而得到式(2).

利用引理3和山路引理，令

其中

则W1，p(RN)中存在一个关于水平集c的(PS)序列，即当n→∞，有

引理4 在定理1的条件下，J关于水平集c满足(PS)条件.

证明 首先，设{vn}n≥1⊂(RN)是(PS)序列，则有

，因此

易知，‖wn‖≤C‖vn‖，联合式(9)和式(11)得

则由q＞2αp，α≥1 推得

另外，当|vn(x)|≤1时，由引理1的性质7)知

当|vn(x)|＞1时，由引理1的性质7)和性质8)知

在式(10)中，令w=vn，结合式(14)和引理1的性质8)，则有

联接式(12)(13)(15)，有

从而{vn}在(RN)中是有界的，则{vn}n≥1存在子列，不妨仍记为{vn}n≥1，使得对某一v∈(RN)，有

从文献［7］中断言2可知

接下来证明

由式(7)和式(16)-(18)，得

因为(J(vn))'→0，则由式(17)(19)-(21)，可得

而且由{vn}n≥1有界可知J'(vn)vn=0，即

令vn=v+，由f∈C1，以及式(9)和 Brezis-Lieb引理可知

综合式(20)(22)-(24)，得

利用引理3，引理4和极值原理直接可以得到定理1.

［1］POPPENBERG M，SCHMITT K，WANG Z Q.On the Existence of Soliton Solutions to Quasilinear Schrödinger Equations［J］.Calc Var Partial Differential Equations，2002，14(3):329-344

［2］LIU J Q，WANG Z Q.Soliton Solutions for Quasilinear Schrödinger Equations I［J］.Proc Amer Math Soc，2002，131(2):441-448

［3］LIU J Q，WANG Y Q，WANG Z Q.Soliton Solutions for Quasilinear Schrödinger Equations II［J］.J.Differential Equations，2003，187(2):473-493

［4］COLIN M，JEANJEAN L.Solutions for a Quasilinear Schrödinger Equations:a Dual Approach［J］.Nonlinear Anal TMA，2004，56:213-226

［5］DO ó J M，MIYAGAKI O，OLIMPIO H.Soliton Solutions for Quasilinear Schrödinger Equations with Critical Growth ［J］.J Differential Equations，2010，248(4):722-744

［6］SEVERO U.Existence of Weak Solutions for Quasilinear Elliptic Equations Involving the p-laplacian［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2008(56):1-16

［7］DO ó J M B.Semilinear Dirichlet Problems for the N-laplacian in RNwith Nonlinearities in the Critical Growth Range ［J］.Differential and Integral equations，1996(9):967-979