关于四元数矩阵的一些不等式

宋 雪，冉 慧

(重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

近年来，对四元数体上代数问题的研究越来越深入，而四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系(如四元数在量子力学、刚体力学方面的应用)，四元数在计算机图形图像处理、识别和空间定位方面的应用，引起了国内外许多学者对四元数体的研究与关注.此处将一些数学中经典的初等不等式推广到了四元数矩阵上.

1 定义和引理

定义1 设A∈Hn×n，如果A*=A，则称A是H上的一个n阶自共轭矩阵，其全体记为H(n，*).

定义2 设A∈Hn×n，如果A*A=AA*=In，则称A是H上的一个n阶酉矩阵，其全体记为H(n，u).

定义5 设A∈Hn×n，如果A*A=AA*，则称A是正规矩阵.

定义6 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数正规矩阵，它们的平方平均、算术平均、几何平均和调和平均分别定义为

引理1［1］设A∈H(n，*)，则A酉相似于实对角矩阵，即存在U∈H(n，u)，使得U*AU=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中 λ1，λ2，…，λn∈R 为A的n个特征值.

引理4［3］设A∈H(n，*)，则存在实数a＞0，使得A+aIn正定.

2 主要结果

2.1 Wielandt-Hoffman定理在四元数矩阵上的推广

证明 (i)若A＞0，由于A∈H(n，*)，C∈H(n，*)，B=C-A，可知B∈H(n，*).则由引理 1，存在酉矩阵U1，U2，U3，使得

由于A＞0，则 αi＞0(i=1，2，…，n).显然有

(ii)若A不正定，则由引理4，存在实数a＞0，使得A+aIn正定.由证明(i)可得

推论1 在定理1的条件下，设B=(Bij)∈H(n，*)，则式(4)成立.

证明 由定理1和引理5，可知结论成立.

证明 定理2证明过程与定理1类似，此处略去.

推论3 在定理2的条件下，设B=(Bij)∈H(n，*)，式(5)成立.

证明 由定理2和引理5，可知结论成立.

2.2 均值不等式在四元数矩阵上的推广

定理3 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，则有Q(A)≥M(A)≥G(A)≥H(A).

证明 因为A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，由引理1知存在n阶酉矩阵U，使得

由实数的均值-算术-几何-调和平均不等式，有

由此可知结论成立.

推论5 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，则

推论6 设A1，A2，…，Am(m≥2)为可交换的n阶四元数自共轭矩阵，则

2.3 Hölder不等式、Young不等式和Minkowski不等式在四元数矩阵上的推广

证明 由引理1和Hölder不等式可得，存在n阶酉矩阵U，使得

结论得证.

证明 由Young不等式和定理4的证明方法可得.

证明 由Minkowski不等式和定理4的证明方法可得.

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