合理假设四关注

兰诗全

解数学题时，在仔细分析题目的条件后，有时需要提出假设，借助于假设的条件，通过适当的解题方法，使问题得到解决.如果假设不合理，就会导致解题错误或解题过程繁琐.为了使解题正确、过程简明，我们需要关注假设的存在性、可靠性、等价性和简捷性.

一、关注假设的存在性

在解决有关存在性问题时，常用分析法先假设符合条件的对象存在，然后推理求得结论.然而，所得结论只是必要条件，还需要对它进行检验，使之成为充要条件，即在解决这类存在性问题时，一定要关注假设的存在性.

例1 已知双曲线x2- =1，过点A（1，1） 能否作直线l与所给双曲线交于P，Q两点，且点A是线段PQ的中点？说明理由.

错解 假设满足条件的直线l存在，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），则x21- =1，x22- =1.两式作差后整理得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0.

由点A是线段PQ的中点，可知x1+x2 =2，y1+y2 =2，所以 =2，即直线l的斜率k=2.故直线l的方程为y -1=2（x-1），即y =2x-1.

错误分析 错解在利用点差法求出中点弦的方程后，忽略对直线与双曲线相交的检验.相交是直线存在的前提，这是值得关注的.

正解 同上得到直线l的方程为y =2x-1.

由y =2x-1，x2- =1，得2x2- 4x+3=0.因为Δ=（-4）2-4×2×3<0，所以满足条件的直线l不存在.

二、关注假设的可靠性

在数学解题中，要准确把握概念、定理、公式、性质等，要深刻理解、灵活应用、可靠假设，这是正确解题的保证.

例2 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，若对一切自然数n，有 = ，求 的值.

错解 因为 = ，可以设Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k为不等于0的实数），所以a11=S11-S10 =k（7×11+1）-k（7×10+1）=7k，b11=T11-T10 =k（4×11+27）-k（4×10+27）=4k.

于是可得 = .

错误分析 当{an}为等差数列，公差d≠0时，数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn，即Sn是关于n的二次函数，且常数项为0.可是，错解中的假设Sn=k·（7n+1），Tn=k（4n+27）（k为不等于0的常数）不满足Sn是关于n的二次函数这个条件.假设不可靠，因而导致错误.

正解 设Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），k≠0，则a11=S11-S10=11k（7×11+1）-10k（7×10+1）=148k，b11=T11-T10=11k（4×11+27）-10k（4×10+27）=111k.

于是可得 = = .

三、关注假设的等价性

在数学解题中，根据解题的需要，合理的假设可以架起已知与未知间的桥梁，达到化繁为简、化难为易的目的.但是在运用的过程中，一定要关注假设的等价性，这样才能保证解题的准确性.

例3 若M，N是椭圆C： +y2=1上的两点， · =0，求|MN|的最小值.

错解 设点M的坐标为（ cos θ，sin θ）.由 · = 0，可知点N的坐标为（- sin θ，cos θ）.

|MN|= = .

于是可知当θ= 或θ= 时，|MN|取得最小值，且最小值为 .

错误分析 该解法错将参数方程x=acos θ，y=bsin θ中的点M的离心角θ看成是直线OM的倾斜角，得出点N的坐标是错误的，关键是假设未能与已知等价.

正解 由M，N是椭圆C： +y2=1上的两点且OM⊥ON，可设点M的坐标为（r1cos θ，r1sin θ）（θ为OM的倾斜角），点N的坐标为（r2cos（θ+ ），r2sin（θ+ ）），即点N的坐标为（-r2sin θ，r2cos θ）.

将点M，N的坐标分别代入椭圆的方程，得r21·（ +sin2θ）=1，r22（ +cos2θ）=1，从而得 + = +1= .

又（r21+r22）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，即（r21+r22）· ≥4，所以r21+r22≥3.

所以，|MN|2= r21+r22≥3，即|MN|≥ .故|MN|的最小值为 .

四、关注假设的简捷性

有时，一个问题的设法有多种.如果不加分析，盲目而设，就可能导致解题过程繁琐，甚至出现错解.选对设法，可以给解题带来很大的方便，显示出数学的简捷美.

例4 已知动直线l：y=k（x+2 ）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，求△ABO的面积S的最大值.

分析 由题意容易想到，令k为自变量，建立S关于k的函数关系式：

S（k）= （-1

若通过此式来求S的最大值，则会出现复杂的计算，同学们不妨一试.在考试时，利用这种思路解题，即使求出结果，也是隐性失分，因为这样会严重占用其他题的解答时间.

若转换视角，更新思路，视∠AOB为变量，则有以下简捷的优解.

解 设∠AOB=θ，则S（θ）= ×2×2sin θ =2sin θ（0<θ<π）.当θ = 时，Smax=2.

总之，数学解题常常离不开假设，不但要会设、设对，更要追求简设、巧设.只有这样，同学们才能减少许多不应有的错误，提高解题的正确率和解题的能力.（责任编校？筑冯琪）

解数学题时，在仔细分析题目的条件后，有时需要提出假设，借助于假设的条件，通过适当的解题方法，使问题得到解决.如果假设不合理，就会导致解题错误或解题过程繁琐.为了使解题正确、过程简明，我们需要关注假设的存在性、可靠性、等价性和简捷性.

一、关注假设的存在性

在解决有关存在性问题时，常用分析法先假设符合条件的对象存在，然后推理求得结论.然而，所得结论只是必要条件，还需要对它进行检验，使之成为充要条件，即在解决这类存在性问题时，一定要关注假设的存在性.

例1 已知双曲线x2- =1，过点A（1，1） 能否作直线l与所给双曲线交于P，Q两点，且点A是线段PQ的中点？说明理由.

错解 假设满足条件的直线l存在，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），则x21- =1，x22- =1.两式作差后整理得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0.

由点A是线段PQ的中点，可知x1+x2 =2，y1+y2 =2，所以 =2，即直线l的斜率k=2.故直线l的方程为y -1=2（x-1），即y =2x-1.

错误分析 错解在利用点差法求出中点弦的方程后，忽略对直线与双曲线相交的检验.相交是直线存在的前提，这是值得关注的.

正解 同上得到直线l的方程为y =2x-1.

由y =2x-1，x2- =1，得2x2- 4x+3=0.因为Δ=（-4）2-4×2×3<0，所以满足条件的直线l不存在.

二、关注假设的可靠性

在数学解题中，要准确把握概念、定理、公式、性质等，要深刻理解、灵活应用、可靠假设，这是正确解题的保证.

例2 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，若对一切自然数n，有 = ，求 的值.

错解 因为 = ，可以设Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k为不等于0的实数），所以a11=S11-S10 =k（7×11+1）-k（7×10+1）=7k，b11=T11-T10 =k（4×11+27）-k（4×10+27）=4k.

于是可得 = .

错误分析 当{an}为等差数列，公差d≠0时，数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn，即Sn是关于n的二次函数，且常数项为0.可是，错解中的假设Sn=k·（7n+1），Tn=k（4n+27）（k为不等于0的常数）不满足Sn是关于n的二次函数这个条件.假设不可靠，因而导致错误.

正解 设Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），k≠0，则a11=S11-S10=11k（7×11+1）-10k（7×10+1）=148k，b11=T11-T10=11k（4×11+27）-10k（4×10+27）=111k.

于是可得 = = .

三、关注假设的等价性

在数学解题中，根据解题的需要，合理的假设可以架起已知与未知间的桥梁，达到化繁为简、化难为易的目的.但是在运用的过程中，一定要关注假设的等价性，这样才能保证解题的准确性.

例3 若M，N是椭圆C： +y2=1上的两点， · =0，求|MN|的最小值.

错解 设点M的坐标为（ cos θ，sin θ）.由 · = 0，可知点N的坐标为（- sin θ，cos θ）.

|MN|= = .

于是可知当θ= 或θ= 时，|MN|取得最小值，且最小值为 .

错误分析 该解法错将参数方程x=acos θ，y=bsin θ中的点M的离心角θ看成是直线OM的倾斜角，得出点N的坐标是错误的，关键是假设未能与已知等价.

正解 由M，N是椭圆C： +y2=1上的两点且OM⊥ON，可设点M的坐标为（r1cos θ，r1sin θ）（θ为OM的倾斜角），点N的坐标为（r2cos（θ+ ），r2sin（θ+ ）），即点N的坐标为（-r2sin θ，r2cos θ）.

将点M，N的坐标分别代入椭圆的方程，得r21·（ +sin2θ）=1，r22（ +cos2θ）=1，从而得 + = +1= .

又（r21+r22）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，即（r21+r22）· ≥4，所以r21+r22≥3.

所以，|MN|2= r21+r22≥3，即|MN|≥ .故|MN|的最小值为 .

四、关注假设的简捷性

有时，一个问题的设法有多种.如果不加分析，盲目而设，就可能导致解题过程繁琐，甚至出现错解.选对设法，可以给解题带来很大的方便，显示出数学的简捷美.

例4 已知动直线l：y=k（x+2 ）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，求△ABO的面积S的最大值.

分析 由题意容易想到，令k为自变量，建立S关于k的函数关系式：

S（k）= （-1

若通过此式来求S的最大值，则会出现复杂的计算，同学们不妨一试.在考试时，利用这种思路解题，即使求出结果，也是隐性失分，因为这样会严重占用其他题的解答时间.

若转换视角，更新思路，视∠AOB为变量，则有以下简捷的优解.

解 设∠AOB=θ，则S（θ）= ×2×2sin θ =2sin θ（0<θ<π）.当θ = 时，Smax=2.

总之，数学解题常常离不开假设，不但要会设、设对，更要追求简设、巧设.只有这样，同学们才能减少许多不应有的错误，提高解题的正确率和解题的能力.（责任编校？筑冯琪）

解数学题时，在仔细分析题目的条件后，有时需要提出假设，借助于假设的条件，通过适当的解题方法，使问题得到解决.如果假设不合理，就会导致解题错误或解题过程繁琐.为了使解题正确、过程简明，我们需要关注假设的存在性、可靠性、等价性和简捷性.

一、关注假设的存在性

在解决有关存在性问题时，常用分析法先假设符合条件的对象存在，然后推理求得结论.然而，所得结论只是必要条件，还需要对它进行检验，使之成为充要条件，即在解决这类存在性问题时，一定要关注假设的存在性.

例1 已知双曲线x2- =1，过点A（1，1） 能否作直线l与所给双曲线交于P，Q两点，且点A是线段PQ的中点？说明理由.

错解 假设满足条件的直线l存在，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），则x21- =1，x22- =1.两式作差后整理得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0.

由点A是线段PQ的中点，可知x1+x2 =2，y1+y2 =2，所以 =2，即直线l的斜率k=2.故直线l的方程为y -1=2（x-1），即y =2x-1.

错误分析 错解在利用点差法求出中点弦的方程后，忽略对直线与双曲线相交的检验.相交是直线存在的前提，这是值得关注的.

正解 同上得到直线l的方程为y =2x-1.

由y =2x-1，x2- =1，得2x2- 4x+3=0.因为Δ=（-4）2-4×2×3<0，所以满足条件的直线l不存在.

二、关注假设的可靠性

在数学解题中，要准确把握概念、定理、公式、性质等，要深刻理解、灵活应用、可靠假设，这是正确解题的保证.

例2 设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，若对一切自然数n，有 = ，求 的值.

错解 因为 = ，可以设Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k为不等于0的实数），所以a11=S11-S10 =k（7×11+1）-k（7×10+1）=7k，b11=T11-T10 =k（4×11+27）-k（4×10+27）=4k.

于是可得 = .

错误分析 当{an}为等差数列，公差d≠0时，数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn，即Sn是关于n的二次函数，且常数项为0.可是，错解中的假设Sn=k·（7n+1），Tn=k（4n+27）（k为不等于0的常数）不满足Sn是关于n的二次函数这个条件.假设不可靠，因而导致错误.

正解 设Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），k≠0，则a11=S11-S10=11k（7×11+1）-10k（7×10+1）=148k，b11=T11-T10=11k（4×11+27）-10k（4×10+27）=111k.

于是可得 = = .

三、关注假设的等价性

在数学解题中，根据解题的需要，合理的假设可以架起已知与未知间的桥梁，达到化繁为简、化难为易的目的.但是在运用的过程中，一定要关注假设的等价性，这样才能保证解题的准确性.

例3 若M，N是椭圆C： +y2=1上的两点， · =0，求|MN|的最小值.

错解 设点M的坐标为（ cos θ，sin θ）.由 · = 0，可知点N的坐标为（- sin θ，cos θ）.

|MN|= = .

于是可知当θ= 或θ= 时，|MN|取得最小值，且最小值为 .

错误分析 该解法错将参数方程x=acos θ，y=bsin θ中的点M的离心角θ看成是直线OM的倾斜角，得出点N的坐标是错误的，关键是假设未能与已知等价.

正解 由M，N是椭圆C： +y2=1上的两点且OM⊥ON，可设点M的坐标为（r1cos θ，r1sin θ）（θ为OM的倾斜角），点N的坐标为（r2cos（θ+ ），r2sin（θ+ ）），即点N的坐标为（-r2sin θ，r2cos θ）.

将点M，N的坐标分别代入椭圆的方程，得r21·（ +sin2θ）=1，r22（ +cos2θ）=1，从而得 + = +1= .

又（r21+r22）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，即（r21+r22）· ≥4，所以r21+r22≥3.

所以，|MN|2= r21+r22≥3，即|MN|≥ .故|MN|的最小值为 .

四、关注假设的简捷性

有时，一个问题的设法有多种.如果不加分析，盲目而设，就可能导致解题过程繁琐，甚至出现错解.选对设法，可以给解题带来很大的方便，显示出数学的简捷美.

例4 已知动直线l：y=k（x+2 ）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，求△ABO的面积S的最大值.

分析 由题意容易想到，令k为自变量，建立S关于k的函数关系式：

S（k）= （-1

若通过此式来求S的最大值，则会出现复杂的计算，同学们不妨一试.在考试时，利用这种思路解题，即使求出结果，也是隐性失分，因为这样会严重占用其他题的解答时间.

若转换视角，更新思路，视∠AOB为变量，则有以下简捷的优解.

解 设∠AOB=θ，则S（θ）= ×2×2sin θ =2sin θ（0<θ<π）.当θ = 时，Smax=2.

总之，数学解题常常离不开假设，不但要会设、设对，更要追求简设、巧设.只有这样，同学们才能减少许多不应有的错误，提高解题的正确率和解题的能力.（责任编校？筑冯琪）