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“图形变换”应关注数学思想方法的渗透

2014-05-26潘勇

中学数学杂志(高中版) 2014年2期
关键词:中心对称线段性质

《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换,例如,翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动,在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下,在观察、操作的活动中,发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性,学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术,展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想,初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来,这部分内容受到普遍重视,已成为中考中的热点、难点.但教学实践中,教师们普遍关注通过变换进行解题研究,且在解题教学中,存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想,如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例,阐述对这部分内容的认识和实践.

1通过图形变换,引导学生体验转化的解题思想

“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换,实现图形位置的转化,把一般情形转化为特殊情形,使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.

例如,我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等,然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形,因此构造合适的全等三角形,常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢?我们可以用运动的观点来考虑[2].

所以,P是到三个顶点距离之和最小的点.

这个例子告诉我们,通过图形的旋转,可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解?从教学的角度来看,这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后,教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.

本题欲证PA+PB+PC为最小值,而这三条线段位于三个不同的三角形中,一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法,将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置,将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见,使用图形旋转的方法,不仅实现了线段的位置转化,而且同时实现了线段的位置重组,把原本分散的条件集中到一条线段,然后运用极端原理找出问题解决的办法.

上述问题说明,在几何问题解决中,常常需要搬动图形(角、线段、三角形等),实现了线段或角的位置的转化和重组,把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中,而旋转是搬动图形最常用的方法之一,特别是当图形中有等腰三角形,正三角形或正方形时,更为旋转提供了方便的条件.例如,对于等腰三角形,把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度,就可与另一腰重合;对于正三角形,把一边绕该边的一个端点旋转60°,就可与它的邻边重合;对于正方形,则需旋转90°.在上述这些旋转下,与被旋转的线段相连的有关图形,例如某个三角形,也跟随一起旋转,即可得到一个与之全等的三角形,可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.

2通过图形变换,引导学生发现“变中不变”规律

“变中不变”是几何变换的基本思想之一,这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化,“不变”是指(图形)经过变换后不改变的性质和量,也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.

教学中,我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学,让学生在经历各种图形运动的过程中,理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质,如图形旋转过程中,图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.

上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明,而且可以适用于一般情况的证明(如图5),△CEM是等腰直角三角形,揭示了规律背后的本质.

上述例子告诉我们,通过图形的运动变换,不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论,而且可以发现“变中不变”的解题方法,进而提高学生动态思维的能力,学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中,能够形成动态研究图形的意识.在教学中,教师与其寻找、编造不同花样的题目,不如深入研究例习题特征,有目的引导学生进行变式、拓展、探究,深入挖掘其中潜在的数学思想方法,揭示其内在的本质和规律.

3通过图形变换,引导学生用运动的观点认识图形的对称性

对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性,它是自然美的直接展示.在几何图形中,大量几何图形也都有鲜明的对称性,如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等,同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想,“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中,知道图形“一半”的性质,就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中,平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待,并且由此及彼,已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦,事半功倍才是数学上对称美的本质[4].

对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中,我们常常会遇到一些对称问题,如几何里的中心对称、轴对称等,教学中,引导学生用对称的观点去观察,有助于从整体上把握图形对称的结构,认识图形的性质.

例如,平行四边形的性质教学,教材给出的性质有(1)平行四边形的对边相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线相互平分;(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.性质(1)(2)(3)反映的是图形“局部”特征,静态特征,性质(4)反应的是图形的“整体”特征,“动态”特征,它“统领”其他性质,有了中心对称的思想,对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上,还可以发现更为一般的性质,经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分(如图7),对角线是其特殊情况.这样,通过旋转对称(中心对称),可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.

对称思想在函数的学习中,同样有重要的地位和作用.研究函数的形态,往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象,根据对称性(轴对称或旋转对称),往往会事半功倍,只要知道一半的性质,就能知道另一半的性质;而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象,由于可通过平移、旋转等运动达到重合,因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.

由此可见,这种运动变化的思想体现在几何教学中,不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果,而且,用对称的思想认识图形,为学习带来事半功倍的效果.

值得注意的是,教学中,教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义,使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具,而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题,徒然增加学生的负担.

参考文献

[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准(试行稿)[M].上海:上海教育出版社,2004.12.

[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙:湖南教育出版社长沙,2000.06.

[3]吴华,周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报,2010(12).

[4]潘勇.教学反思重在过程,贵在深刻[J].数学通报,2012(07).

《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换,例如,翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动,在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下,在观察、操作的活动中,发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性,学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术,展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想,初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来,这部分内容受到普遍重视,已成为中考中的热点、难点.但教学实践中,教师们普遍关注通过变换进行解题研究,且在解题教学中,存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想,如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例,阐述对这部分内容的认识和实践.

1通过图形变换,引导学生体验转化的解题思想

“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换,实现图形位置的转化,把一般情形转化为特殊情形,使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.

例如,我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等,然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形,因此构造合适的全等三角形,常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢?我们可以用运动的观点来考虑[2].

所以,P是到三个顶点距离之和最小的点.

这个例子告诉我们,通过图形的旋转,可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解?从教学的角度来看,这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后,教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.

本题欲证PA+PB+PC为最小值,而这三条线段位于三个不同的三角形中,一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法,将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置,将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见,使用图形旋转的方法,不仅实现了线段的位置转化,而且同时实现了线段的位置重组,把原本分散的条件集中到一条线段,然后运用极端原理找出问题解决的办法.

上述问题说明,在几何问题解决中,常常需要搬动图形(角、线段、三角形等),实现了线段或角的位置的转化和重组,把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中,而旋转是搬动图形最常用的方法之一,特别是当图形中有等腰三角形,正三角形或正方形时,更为旋转提供了方便的条件.例如,对于等腰三角形,把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度,就可与另一腰重合;对于正三角形,把一边绕该边的一个端点旋转60°,就可与它的邻边重合;对于正方形,则需旋转90°.在上述这些旋转下,与被旋转的线段相连的有关图形,例如某个三角形,也跟随一起旋转,即可得到一个与之全等的三角形,可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.

2通过图形变换,引导学生发现“变中不变”规律

“变中不变”是几何变换的基本思想之一,这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化,“不变”是指(图形)经过变换后不改变的性质和量,也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.

教学中,我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学,让学生在经历各种图形运动的过程中,理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质,如图形旋转过程中,图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.

上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明,而且可以适用于一般情况的证明(如图5),△CEM是等腰直角三角形,揭示了规律背后的本质.

上述例子告诉我们,通过图形的运动变换,不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论,而且可以发现“变中不变”的解题方法,进而提高学生动态思维的能力,学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中,能够形成动态研究图形的意识.在教学中,教师与其寻找、编造不同花样的题目,不如深入研究例习题特征,有目的引导学生进行变式、拓展、探究,深入挖掘其中潜在的数学思想方法,揭示其内在的本质和规律.

3通过图形变换,引导学生用运动的观点认识图形的对称性

对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性,它是自然美的直接展示.在几何图形中,大量几何图形也都有鲜明的对称性,如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等,同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想,“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中,知道图形“一半”的性质,就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中,平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待,并且由此及彼,已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦,事半功倍才是数学上对称美的本质[4].

对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中,我们常常会遇到一些对称问题,如几何里的中心对称、轴对称等,教学中,引导学生用对称的观点去观察,有助于从整体上把握图形对称的结构,认识图形的性质.

例如,平行四边形的性质教学,教材给出的性质有(1)平行四边形的对边相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线相互平分;(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.性质(1)(2)(3)反映的是图形“局部”特征,静态特征,性质(4)反应的是图形的“整体”特征,“动态”特征,它“统领”其他性质,有了中心对称的思想,对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上,还可以发现更为一般的性质,经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分(如图7),对角线是其特殊情况.这样,通过旋转对称(中心对称),可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.

对称思想在函数的学习中,同样有重要的地位和作用.研究函数的形态,往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象,根据对称性(轴对称或旋转对称),往往会事半功倍,只要知道一半的性质,就能知道另一半的性质;而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象,由于可通过平移、旋转等运动达到重合,因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.

由此可见,这种运动变化的思想体现在几何教学中,不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果,而且,用对称的思想认识图形,为学习带来事半功倍的效果.

值得注意的是,教学中,教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义,使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具,而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题,徒然增加学生的负担.

参考文献

[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准(试行稿)[M].上海:上海教育出版社,2004.12.

[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙:湖南教育出版社长沙,2000.06.

[3]吴华,周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报,2010(12).

[4]潘勇.教学反思重在过程,贵在深刻[J].数学通报,2012(07).

《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换,例如,翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动,在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下,在观察、操作的活动中,发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性,学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术,展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想,初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来,这部分内容受到普遍重视,已成为中考中的热点、难点.但教学实践中,教师们普遍关注通过变换进行解题研究,且在解题教学中,存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想,如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例,阐述对这部分内容的认识和实践.

1通过图形变换,引导学生体验转化的解题思想

“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换,实现图形位置的转化,把一般情形转化为特殊情形,使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.

例如,我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等,然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形,因此构造合适的全等三角形,常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢?我们可以用运动的观点来考虑[2].

所以,P是到三个顶点距离之和最小的点.

这个例子告诉我们,通过图形的旋转,可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解?从教学的角度来看,这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后,教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.

本题欲证PA+PB+PC为最小值,而这三条线段位于三个不同的三角形中,一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法,将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置,将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见,使用图形旋转的方法,不仅实现了线段的位置转化,而且同时实现了线段的位置重组,把原本分散的条件集中到一条线段,然后运用极端原理找出问题解决的办法.

上述问题说明,在几何问题解决中,常常需要搬动图形(角、线段、三角形等),实现了线段或角的位置的转化和重组,把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中,而旋转是搬动图形最常用的方法之一,特别是当图形中有等腰三角形,正三角形或正方形时,更为旋转提供了方便的条件.例如,对于等腰三角形,把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度,就可与另一腰重合;对于正三角形,把一边绕该边的一个端点旋转60°,就可与它的邻边重合;对于正方形,则需旋转90°.在上述这些旋转下,与被旋转的线段相连的有关图形,例如某个三角形,也跟随一起旋转,即可得到一个与之全等的三角形,可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.

2通过图形变换,引导学生发现“变中不变”规律

“变中不变”是几何变换的基本思想之一,这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化,“不变”是指(图形)经过变换后不改变的性质和量,也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.

教学中,我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学,让学生在经历各种图形运动的过程中,理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质,如图形旋转过程中,图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.

上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明,而且可以适用于一般情况的证明(如图5),△CEM是等腰直角三角形,揭示了规律背后的本质.

上述例子告诉我们,通过图形的运动变换,不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论,而且可以发现“变中不变”的解题方法,进而提高学生动态思维的能力,学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中,能够形成动态研究图形的意识.在教学中,教师与其寻找、编造不同花样的题目,不如深入研究例习题特征,有目的引导学生进行变式、拓展、探究,深入挖掘其中潜在的数学思想方法,揭示其内在的本质和规律.

3通过图形变换,引导学生用运动的观点认识图形的对称性

对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性,它是自然美的直接展示.在几何图形中,大量几何图形也都有鲜明的对称性,如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等,同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想,“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中,知道图形“一半”的性质,就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中,平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待,并且由此及彼,已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦,事半功倍才是数学上对称美的本质[4].

对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中,我们常常会遇到一些对称问题,如几何里的中心对称、轴对称等,教学中,引导学生用对称的观点去观察,有助于从整体上把握图形对称的结构,认识图形的性质.

例如,平行四边形的性质教学,教材给出的性质有(1)平行四边形的对边相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线相互平分;(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点.性质(1)(2)(3)反映的是图形“局部”特征,静态特征,性质(4)反应的是图形的“整体”特征,“动态”特征,它“统领”其他性质,有了中心对称的思想,对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上,还可以发现更为一般的性质,经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分(如图7),对角线是其特殊情况.这样,通过旋转对称(中心对称),可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.

对称思想在函数的学习中,同样有重要的地位和作用.研究函数的形态,往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象,根据对称性(轴对称或旋转对称),往往会事半功倍,只要知道一半的性质,就能知道另一半的性质;而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象,由于可通过平移、旋转等运动达到重合,因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.

由此可见,这种运动变化的思想体现在几何教学中,不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果,而且,用对称的思想认识图形,为学习带来事半功倍的效果.

值得注意的是,教学中,教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义,使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具,而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题,徒然增加学生的负担.

参考文献

[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准(试行稿)[M].上海:上海教育出版社,2004.12.

[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙:湖南教育出版社长沙,2000.06.

[3]吴华,周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报,2010(12).

[4]潘勇.教学反思重在过程,贵在深刻[J].数学通报,2012(07).

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