“图形变换”应关注数学思想方法的渗透

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换，例如，翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动，在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下，在观察、操作的活动中，发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性，学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术，展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想，初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来，这部分内容受到普遍重视，已成为中考中的热点、难点.但教学实践中，教师们普遍关注通过变换进行解题研究，且在解题教学中，存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想，如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例，阐述对这部分内容的认识和实践.

1通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想

“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.

例如，我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等，然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形，因此构造合适的全等三角形，常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢？我们可以用运动的观点来考虑[2].

所以，P是到三个顶点距离之和最小的点.

这个例子告诉我们，通过图形的旋转，可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解？从教学的角度来看，这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.

本题欲证PA+PB+PC为最小值，而这三条线段位于三个不同的三角形中，一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法，将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置，将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见，使用图形旋转的方法，不仅实现了线段的位置转化，而且同时实现了线段的位置重组，把原本分散的条件集中到一条线段，然后运用极端原理找出问题解决的办法.

上述问题说明，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），实现了线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中，而旋转是搬动图形最常用的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形，正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便的条件.例如，对于等腰三角形，把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度，就可与另一腰重合；对于正三角形，把一边绕该边的一个端点旋转60°，就可与它的邻边重合；对于正方形，则需旋转90°.在上述这些旋转下，与被旋转的线段相连的有关图形，例如某个三角形，也跟随一起旋转，即可得到一个与之全等的三角形，可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.

2通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律

“变中不变”是几何变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化，“不变”是指（图形）经过变换后不改变的性质和量，也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.

教学中，我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学，让学生在经历各种图形运动的过程中，理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质，如图形旋转过程中，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.

上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明，而且可以适用于一般情况的证明（如图5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了规律背后的本质.

上述例子告诉我们，通过图形的运动变换，不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论，而且可以发现“变中不变”的解题方法，进而提高学生动态思维的能力，学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中，能够形成动态研究图形的意识.在教学中，教师与其寻找、编造不同花样的题目，不如深入研究例习题特征，有目的引导学生进行变式、拓展、探究，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其内在的本质和规律.

3通过图形变换，引导学生用运动的观点认识图形的对称性

对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性，它是自然美的直接展示.在几何图形中，大量几何图形也都有鲜明的对称性，如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等，同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想，“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中，知道图形“一半”的性质，就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中，平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待，并且由此及彼，已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦，事半功倍才是数学上对称美的本质[4].

对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中，我们常常会遇到一些对称问题，如几何里的中心对称、轴对称等，教学中，引导学生用对称的观点去观察，有助于从整体上把握图形对称的结构，认识图形的性质.

例如，平行四边形的性质教学，教材给出的性质有（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线相互平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.性质（1）（2）（3）反映的是图形“局部”特征，静态特征，性质（4）反应的是图形的“整体”特征，“动态”特征，它“统领”其他性质，有了中心对称的思想，对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上，还可以发现更为一般的性质，经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分（如图7），对角线是其特殊情况.这样，通过旋转对称（中心对称），可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.

对称思想在函数的学习中，同样有重要的地位和作用.研究函数的形态，往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象，根据对称性（轴对称或旋转对称），往往会事半功倍，只要知道一半的性质，就能知道另一半的性质；而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象，由于可通过平移、旋转等运动达到重合，因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.

由此可见，这种运动变化的思想体现在几何教学中，不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果，而且，用对称的思想认识图形，为学习带来事半功倍的效果.

值得注意的是，教学中，教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义，使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具，而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题，徒然增加学生的负担.

参考文献

[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.

[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙：湖南教育出版社长沙，2000.06.

[3]吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报，2010（12）.

[4]潘勇.教学反思重在过程，贵在深刻[J].数学通报，2012（07）.

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换，例如，翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动，在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下，在观察、操作的活动中，发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性，学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术，展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想，初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来，这部分内容受到普遍重视，已成为中考中的热点、难点.但教学实践中，教师们普遍关注通过变换进行解题研究，且在解题教学中，存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想，如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例，阐述对这部分内容的认识和实践.

1通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想

“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.

例如，我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等，然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形，因此构造合适的全等三角形，常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢？我们可以用运动的观点来考虑[2].

所以，P是到三个顶点距离之和最小的点.

这个例子告诉我们，通过图形的旋转，可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解？从教学的角度来看，这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.

本题欲证PA+PB+PC为最小值，而这三条线段位于三个不同的三角形中，一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法，将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置，将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见，使用图形旋转的方法，不仅实现了线段的位置转化，而且同时实现了线段的位置重组，把原本分散的条件集中到一条线段，然后运用极端原理找出问题解决的办法.

上述问题说明，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），实现了线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中，而旋转是搬动图形最常用的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形，正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便的条件.例如，对于等腰三角形，把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度，就可与另一腰重合；对于正三角形，把一边绕该边的一个端点旋转60°，就可与它的邻边重合；对于正方形，则需旋转90°.在上述这些旋转下，与被旋转的线段相连的有关图形，例如某个三角形，也跟随一起旋转，即可得到一个与之全等的三角形，可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.

2通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律

“变中不变”是几何变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化，“不变”是指（图形）经过变换后不改变的性质和量，也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.

教学中，我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学，让学生在经历各种图形运动的过程中，理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质，如图形旋转过程中，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.

上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明，而且可以适用于一般情况的证明（如图5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了规律背后的本质.

上述例子告诉我们，通过图形的运动变换，不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论，而且可以发现“变中不变”的解题方法，进而提高学生动态思维的能力，学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中，能够形成动态研究图形的意识.在教学中，教师与其寻找、编造不同花样的题目，不如深入研究例习题特征，有目的引导学生进行变式、拓展、探究，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其内在的本质和规律.

3通过图形变换，引导学生用运动的观点认识图形的对称性

对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性，它是自然美的直接展示.在几何图形中，大量几何图形也都有鲜明的对称性，如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等，同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想，“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中，知道图形“一半”的性质，就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中，平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待，并且由此及彼，已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦，事半功倍才是数学上对称美的本质[4].

对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中，我们常常会遇到一些对称问题，如几何里的中心对称、轴对称等，教学中，引导学生用对称的观点去观察，有助于从整体上把握图形对称的结构，认识图形的性质.

例如，平行四边形的性质教学，教材给出的性质有（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线相互平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.性质（1）（2）（3）反映的是图形“局部”特征，静态特征，性质（4）反应的是图形的“整体”特征，“动态”特征，它“统领”其他性质，有了中心对称的思想，对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上，还可以发现更为一般的性质，经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分（如图7），对角线是其特殊情况.这样，通过旋转对称（中心对称），可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.

对称思想在函数的学习中，同样有重要的地位和作用.研究函数的形态，往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象，根据对称性（轴对称或旋转对称），往往会事半功倍，只要知道一半的性质，就能知道另一半的性质；而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象，由于可通过平移、旋转等运动达到重合，因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.

由此可见，这种运动变化的思想体现在几何教学中，不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果，而且，用对称的思想认识图形，为学习带来事半功倍的效果.

值得注意的是，教学中，教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义，使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具，而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题，徒然增加学生的负担.

参考文献

[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.

[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙：湖南教育出版社长沙，2000.06.

[3]吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报，2010（12）.

[4]潘勇.教学反思重在过程，贵在深刻[J].数学通报，2012（07）.

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换，例如，翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动，在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下，在观察、操作的活动中，发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性，学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术，展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想，初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来，这部分内容受到普遍重视，已成为中考中的热点、难点.但教学实践中，教师们普遍关注通过变换进行解题研究，且在解题教学中，存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想，如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例，阐述对这部分内容的认识和实践.

1通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想

“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.

例如，我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等，然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形，因此构造合适的全等三角形，常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢？我们可以用运动的观点来考虑[2].

所以，P是到三个顶点距离之和最小的点.

这个例子告诉我们，通过图形的旋转，可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解？从教学的角度来看，这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.

本题欲证PA+PB+PC为最小值，而这三条线段位于三个不同的三角形中，一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法，将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置，将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见，使用图形旋转的方法，不仅实现了线段的位置转化，而且同时实现了线段的位置重组，把原本分散的条件集中到一条线段，然后运用极端原理找出问题解决的办法.

上述问题说明，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），实现了线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中，而旋转是搬动图形最常用的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形，正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便的条件.例如，对于等腰三角形，把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度，就可与另一腰重合；对于正三角形，把一边绕该边的一个端点旋转60°，就可与它的邻边重合；对于正方形，则需旋转90°.在上述这些旋转下，与被旋转的线段相连的有关图形，例如某个三角形，也跟随一起旋转，即可得到一个与之全等的三角形，可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.

2通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律

“变中不变”是几何变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化，“不变”是指（图形）经过变换后不改变的性质和量，也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.

教学中，我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学，让学生在经历各种图形运动的过程中，理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质，如图形旋转过程中，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.

上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明，而且可以适用于一般情况的证明（如图5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了规律背后的本质.

上述例子告诉我们，通过图形的运动变换，不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论，而且可以发现“变中不变”的解题方法，进而提高学生动态思维的能力，学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中，能够形成动态研究图形的意识.在教学中，教师与其寻找、编造不同花样的题目，不如深入研究例习题特征，有目的引导学生进行变式、拓展、探究，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其内在的本质和规律.

3通过图形变换，引导学生用运动的观点认识图形的对称性

对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性，它是自然美的直接展示.在几何图形中，大量几何图形也都有鲜明的对称性，如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等，同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想，“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中，知道图形“一半”的性质，就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中，平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待，并且由此及彼，已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦，事半功倍才是数学上对称美的本质[4].

对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中，我们常常会遇到一些对称问题，如几何里的中心对称、轴对称等，教学中，引导学生用对称的观点去观察，有助于从整体上把握图形对称的结构，认识图形的性质.

例如，平行四边形的性质教学，教材给出的性质有（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线相互平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.性质（1）（2）（3）反映的是图形“局部”特征，静态特征，性质（4）反应的是图形的“整体”特征，“动态”特征，它“统领”其他性质，有了中心对称的思想，对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上，还可以发现更为一般的性质，经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分（如图7），对角线是其特殊情况.这样，通过旋转对称（中心对称），可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.

对称思想在函数的学习中，同样有重要的地位和作用.研究函数的形态，往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象，根据对称性（轴对称或旋转对称），往往会事半功倍，只要知道一半的性质，就能知道另一半的性质；而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象，由于可通过平移、旋转等运动达到重合，因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.

由此可见，这种运动变化的思想体现在几何教学中，不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果，而且，用对称的思想认识图形，为学习带来事半功倍的效果.

值得注意的是，教学中，教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义，使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具，而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题，徒然增加学生的负担.

参考文献

[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.

[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙：湖南教育出版社长沙，2000.06.

[3]吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报，2010（12）.

[4]潘勇.教学反思重在过程，贵在深刻[J].数学通报，2012（07）.