数学实验手册应该怎样使用

朱桂凤　孙朝仁

“数学实验手册”作为数学实验功能的承载体应运而生，给常态课难产知识（定理、公式、法则、规律等）的理解带来了福祉.但在使用的过程中产生理解的偏差，僵化地使用手册的现象遮蔽了数学实验的光芒，限制了学生思维的越级发展，消解了手册的使用性能，压缩了数学实验的价值.笔者现结合数学实验观摩课“平行”“展开与折叠”谈谈对数学实验手册使用的几点思量，试图提升手册使用的性能，并以此引领数学实验课堂正向行走，释放数学实验应有的力量.

1背景分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“标准”）不仅将“基本活动经验”作为“四基”之一，而且提出了“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，这就明确了动手“做”数学是数学学习的一种重要方式，进而以文本形式确立了数学实验是常态教学的一种补注地位.为此苏教版教材特设了“数学实验室”“数学活动”“课题学习”栏目，为教师开展数学实验提供素材和基本线索.“数学实验手册”作为师生数学学习的“伙伴和助手”，在无文本指导的背景下诞生显得尤为必要和重要.

关于“平行”，小学是在学习“平行四边形”和“平移”的基础上学习的，而“标准”在第三学段要求“能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；掌握事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”.就课程目标落实层面而言，用三角尺和直尺画平行线本身就含纳“做”数学的属性，而平行线“唯一性”的基本事实是理性思维无法说清楚的地方，必须借助直观的“做”揭示平行现象背后的本质，这就为学习“平行”指明了实验方向.实验手册将“平行”引进文本并给出具体实验素材和导向，为达成课时目标提供了有效的抓手.正如裴光亚先生所言，在理性思维缺失的地方需要直观思维捷足先登地找到真理，这就是教学的艺术.

关于“展开与折叠”，小学是在学习“三视图”的基础上学习常见物体（长方体、正方体、圆柱和圆锥）展开图的.而“标准”在第三学段要求“了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型；通过实例，了解三视图和展开图在现实生活中的应用”.因此，手册在设计该节内容时，以正方体及其展开图为主线，经历将几何模型转化为平面图形的思维实验过程，发展分析思维水平，提升空间观念的能力；再借助展开图想象正方体模型，以此深化理解几何体与三视图、展开图之间的转化关系并落实课时目标（通过操作、想象，感受立体图形与平面展开图之间的转化，发展空间观念）.这就从整体的角度把握“标准”，凸显数学实验的优越性，为后续扇形、圆锥等相关知识学习铺垫思维积件.换句话说，实验吻合课标、贴合教材，展现实验手册的工具性和人文性.事实上，空间观念的建立没有数学实验的直观帮助只能是理性思维视界的海市蜃楼，这和张景中院士的“数学与哲学”观（哲学对具体的东西作抽象的研究；数学对抽象的东西作具体的研究）是一脉相通的.

2课例现状分析

自《义务教育教科书·数学实验手册》（七年级上册）诞生以来（2013年9月），实验学校师生的数学实验意识得以凸显，为检测其使用的适应性和效能性，于近期开展了以观摩实验课为主角的数学实验研讨活动.共开设了四节研讨课，课题分别是“平行”“七巧板”“展开与折叠”“垂直”.因时间交错，仅观摩其中的两节，为便于后续研究，现将课例分析简概.

执教“平行”实验的老师，按照手册的指向，首先让学生在画平行线中提炼画平行线的方法（一放、二靠、三推、四画）；接着借助对网格纸上不同方位的三组平行线的识别和验证积累平行线的经验；最后让学生在网格纸上由任画平行线到过一点画已知直线的平行线，再经历叠合验证其唯一性.而实验目的是借助方格纸和半透明纸画平行线，体会“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”.显然，就实验目的内需而言只要两步即可，第一让学生在网格纸上由无序画平行线到过定点画已知直线的平行线；第二将网格纸换成半透明纸，重复上述操作过程，不限制验证的方式，让学生在具体的“做”中感受平行线的唯一性.简简单单的画画验验就让结论生成，目标达成，为何要照册宣科、滴水不漏呢？手册只是载体，不是金科玉律，不应照单全收，而应加工重组.

执教“展开与折叠”实验的老师，采用“拿来主义”，依据手册的实验流程顺次展开.首先让学生观察操作五个或六个不同摆放方式的小正方形能否折成无盖或有盖的正方体，并借助手册附录（专家加工好的不同形状的五个或六个小正方形组合图形）验证结论；接着想象操作4组不同图标的立方体展开图复原后可对应的立体图形并借助附录折叠验证.而实验目的是通过观察、操作、想象与思考，感受立体图形与平面图形之间的转化，发展空间观念.显然，就实验目的达成而言只要借助一个牙膏盒或粉笔盒让学生沿任意一条棱剪开并相互比对、画出不同的展开图即可获得立体图形转化为平面图形的经验；接着让学生（分组）想象操作4组不同图标的立方体展开图复原后可对应的立体图形，并说出验证方法（撇开专家思维替代的附录）即可累积将平面图形立体化的经验；最后让学生现场制作一个立方体或长方体并标上个性的图标让同伴尝试画出展开图，再剪开验证，这样，实验目标落到实处，空间观念自然天成.事实上，原实验只经历折叠思维的锻炼，展开思维是缺席的，而且只有操作没有结论的提炼，让经验停留在感性阶段，没有及时将感性思维理性化，缺乏思维的深刻性，这些思维短视都和实验设计初衷相悖，矮化了实验思维应有的高度.

3思考与建议

3.1用手册实验而不是实验手册

从教教材，到用教材，再到用教材教，这是一线教师为课程改革做出的最大贡献.时至今日，教材不再是束缚教学手脚的“圣经”，而是发展课程资源的一大基石，成为展示教学智慧的平台.实验手册作为教材的辅助文本承担特殊的教学功能当不例外，它不是真理的化身，只是为数学实验活动提供基本线索.对于手册提供的线索和素材，可以根据生情、学情、教情进行必要的调整、重组、超越甚至颠覆，只要不偏离实验主题和数学本质、有利于学生的理解和发展，任何尝试都是值得鼓掌的.

“教无定法，学无定式”的文化美是对动态课堂的具体刻画，数学实验的设计与实践亦是如此.同样的一份实验方案经过不同教师的思维过滤，执教的效果是不一样的，这就是“一千个读者有一千零一个哈姆雷特”的道理.因此，不可以照搬手册、照单全收，而应该结合实验目的、学生的数学现实以及立体目标群进行必要的删减、改编和创新，使得实验直抵问题本质，方能达成动态实验背景下的动态目标.比如实验“平行”一例，完全可以忽略前面的两个环节：“归结画平行线的步骤+在网格纸上识别既定的平行线”，仅保留第三个环节并在学生思维发展区内延伸.这样说原因有二：其一是，小学时，学生已经提炼出用直尺和三角板画平行线的方法，而且积累了在网格纸上识别平行线的经验，在课时长度一定的情况下，应该删繁就简、不蔓不枝，直击实验目的；其二是，实验目的锁定为“体会‘过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”.显然，实验目的涉及的内容是基本数学事实（公理），理性的阐明是说不清的，这就要求借助实验的直观性给予经验层面的解释，因此，要保留第三个环节并下大功夫，方能回应实验的主旨，突出实验的主题.

事实上，实验作为常态课的补注形式是穿插在课时内的，为生产常态课难产的知识而作为的，因此，要约简形式、屏蔽面面俱到，方能经济实惠.从可行的课堂现实层面再论“平行”实验，只需借助半透明纸，让学生尝试过一点画已知直线的平行线，然后借助叠合、归结操作发现，最后验证并寻找生活实例加以追溯，使得刻板的公理呈现活泼泼的样态，有效达成实验的初衷，发挥了实验教学得天独厚的优势.

3.2源于实验手册而又高于手册实验

手册作为教材的“助手”，以法规性文本呈现，是发展心理学、数学课程论以及数学教育教学等方面专家集体智慧的结晶，精炼简短的文本浓缩专家的心血，是他们思维千锤百炼的结果，字里行间含纳的思想、方法、经验以及育人价值是毋容置疑的.因此，我们要依纲扣册，站在实验目的之上理性审视并确立适配的实验目标，思维现实与实验目标间的距离应踮脚可触而不是伸手可触或遥不可及.又因实验载体和承载体的个性化而呈现差异性，所以不能用整齐划一的目标来考量.这就要求实验执行者必须从手册出发，进行必要的二度开发，结合学生的思维现实，拓展手册编者因文本所限难以兼顾的经验方法，努力结合实验素材的可塑性达成源于手册而又高于手册的实验现实.

就理性实验层面而言，手册不是简单实验流程的过往，更不是简单的拼拼画画、折折叠叠的儿童游戏，而是蕴涵丰富的人生哲理和文化思想的操作平台.这就需要我们在用手册做实验时，能用心挖掘思维内涵，拓展实验素材可研发的功能，让数学实验和经验发展、生命成长谐和共振，进而渐次积攒数学经验内力和释放实验的文化价值力量.“展开与折叠”实验一例，关于判断展开图能否折叠成正方体的问题，是手册呈现的原汁原味的实验流程项，不能就题猜题、验题，矮化思维，在学生经历思维判断和实验验证以后就匆匆了事.而应该追加思维实验流程（对其中不能围成正方体的图形，如图1，如何移动其中一个小正方形到新的位置使它能折叠成正方体？）拓宽思维信息流量，提升实验素材性能.在学生开发、展示所有可能的结果后，再次升级思维，继续追加实验流程项（猜想验证将一个正方体纸盒沿棱剪开展成一个平面图形，一共能得到哪些不同形状的平面图形？）

经历这样一个有预见性的实验思维的回流，原本无法说清的理性思维在直观实验的帮助下得以具体显化，不需言语补白、不需推理演绎，图形的立体性和平面性互译的经验直观可视，到达“此时无声胜有声”的境界.这就是高于手册思维水平的魅力，提升了实验思维的品质.布鲁纳说：“任何学科的基本思想都能以某种恰当的方式教给任何年龄的任何一个人.”这句话的微言大义在一定层面上回应了源于手册而又高于手册的实验走向.

3.3跳出实验手册而要俯瞰手册实验

既然手册是教材的副本，为教材而生，就必须服务于教材.手册不是十全十美的，附录也不是标准答案.因此，这里的“跳出手册”是指从手册的实验目的出发，回归课本，寻求实验的结合点，思量手册素材与课本问题的契合度，使得实验更好地补位教材的思维缺失.这里的“俯瞰手册”是指在理解手册题旨的基础上提升实验的品位，融入“思想实验”，让学生在实验过程中获得能“带得走”的东西.这种思想性经验是让学生终身受益的行事观.就育人的层面而言，这和美国著名的课程论专家瑞夫·泰勒（R.W.Tiler）的教育观是一致的，即认为教育的目的在于引起学生的思想、情感、态度、心理、知识、能力、行为等多方面的变化.因此，不能简单地就册实验，要用智慧创新实验素材与课本的交汇点，使跳出手册教更贴近课本和学生的心灵.

尝试、归纳、猜想被爱因斯坦称之为“思想试验”.在开展实验活动中，应注意思想实验的开发和利用，以求最佳的实验效果，体现俯瞰手册实验的厚度.苏教版七年级上册第143页研究性学习问题：（1）5个相连的正方形可以组成不同的图形，请将这些图形尽可能多地画出来；（2）在所画的图形中，哪些可以折叠成无盖的正方体纸盒？（3）利用3×5方格纸板，最多能制作几个无盖的正方体纸盒（以纸板中的每一个小方格为一个面）？请在方格纸板中画出示意图并验证.实验（1）就是土生土长的思想试验，学生必须借助想象力方能画出12种情况（将经过平移、旋转、翻折可以重合的两个图形看成同一种图形）；（2）学生必须借助几何直观和模拟实验，方能获得其中的8种情况可折叠成正方体纸盒；要完成（3）则必须回望实验来路，在立体思维和分离图形思想的帮助下，获取实验结果.追溯实验路径，不难发现思想实验能将说不清、道不明的课题直观呈现，示范“跳出手册”的方向.

契诃夫小说《家庭教师》中的算术难题、数学史文献纸莎草文书中的著名问题，都能直抵方程本质，怎样选择，关键是教学价值取向.数学实验素材的遴选，关键是要跳出手册的束缚，站在至高点上俯瞰手册、还原课本.借助数学实验认识论层面的优势，让学生在实验过程中感知理性中的具体，抽象中的生动，宏观中的朴实.进而从非形式化的直觉相互作用与矛盾中形成数学观，这就是“跳出手册”对数学实验的贡献.

“教无定法，学无定式”的文化美是对动态课堂的具体刻画，数学实验的设计与实践亦是如此.同样的一份实验方案经过不同教师的思维过滤，执教的效果是不一样的，这就是“一千个读者有一千零一个哈姆雷特”的道理.因此，不可以照搬手册、照单全收，而应该结合实验目的、学生的数学现实以及立体目标群进行必要的删减、改编和创新，使得实验直抵问题本质，方能达成动态实验背景下的动态目标.比如实验“平行”一例，完全可以忽略前面的两个环节：“归结画平行线的步骤+在网格纸上识别既定的平行线”，仅保留第三个环节并在学生思维发展区内延伸.这样说原因有二：其一是，小学时，学生已经提炼出用直尺和三角板画平行线的方法，而且积累了在网格纸上识别平行线的经验，在课时长度一定的情况下，应该删繁就简、不蔓不枝，直击实验目的；其二是，实验目的锁定为“体会‘过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”.显然，实验目的涉及的内容是基本数学事实（公理），理性的阐明是说不清的，这就要求借助实验的直观性给予经验层面的解释，因此，要保留第三个环节并下大功夫，方能回应实验的主旨，突出实验的主题.

事实上，实验作为常态课的补注形式是穿插在课时内的，为生产常态课难产的知识而作为的，因此，要约简形式、屏蔽面面俱到，方能经济实惠.从可行的课堂现实层面再论“平行”实验，只需借助半透明纸，让学生尝试过一点画已知直线的平行线，然后借助叠合、归结操作发现，最后验证并寻找生活实例加以追溯，使得刻板的公理呈现活泼泼的样态，有效达成实验的初衷，发挥了实验教学得天独厚的优势.

3.2源于实验手册而又高于手册实验

手册作为教材的“助手”，以法规性文本呈现，是发展心理学、数学课程论以及数学教育教学等方面专家集体智慧的结晶，精炼简短的文本浓缩专家的心血，是他们思维千锤百炼的结果，字里行间含纳的思想、方法、经验以及育人价值是毋容置疑的.因此，我们要依纲扣册，站在实验目的之上理性审视并确立适配的实验目标，思维现实与实验目标间的距离应踮脚可触而不是伸手可触或遥不可及.又因实验载体和承载体的个性化而呈现差异性，所以不能用整齐划一的目标来考量.这就要求实验执行者必须从手册出发，进行必要的二度开发，结合学生的思维现实，拓展手册编者因文本所限难以兼顾的经验方法，努力结合实验素材的可塑性达成源于手册而又高于手册的实验现实.

就理性实验层面而言，手册不是简单实验流程的过往，更不是简单的拼拼画画、折折叠叠的儿童游戏，而是蕴涵丰富的人生哲理和文化思想的操作平台.这就需要我们在用手册做实验时，能用心挖掘思维内涵，拓展实验素材可研发的功能，让数学实验和经验发展、生命成长谐和共振，进而渐次积攒数学经验内力和释放实验的文化价值力量.“展开与折叠”实验一例，关于判断展开图能否折叠成正方体的问题，是手册呈现的原汁原味的实验流程项，不能就题猜题、验题，矮化思维，在学生经历思维判断和实验验证以后就匆匆了事.而应该追加思维实验流程（对其中不能围成正方体的图形，如图1，如何移动其中一个小正方形到新的位置使它能折叠成正方体？）拓宽思维信息流量，提升实验素材性能.在学生开发、展示所有可能的结果后，再次升级思维，继续追加实验流程项（猜想验证将一个正方体纸盒沿棱剪开展成一个平面图形，一共能得到哪些不同形状的平面图形？）

经历这样一个有预见性的实验思维的回流，原本无法说清的理性思维在直观实验的帮助下得以具体显化，不需言语补白、不需推理演绎，图形的立体性和平面性互译的经验直观可视，到达“此时无声胜有声”的境界.这就是高于手册思维水平的魅力，提升了实验思维的品质.布鲁纳说：“任何学科的基本思想都能以某种恰当的方式教给任何年龄的任何一个人.”这句话的微言大义在一定层面上回应了源于手册而又高于手册的实验走向.

3.3跳出实验手册而要俯瞰手册实验

既然手册是教材的副本，为教材而生，就必须服务于教材.手册不是十全十美的，附录也不是标准答案.因此，这里的“跳出手册”是指从手册的实验目的出发，回归课本，寻求实验的结合点，思量手册素材与课本问题的契合度，使得实验更好地补位教材的思维缺失.这里的“俯瞰手册”是指在理解手册题旨的基础上提升实验的品位，融入“思想实验”，让学生在实验过程中获得能“带得走”的东西.这种思想性经验是让学生终身受益的行事观.就育人的层面而言，这和美国著名的课程论专家瑞夫·泰勒（R.W.Tiler）的教育观是一致的，即认为教育的目的在于引起学生的思想、情感、态度、心理、知识、能力、行为等多方面的变化.因此，不能简单地就册实验，要用智慧创新实验素材与课本的交汇点，使跳出手册教更贴近课本和学生的心灵.

尝试、归纳、猜想被爱因斯坦称之为“思想试验”.在开展实验活动中，应注意思想实验的开发和利用，以求最佳的实验效果，体现俯瞰手册实验的厚度.苏教版七年级上册第143页研究性学习问题：（1）5个相连的正方形可以组成不同的图形，请将这些图形尽可能多地画出来；（2）在所画的图形中，哪些可以折叠成无盖的正方体纸盒？（3）利用3×5方格纸板，最多能制作几个无盖的正方体纸盒（以纸板中的每一个小方格为一个面）？请在方格纸板中画出示意图并验证.实验（1）就是土生土长的思想试验，学生必须借助想象力方能画出12种情况（将经过平移、旋转、翻折可以重合的两个图形看成同一种图形）；（2）学生必须借助几何直观和模拟实验，方能获得其中的8种情况可折叠成正方体纸盒；要完成（3）则必须回望实验来路，在立体思维和分离图形思想的帮助下，获取实验结果.追溯实验路径，不难发现思想实验能将说不清、道不明的课题直观呈现，示范“跳出手册”的方向.

契诃夫小说《家庭教师》中的算术难题、数学史文献纸莎草文书中的著名问题，都能直抵方程本质，怎样选择，关键是教学价值取向.数学实验素材的遴选，关键是要跳出手册的束缚，站在至高点上俯瞰手册、还原课本.借助数学实验认识论层面的优势，让学生在实验过程中感知理性中的具体，抽象中的生动，宏观中的朴实.进而从非形式化的直觉相互作用与矛盾中形成数学观，这就是“跳出手册”对数学实验的贡献.

“教无定法，学无定式”的文化美是对动态课堂的具体刻画，数学实验的设计与实践亦是如此.同样的一份实验方案经过不同教师的思维过滤，执教的效果是不一样的，这就是“一千个读者有一千零一个哈姆雷特”的道理.因此，不可以照搬手册、照单全收，而应该结合实验目的、学生的数学现实以及立体目标群进行必要的删减、改编和创新，使得实验直抵问题本质，方能达成动态实验背景下的动态目标.比如实验“平行”一例，完全可以忽略前面的两个环节：“归结画平行线的步骤+在网格纸上识别既定的平行线”，仅保留第三个环节并在学生思维发展区内延伸.这样说原因有二：其一是，小学时，学生已经提炼出用直尺和三角板画平行线的方法，而且积累了在网格纸上识别平行线的经验，在课时长度一定的情况下，应该删繁就简、不蔓不枝，直击实验目的；其二是，实验目的锁定为“体会‘过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”.显然，实验目的涉及的内容是基本数学事实（公理），理性的阐明是说不清的，这就要求借助实验的直观性给予经验层面的解释，因此，要保留第三个环节并下大功夫，方能回应实验的主旨，突出实验的主题.

事实上，实验作为常态课的补注形式是穿插在课时内的，为生产常态课难产的知识而作为的，因此，要约简形式、屏蔽面面俱到，方能经济实惠.从可行的课堂现实层面再论“平行”实验，只需借助半透明纸，让学生尝试过一点画已知直线的平行线，然后借助叠合、归结操作发现，最后验证并寻找生活实例加以追溯，使得刻板的公理呈现活泼泼的样态，有效达成实验的初衷，发挥了实验教学得天独厚的优势.

3.2源于实验手册而又高于手册实验

手册作为教材的“助手”，以法规性文本呈现，是发展心理学、数学课程论以及数学教育教学等方面专家集体智慧的结晶，精炼简短的文本浓缩专家的心血，是他们思维千锤百炼的结果，字里行间含纳的思想、方法、经验以及育人价值是毋容置疑的.因此，我们要依纲扣册，站在实验目的之上理性审视并确立适配的实验目标，思维现实与实验目标间的距离应踮脚可触而不是伸手可触或遥不可及.又因实验载体和承载体的个性化而呈现差异性，所以不能用整齐划一的目标来考量.这就要求实验执行者必须从手册出发，进行必要的二度开发，结合学生的思维现实，拓展手册编者因文本所限难以兼顾的经验方法，努力结合实验素材的可塑性达成源于手册而又高于手册的实验现实.

就理性实验层面而言，手册不是简单实验流程的过往，更不是简单的拼拼画画、折折叠叠的儿童游戏，而是蕴涵丰富的人生哲理和文化思想的操作平台.这就需要我们在用手册做实验时，能用心挖掘思维内涵，拓展实验素材可研发的功能，让数学实验和经验发展、生命成长谐和共振，进而渐次积攒数学经验内力和释放实验的文化价值力量.“展开与折叠”实验一例，关于判断展开图能否折叠成正方体的问题，是手册呈现的原汁原味的实验流程项，不能就题猜题、验题，矮化思维，在学生经历思维判断和实验验证以后就匆匆了事.而应该追加思维实验流程（对其中不能围成正方体的图形，如图1，如何移动其中一个小正方形到新的位置使它能折叠成正方体？）拓宽思维信息流量，提升实验素材性能.在学生开发、展示所有可能的结果后，再次升级思维，继续追加实验流程项（猜想验证将一个正方体纸盒沿棱剪开展成一个平面图形，一共能得到哪些不同形状的平面图形？）

经历这样一个有预见性的实验思维的回流，原本无法说清的理性思维在直观实验的帮助下得以具体显化，不需言语补白、不需推理演绎，图形的立体性和平面性互译的经验直观可视，到达“此时无声胜有声”的境界.这就是高于手册思维水平的魅力，提升了实验思维的品质.布鲁纳说：“任何学科的基本思想都能以某种恰当的方式教给任何年龄的任何一个人.”这句话的微言大义在一定层面上回应了源于手册而又高于手册的实验走向.

3.3跳出实验手册而要俯瞰手册实验

既然手册是教材的副本，为教材而生，就必须服务于教材.手册不是十全十美的，附录也不是标准答案.因此，这里的“跳出手册”是指从手册的实验目的出发，回归课本，寻求实验的结合点，思量手册素材与课本问题的契合度，使得实验更好地补位教材的思维缺失.这里的“俯瞰手册”是指在理解手册题旨的基础上提升实验的品位，融入“思想实验”，让学生在实验过程中获得能“带得走”的东西.这种思想性经验是让学生终身受益的行事观.就育人的层面而言，这和美国著名的课程论专家瑞夫·泰勒（R.W.Tiler）的教育观是一致的，即认为教育的目的在于引起学生的思想、情感、态度、心理、知识、能力、行为等多方面的变化.因此，不能简单地就册实验，要用智慧创新实验素材与课本的交汇点，使跳出手册教更贴近课本和学生的心灵.

尝试、归纳、猜想被爱因斯坦称之为“思想试验”.在开展实验活动中，应注意思想实验的开发和利用，以求最佳的实验效果，体现俯瞰手册实验的厚度.苏教版七年级上册第143页研究性学习问题：（1）5个相连的正方形可以组成不同的图形，请将这些图形尽可能多地画出来；（2）在所画的图形中，哪些可以折叠成无盖的正方体纸盒？（3）利用3×5方格纸板，最多能制作几个无盖的正方体纸盒（以纸板中的每一个小方格为一个面）？请在方格纸板中画出示意图并验证.实验（1）就是土生土长的思想试验，学生必须借助想象力方能画出12种情况（将经过平移、旋转、翻折可以重合的两个图形看成同一种图形）；（2）学生必须借助几何直观和模拟实验，方能获得其中的8种情况可折叠成正方体纸盒；要完成（3）则必须回望实验来路，在立体思维和分离图形思想的帮助下，获取实验结果.追溯实验路径，不难发现思想实验能将说不清、道不明的课题直观呈现，示范“跳出手册”的方向.

契诃夫小说《家庭教师》中的算术难题、数学史文献纸莎草文书中的著名问题，都能直抵方程本质，怎样选择，关键是教学价值取向.数学实验素材的遴选，关键是要跳出手册的束缚，站在至高点上俯瞰手册、还原课本.借助数学实验认识论层面的优势，让学生在实验过程中感知理性中的具体，抽象中的生动，宏观中的朴实.进而从非形式化的直觉相互作用与矛盾中形成数学观，这就是“跳出手册”对数学实验的贡献.