平面几何入门疑难分析与教学建议

2014-05-26张昆张亚明张永辉

中学数学杂志(高中版) 2014年2期

张昆　张亚明　张永辉

在义务教育数学新课程设计理念的内涵中，平面几何教育资源重在利用几何直观，生成空间观念，实现推理能力，这构成了平面几何教育价值的“三位一体”架构[1].从这里我们发现，这种价值体系不只是侧重于形成平面几何知识的使（实）用价值，其终结价值在于基于推理能力为发展学生的理性思维打下基础.如何利用平面几何课程资源促进受教育者理性思维能力的发展？这是平面几何知识教学的首要目标，实现如此目标的关键在于认真审视学生思维方式适应平面几何知识环节的要求，确定学生发生平面几何知识疑难关节点.

1平面几何入门疑难分析

由于生物种族性存活对动物的强制性要求，高等动物无不利用它所生活于其中的空间直观性，发展起了空间观念，而这种发展的结果，主要来源于种族性的继承，后天经验的贡献其实极少.例如，老鹰抓野鸡时，它精准的俯冲；猿猴在树头上的攀缘跳跃，需要对其达到目标承载物的准确判断.都是在空间观念的指导下精致地利用空间的性质，就可以充分地说明上述我们所提出的观点.作为心智发展远远地超越于动物的人类，这种空间观念也应该主要地源于基因遗传.

乔姆斯基在《语言与心理》一书中解释婴幼儿母语的发生机制（一般智力正常的孩童在出生的两周年之内就掌握了成人的大约70%左右的口语会话）时说，“今天肯定没有什么理由去认真采用这样一种立场，即把复杂的人类成就整个地归因于几个月（或至多是几年）的经验，而不是归因于几百万年的演化，或归因于可能更牢固地建立在自然法则基础上的神经组织的诸原理.”[2]人类利用几何直观而生成的空间观念与孩童语言获得能力实质上具有异曲同工之妙.

我们可以作如此类推，人类凭借于自己种族的经验已经将空间观念在发生生命的起点处就被植入个体的神经系统.不过，这植入的空间观念可能呈现为整体的形式，还是混沌一片、没有分化，具有模糊而非精致性特点的.如此，它只能是从生物（追求生存）的本能上提供给我们，有利于我们的生存，也有利于我们的行事时的方便，仅此而已.试想，如果我们在日常生活中，每一个动作都要经过思维活动像平面几何命题证明思路那样才能安排好，那就肯定要遗失时机.在没有必要做出重大决策的情况时，仅靠遗传的直觉行动就足以应付各种需要，思维只是一种备而不用的东西[3].

我们可以得出结论：空间观念源于两方面：基因遗传与孩童出生之初的不多的几何直观经验.基于这样地前提，我们发现，平面几何知识是人类长期以来对我们所已经内化了的生存于其中的空间观念的一种精致化的认识活动的结果.人们更加深刻地探索生活于其中的空间的主要目的有以下两点：其一，为了更好地生存；其二，为了满足人类自己对生活于其中的空间的迷恋的兴趣.在这种对空间精致化的探究过程中，人们必定要从空间所呈现的表面现象中，获得空间的致精致简的本质.也可以如此说，将我们与生俱来的内在的混沌的空间观念转化为有条理、有秩序、可刻画并且被他人理解的空间形式.

人类在探索空间，或者说是表达自己所拥有的内在空间观念时，将这种空间观念条分缕析，明经辨纬，经过了无数年积累，终于发展起来了（文字、图形与符号）语言.起初，人们利用文字语言描绘的只是空间感觉的表象，比如，直的、圆的、方的，面积大的等等；又经过了许多年的发展与演化，人们认识到只对这些空间形式的表象的描述，还依然抓不住问题的本质，通过进一步努力，对相关的空间元素形成一义的、精确的概念.

这些概念的出现，本身是人类运用智力进行探究活动所得到的现实结果，又反过来为我们探究空间的本质提供了工具，配之以思维的逻辑，使人们的认识可以对相关的概念进行“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作功夫，造成概念和理论的系统”[4]的方法，从而确保人类可以通过更为确定的基础知识去认识新的、还有某些未知因素的等待确证的事实，它的原理是人类通过逻辑的中介，将已经证明的真命题（逻辑证明的定理，或长期经验证明的公理）的真理性传递给我们需要辨别真伪的新命题，从而获得新定理，这个新定理又构成了辨别更新的命题的基础.

后来，古希腊的几何巨匠欧几里得将前人探索空间观念所生成的平面几何知识织就成了逻辑系统，在历史上对数学的发展产生了巨大影响，奠定了整个数学学科用以逻辑表达追求真理的思想，构成了判断探究数学活动所获得结果的真伪的唯一标准（否定了经验的标准），这是数学学科文化的最为重要的标志.平面几何证明提供了表达前因后果关联的一种范式，平面几何证明的逻辑表达依据对材料的联结与综合过程具有一步一步、环环紧扣、严丝合缝的形式特征，从中产生了令人信服的力量，如此，将已知的真理传递到了未知问题情境中，将新情境中的真命题辨别出来，生成了新的真理.

由此分析，我们能够深切地体会到，对于初中学生来说，在他们的心目中不缺乏那种模糊的、混沌的空间观念，也就是说，所谓在接受义务教育的过程中，促使学生形成空间观念的要求远远不是数学新课程专家所设想的那么困难，尽管“空间观念”这个名词看上去具有吓人的面孔.事实上，空间观念的实际内容已内存于我心，是人人都具有深刻体验的，只不过不通过平面几何知识的学习与磨练，他们目前还不能清晰地表达出来而已；因此，关于平面几何空间观念的疑难其实就转化成如何运用语言表达这一观念的疑难了.

平面几何图形直观本身就是表达空间观念的一种语言，更为重要的是它还构成了现实中将空间观念外化为文字、符号语言表达的支架.但是，我们必须要清楚：平面几何图形的直观并不是永远呈现为客观性的，它依赖于主观知觉的观念性框架.这是因为，首先，心理学已经证实，知觉具有大小、形状、明暗与颜色恒常性，我们猜想，这与动物追求存活的本性不无关系；其次，由苛勒与卡夫卡为代表的德国格式塔学派认为，人在认知活动中需要把感知到的信息组织成有机的整体，在头脑中构造成一种格式塔（或称为完形）；再次，几何直观进入人的知觉后，经过语言表达出来，已经经过了抽象性的加工.例如：“大漠孤烟直，长河落日圆.”这里的“直”和“圆”就是舍弃了事物的具体特点，而具有了抽象性.

在几何直观、空间观念与逻辑推理这三者之间的关系中，从终极源头上看，几何直观是生成空间观念与形成逻辑推理的基础；空间观念内含于意识结构中，可以使用多种形式将其外化（表达）出来，其中，经过历史的选择，人们特别看重逻辑推理的表达形式，至此，逻辑推理作为获得数学结论的一种方法，形成了数学文化的核心内容.但是，需要特别说明的是，逻辑推理这一论题属性的“语形”不可能游离于文字语言与图形语言，逻辑推理是关于空间直观的一种内在的某种秩序的精确表达，而这种秩序的发现却需要猜测，“出色的猜测”可以帮助我们找到问题的答案或者空间观念中的逻辑关系.

由此看到，平面几何入门学习的最大疑难就在于如何帮助学生生成几何语言以利于对内在空间观念的表达，它至少需要文字语言、图形语言与符号语言的相互转化，才能构造出逻辑推理证明命题的“语形”范式.因此，在平面几何入门教学时，教师必须要不遗余力地借助于平面几何的图形直观，将学生已经拥有的（整体的、混沌的、模糊状态）空间观念用平面几何语言表达出来.教师要清楚地理解初学几何的学生的平面几何语言（文字的、图形的与符号的）发生与发展的心理逻辑的关键环节，才能提高教学的有效性.

2平面几何入门教学建议

通过上述分析，我们发现了平面几何入门学习的主要疑难就是促使学生生发几何语言（文字的、图形的与符号的），这就找到了平面几何入门教学设计的着力点与关键环节，教师可以围绕着这一难点投入力量.在教学设计时，我们应该有意识地、有侧重地分解难点.它可以通过充分利用几何图形的直观，充分利用学生学习代数学所获得的经验，充分利用学生清新好奇的心理品质，由此提高平面几何入门教学效率.关于培养学生的几何语言表达他们的空间观念，教师在教学设计时，应该特别留心如下两点：

2.1重视语言教学，强调阅读与表达

几何学习入门伊始，学生读不懂课本内容（因为概念与专用词太多，其中的一些与感觉有较大差别），弄不明白题意，分不清命题题设和结论，不会把几何文字叙述改写成数学符号形式的叙述，证明命题时缺乏表达能力，无从下手.其原因是没有掌握几何语言.因此，在平面几何入门教学中，一方面要研究图形直观材料，发挥观察、感知功能，另一方面又要研究语言形式，培养学生对几何（符号的或图形的）语言吸收与表达能力，直观感知的是图形形象集合，要表达直观感知就必须要有几何语言的集合.要有效地帮助学生建立这两个集合之间的联系，在教学中，教师注意以下几点是相当重要的：

2.1.1利用教科书上的语言示范作用

引导学生在阅读课本时，咬文嚼字，认真理解课本上所提供的语言涵义.几何语言用词大致可分为加以定义的实词和不加定义的关联词，许多问题是出在学生的普通语义对几何中有特殊含义的实词不正确理解和忽略关联词上.

在互译的练习中，要注意培养学生笔练与口练相结合，在课堂上可采取学生口头叙述，教师把他的叙述经过加工进行板书，或者让他们板演后再让其口述，从而把两者有机结合起来.口述中既要紧紧抓住关键字词，又要鼓励他们用自己的语言叙述，寓不变中有变.

2.1.3随时做好句型归纳

教师课堂用语和板书要规范，使学生学有范例.如有关图形术语，教师不能因为开始阶段学习而不要求学生掌握，反之，开始阶段的“规范性”示例对学生影响的重要性是无以复加的，教师在教学中对自己语言也不能降低“规范性”要求.只有在日常教学中，教师持之以恒地坚持用规范语言，日积月累、潜移默化地熏陶濡化的过程，学生他日在几何语言习得与应用方面才能水到渠成、游刃有余.

2.1.4剖析平面几何定义与命题结构，提高表达能力

对于几何定义与命题结构分析可与汉语语词的限制和修饰、语法结构分析结合起来.如：“把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.”可以引导学生对其语法结构分析，逐步把中心词和修饰或限制中心词的词剥落出来.虽然，新课标理念强调淡化形式，但对基本概念准确把握，却依然是今后学习推理的重要基础，否则，大量经验表明，精确的几何语言体系不建立起来，随着课程的进展，学生的几何学习将要付出极大代价.通过命题语义结构分析，可以把隐含在语义之中的一些直观要素转化为图形直观，或符号表达，如对一个具体的命题借助于图形直观，将已知条件与要证明的结论从语义结构中析取出来.

语言是思维的外壳，是交流的工具，是信息的载体.由前面的具体分析，已经知道，学生不缺乏空间观念，利用图形直观也是可以比较容易办到的，生成语言表达是平面几何入门学习的结构性疑难.越过平面几何语言学习难关，是学好平面几何基础中的基础.在语言教学上，教师必须要舍得花大力气，引导学生点滴积累，也要讲究方法，有耐心、不厌其烦地通过教师的示范性用词引导学生一步步把他们生活语言改造成规范的几何语言，唯有如此，才能在学生思维结构中建立起平面几何知识结构大厦.

2.2重视培养学生生成逻辑推理“语形”

平面几何命题推理论证证明是利用其资源培养理性思维的最为重要的环节，推理论证也是平面几何入门教学上的绝对难点，在没有真正地进入分析命题证明思路的平面几何入门教学时，帮助学生建立几何推理环节的“语形”，会为推理论证入门打下基础.在2011年版修订的课程标准中，定理的证明得到了相应相称地加强，因为这是平面几何教育价值的最为重要的地方.为了解决这一难点，教师应善于抓住数学（包括代数学和几何学）教学中的适宜材料，及早渗透逻辑推理“语形”训练.

2.2.1在代数学教学中渗透逻辑推理“语形”训练

在初一解一元一次方程时，由等式性质生成了解方程的基础——“同解原理”，由此生成了解一元一次方程的程序指令：去括号；去分母；移项；合并同类项；系数化为1.有了这一套程序指令后，学生在解方程时便将奠基行动指令的“同解原理”抛到九霄云外，尽管执行指令数百次地解方程.在这种情况下，教师应该选择一定的典型的解方程例子使用“同解原理”再生成指令，“同解原理”构成上述指令的原因.学生长期地只运用指令而不管指令产生的原因，对形成平面几何逻辑推理“语形”带来负面影响.因此，教师在解一元一次方程时，有意识地进行事出有因的训练，会对平面几何推理入门带来较好的教学效果.

这要求教师在整体的数学教学中要整体布局、统筹兼顾，因为，在代数中不需要如此的“语形”表达，但是，如果教师精心地处理好，不放过渗透逻辑推理“语形”训练的机会，就可以使学生在学习平面几何课程之前，便可获得平面几何推理论证意识和表达简单推理的“语形”形式.可以在引导学生探索几何型逻辑推理论证中渗透代数型逻辑思维的方法，通过类比、对比、比较以及教师的适当说明，让他们发现平面几何中所要求表达推理的“语形”形式，其实早在学习代数时就已经见过面了，只是那时我们没有仔细按照逻辑推理形式（“语形”）进行必要的表达而已.

逻辑推理“语形”形式可以理解为代数学思维本质的新面孔罢了.在学生思维结构中已有熟悉材料总是可以帮助他们在学习几何逻辑思维形式时产生“共鸣的”，把他们潜藏在思想中那种逻辑结构本质要义通过层层剥笋的改造加工制作，形成他们几何逻辑推理结构模式，这样真正能够提升他们逻辑思维能力.因为，学生能力提升总是在吸收外界材料，不间断地改造他们思维“格局”（皮亚杰语）过程中，使内外材料之间互相关联、互相作用驱使学生可塑性思维结构不断得到优化[5].在这种优化进程中，学生对几何推理论证思维结构不断形成，也就是说他们对于几何推理论证思维变得越来越容易接受.

2.2.2在说理教学中渗透逻辑推理“语形”训练

在说理阶段，不失时机地这样进行逻辑推理训练，不仅能使学生对几何图形性质产生更深刻理解，而且有效地利用了数学教育材料资源，使他们初步了解几何逻辑说理方式与模型.为今后进行严格的逻辑推理证明打下基础.学生学习平面几何起始阶段，教师通过渗透的方法，为平面几何推理论证做好“架桥铺路”的准备工作，学生对严格的逻辑推理论证学习就不会感到突兀和艰难了，为他们学习定理、习题推理论证奠定了良好的基础.当然，学生平面几何除了语言疑难之外，还有探索证明思路难，后者不是平面几何入门学习时的疑难，而是几何学习“升造”时的疑难，我们将另有表述，请注意本刊后继的文字.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：6.

[2][美]诺姆·乔姆斯基.语言与心理[M].姚小平，译.北京：华夏出版社，1999：7.

[3][美]威廉·卡尔文.大脑如何思维——智力演化的今昔[M].杨雄里，梁培基，译.上海：上海科学技术出版社，1996：14-15.