轨道交通地面振动衰减关系中局部放大现象形成机理研究

郑 鑫，陶夏新，王福彤，3，谢礼立

（1.中国地震局工程力学研究所，哈尔滨 150080；2.黑龙江八一农垦大学工程学院，大庆 163319；3.黑龙江大学建筑工程学院，哈尔滨 150001）

轨道交通地面振动衰减关系中局部放大现象形成机理研究

郑 鑫1，2，陶夏新1，王福彤1，3，谢礼立1

（1.中国地震局工程力学研究所，哈尔滨 150080；2.黑龙江八一农垦大学工程学院，大庆 163319；3.黑龙江大学建筑工程学院，哈尔滨 150001）

为了研究城市轨道交通引起的环境振动竖向位移衰减关系中局部放大现象的产生机理，将场地简化为弹性半空间单一覆盖层模型，采用传递矩阵法推导了频率波数域三维层状场地竖向位移的动力格林函数。通过七个半空间与覆盖层的模量比，四个覆盖层厚度，七个激励频率，三个覆盖层阻尼比等诸多因素对局部放大影响的分析，结果表明局部放大受埋藏的主要速度界面控制，局部放大区的位置和放大的强度与该界面两侧的模量比（波阻抗比）、覆盖层厚度、激励的频率及覆盖土层的阻尼比等因素有关。一般来说，速度界面的波阻抗越大，局部放大越强烈；给定其他条件，使直达的表面波与半空间表面折射波越接近同时到达的覆盖层厚度使局部放大越为明显，使两者波峰越靠近的激励频率会引起更为明显的局部放大；覆盖层阻尼比越小，局部放大越强烈。

轨道交通；环境振动；衰减关系；局部放大；传递矩阵法

一般而言，由于能量的扩散以及土层对振动能量的耗散，轨道交通的环境振动的强度在传播过程中会不断衰减。不同类型的振源，不同的振动方向，不同的传播方向以及不同的土层结构和介质参数，对振动衰减的影响不尽相同。许多文献都研究了轨道交通环境振动随距离衰减的一般规律［1］，一些观测数据也显示在一定的距离上衰减会变缓，不衰减，甚至距离增加而略有放大，为便于叙述，本文统称为“局部放大”。为了解释局部放大产生的机理，王逢潮等［2］建立了列车－轨道和路基－土层－建筑物的二维动力相互作用分析模型，用有限元法计算了列车运行引起的振动在土层中的传播特性及对邻近建筑物的影响，表达了可以模拟振动中的局部放大区，算例的结果表明地面竖向振动加速度衰减的第一个局部放大区在距轨道约60 m处，列车运行速度对局部放大区的位置影响不明显。Fujikake等［3］认为这种地面振动强度的局部放大，是由于振源激励的频率与传播介质土层固有频率相近发生共振现象，或者土层下面存在坚硬的基岩、波在基岩表面反射使地表振动放大。陈建国等［4］介绍了北京地铁5号线高架桥上列车运行引起地面振动的观测结果，指出在距离轨道15 m处振动有明显的局部放大，且振动强度越大，局部放大越明显。

本文采用频率－波数域的动力格林函数方法，计算均布矩形简谐荷载作用下弹性半空间单一覆盖层模型表面竖向振动位移幅值，观察是否可以表现出局部放大的现象。通过在一定范围内变动模型的各主要参数值，比较分析对局部放大的影响，探讨城市轨道交通环境振动衰减局部放大的形成机理。

1 用频率－波数域动力格林函数法计算三维层状场地竖向位移

动力格林函数定义为在层状半空间表面的单位简谐荷载激励下地表位移反应的幅值。借助格林函数，通过积分手段可以求解任意荷载作用下地表竖向位移的反应。

弹性半空间上覆n层水平弹性层组成模型，如图1所示；从上到下顺序编号为第1，2，3，…，n层，下卧弹性半空间为第n＋1层；z坐标轴竖直指向下方，整体坐标原点位于地表，每一土层的局部坐标原点位于各层的上表面。

Sheng等［5］借助传递矩阵法给出了层状半空间频率－波数域动力格林函数的推导思路和结果。层状半空间频率－波数域位移解和应力解，可以合写为如下矩阵形式。

图1 计算采用的层状半空间模型Fig.1 Layered half-spacemodel for the analysis

其中：S（β，γ，z）称为状态向量，

积分常数向量：

矩阵：

对角阵

设第1，2，…，n层的厚度分别为h1，h2，…，hn，第j层上表面的局部坐标zj＝0，则下表面的zj＝hj。为叙述方便，将各层上下表面的状态向量、位移向量和应力向量分别做如下简记：

上表面zj＝0，则式（1）可以表达为：

下表面zj＝hj，可以写出：

从式（10）可知，每层下表面的状态向量可用该层上表面状态向量计算得到。沿用Haskell-Thomson定义，Tj称为第j层上下表面间的传递矩阵。

借助每一界面上下的层间应力和位移的连续性条件，即S1，1＝S2，0，S2，1＝S3，0，…，Sn－1，1＝Sn，0，第n层下表面的状态向量可以写为：

其中：矩阵T＝TnTn－1…T1为全体覆盖层总的传递矩阵，分解为子矩阵形式：

式（11）可进一步表示为：

在第n＋1层的半空间中，当z→∞时位移趋近于0，必有A1＝A2＝A3＝0，bn＋1＝（B1，B2，B3）T。矩阵An＋1成为6×3阶，能够分解为：

表面的状态向量：

可写为：

消去bn＋1，得到：

由第n层和第n＋1层的连续关系可得：

对于ω＝0的静力条件，只须把其中的A矩阵、D向量以及指数ξ1替换为相应的静力条件下的A矩阵、D向量以及指数ξ即可，得到的矩阵表达式的形式与式（21）完全相同。下卧半空间A矩阵的两个子矩阵分别为：

将式（25）展开：

式（27）即为地表作用竖向激励，在频率－波数域，层状半空间表面竖向反应位移幅值与激励幅值之间的关系式，其中为层状半空间频率－波数域动力柔度矩阵中的第3行第3列，即本文所称频率－波数域的动力格林函数。

2 四个场地算例的验证

从相对简单的模型入手，采用弹性半空间单一覆盖层模型，激励采用均布矩形简谐荷载，如图2所示。矩形荷载比圆形荷载更符合城市轨道交通轮轨接触的实际情况。荷载的空间域表达式为：

变换到波数域：

代入到式（27）可求得地表竖向位移频率－波数域响应，再经逆Fourier变换，即可获得空间域的反应幅值。

图2 地表激励采用的矩形简谐荷载Fig.2 Rectangular harmonic load on ground adopted for excitation

弹性半空间单一覆盖层模型参数值列于表1，以下称为局部算例。Jones等［6］曾采用刚度矩阵方法求解层状半空间在矩形简谐荷载激励的反应，此处采用了该算例中所取的a＝0.3 mm，荷载合力1N，即p0＝1／（4a2）N，荷载频率为64 Hz。按照表1所列参数的不同组合，Jones等分析了4个场地模型，本文上述弹性半空间单一覆盖层模型，与文献［6］中的场地模型3完全相同。场地模型1为均质半空间，参数值同表1中下卧半空间的；场地模型2亦为均质半空间，参数值取表1中弹性覆盖层的；场地模型4与场地模型3的区别仅在于下卧半空间取为刚性。

表1 场地模型参数Tab.1 Parameters of the ground model

分别对4个场地模型，计算得到的表面沿x＝0（与轨道延长线垂直）的直线上不同距离点的竖向位移值，连成的振动幅值衰减曲线，如图3所示；其中，实线为本文利用前述频率－波数域的动力格林函数法计算的结果，虚线为文献［6］的相应计算结果。从图中可见，4个场地模型得到的结果均与文献［6］的结果符合得很好，验证了本文动力格林函数的推导和编程是可靠的。在距离10 m处，场地模型3和场地模型4的结果中均表现出局部放大，模型4的结果中在17 m处有更为明显的局部放大，说明本文上述方法是可以表达适当的条件下振动衰减中局部放大现象的。

3 局部放大的影响因素和机理论证

3.1 速度界面波阻抗比的影响

从图3中可以清楚地看出，模型1和模型2描述的均质半空间的结果都没有振动衰减的局部放大现象，表明局部放大应该与场地的速度结构有关，一个波阻抗很大的速度界面的存在应该是控制性因素。两个单一覆盖层弹性半空间模型的结果均显示出局部放大现象，进一步证实了这一判断，并且表明速度界面的波阻抗越大，局部放大越明显。

图3 沿x＝0的直线上地表竖向位移幅值的衰减Fig.3 Attenuation of vertical displacement amplitudes along the line with x＝0

为了进一步验证这一结论，考察波阻抗比对局部放大区的位置的影响，选七个半空间与覆盖层的模量比E1／E2的值1、5、6、7、8、9和10，其他参数值同基本算例，分别计算地表竖向振动幅值随距离的变化，结果如图4所示。据定义，波阻抗为密度和波传播速度的乘积，弹性模量为密度与速度平方的乘积，因此不同的模量比对应不同的波阻抗比［7］。从图中可见，模量比为1，相当于均匀半空间，没有振动衰减的局部放大的现象；模量比达到5以上，局部放大就很明显了，确实有速度界面的波阻抗越大，局部放大越强烈的现象。结果表明，主要速度界面的波阻抗比是形成、控制局部放大的重要因素。在给定覆盖层厚度为7 m的条件下，局部放大区的形态随模量比的变化呈现一定的规律。看起来有两个大体相连的区，模量比等于5，近处的局部放大区明显，最大值在16 m处；随着模量比进一步增大，近处的放大逐渐减弱，相对远处的放大逐渐增强，且最大值对应的距离也逐步从21 m移向18.5 m。

3.2 覆盖层厚度的影响

覆盖层的厚度也是场地的速度结构的一个方面。为了考察覆盖层厚度对局部放大的影响，保持基本算例其他参数不变，仅变动表1中弹性层的层厚，取3、5、7和9 m四个值，分别计算地表竖向振动幅值随距离的变化，结果如图5所示。从图中可见，覆盖层3 m厚的结果中10m和17m两个局部放大区很明显；随着覆盖层厚度增大，局部放大区逐渐靠近振源，覆盖层5 m厚的结果中局部放大的峰值在12.5 m处，覆盖层9m厚的在8 m处；局部放大的强度以覆盖层5 m厚的为最大，进一步增大厚度，局部放大趋向减弱，厚度9 m以上就不明显了。

图4 用7种模量比的模型计算的竖向位移衰减Fig.4 Attenuation of vertical ground displacement from modelswith 7 modulus ratios

图5 四种覆盖层厚度对竖向位移衰减的影响Fig.5 Attenuation of vertical ground displacement from modelswith 4 thickness of overburden layer

从波传播的角度分析，激励的波向各个方向散射，在埋藏的速度界面处产生透射、反射和折射。三者的能量取决于入射到界面的角度和界面两侧的波速比。弹性半空间的波速大于覆盖层波速，入射角大到一定程度（称为临界角）会使折射角增大到90°，波的能量沿界面“滑行”，不能透射进入半空间；滑行波以半空间的波速传播，产生进入覆盖层的“折射波”，如图6所示。当折射上来的波（传播途径长，但有一段传播的速度快）与沿地表传播过来的表面波（传播路径短，但表面波的速度低于覆盖层剪切波的）同时达到时，波的叠加就会形成局部放大。

图6 全反射时反射波、滑行波及折射波路径图Fig.6 Wave path chart of reflected wave，slide wave and refraction wave when total reflections occur

上述临界角可按斯奈尔定律计算，在本文基本算例中，

即相应的临界角θc＝34.65°。覆盖层厚度取7 m，可计算得到可能的一个局部放大区在9.7 m处，与图3中所示距离10 m左右的局部放大区范围大体相符合。据常用的表面波的波速取为剪切波速的0.8倍，计算得到直达的表面波与半空间表面折射波同时到达地表的点距振源中心16.9 m，与图3中所示距离17 m左右的第二个局部放大区范围吻合。

本文结果与上述简单的波传播分析相一致，对轨道交通环境振动衰减的局部放大形成合理的解释，亦从一个侧面验证了本文采用的频率－波数域的动力格林函数方法计算轨道交通环境振动的可靠性。

3.3 激励频率的影响

为了考察激励频率对局部放大的影响，保持基本算例其他参数不变，仅变动简谐荷载频率，取16 Hz、48 Hz、56 Hz、64 Hz、72 Hz、80 Hz及108 Hz等7个值，分别计算地表竖向振动幅值随距离的变化，结果如图7所示。

从图7中可以看出，48 Hz激励下局部放大最显著，随着激励频率的增加，局部放大逐渐减弱，达到108 Hz时，放大就不明显了。与此对应，激励频率低到16 Hz时，也没有局部放大了。本算例覆盖层的剪切波波速相当于263.36 m／s，对应的表面波波速为210.69 m／s，与48 Hz频率对应的剪切波和表面波的波长应分别为5.49 m、4.39 m，可粗略估算在距离9.7 m处直达表面波约有2.2个波长、折射波3.1个波长，大体是波峰叠加的位置。据频率与波长的关系可知，激励16 Hz对应的则是0.73和1.03个波长，使波峰相差更大，其他频率的激励亦有类似的组合。

?图7 7种不同激励频率对竖向位移衰减的影响Fig.7 Attenuation of vertical ground displacement from excitationswith 7 frequencies

3.4 覆盖土层阻尼比的影响

为了考察覆盖土层阻尼比对局部放大的影响，保持基本算例其他参数不变，仅变动覆盖层的阻尼比，取0.025和0.1两个不同的值，分别计算地表竖向振动幅值随距离的变化，结果如图8所示。为了比较，图中也表示了基本算例中覆盖层阻尼比为0.05的结果。

图8 3种覆盖层阻尼比对竖向位移衰减的影响Fig.8 Attenuations of vertical ground displacement from 3 damping ratios of the overburden layer

从图8可以看出，覆盖层阻尼比变化对局部放大区形成影响较大，阻尼小，局部放大强烈；随着覆盖层阻尼比增大，局部放大渐弱，表明覆盖层的耗能可以折减一部分局部放大。

4 结 论

城市轨道交通的环境振动衰减中的局部放大区是由表面波传播过程中与埋藏基岩顶面的反射波、折射波叠加形成的。本文采用频率－波数域的动力格林函数法计算地表激励下单一覆盖层－半空间表面的竖向位移，是可以表达振动衰减的局部放大的。结果表明，局部放大的条件受埋藏的主要速度界面控制，局部放大区的位置和放大的强度与单一覆盖层和弹性半空间介质的模量比（波阻抗比）、覆盖层厚度、激励的频率及覆盖土层的阻尼比等因素有关。一般来说，速度界面的波阻抗越大，局部放大越强烈；给定其他条件，使直达的表面波与半空间表面折射波越接近同时到达的覆盖层厚度使局部放大越为明显，使两者波峰越靠近的激励频率会引起更为明显的局部放大；覆盖层阻尼比越小，局部放大越强烈。

［1］Sheng X，Jones C JC，PetytM.Ground vibration generated by a load moving along a railway track［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，228（1）：129－156.

［2］王逢朝，夏 禾，吴 萱.列车振动对环境及建筑物的影响分析［J］.北方交通大学学报，1999，23（4）：13－17.

WANG Feng-chao，XIA He，WU Xuan.Vivration effects of trains on surrounding environments and buildings［J］.Journal of Northern Jiaotong University，1999，23（4）：13－17.

［3］Fujikake T.A predictionmethod for the propagation of ground vibration from railway trains［J］.Journal of Sound and Vibration，1986，111（2）：289－297.

［4］陈建国，夏 禾，姚锦宝.高架轨道交通列车对周围环境振动影响的试验研究［J］.振动与冲击，2011，30（2）：159－163.

CHEN Jian-guo，XIA He，YAO Jin-bao.Test for environment vibration induced by trains on vioduct［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（2）：159－163.

［5］Sheng X，Jones C JC，PetytM.Ground vibration generated by a harmonic load acting on a railway track［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，225（1）：3－28.

［6］Jones D V，Houedec D L，PetytM.Ground vibrations due to a rectangular harmonic load［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，212（1）：61－67.

［7］廖振鹏.工程波动理论导论（第二版）［M］.北京：科学出版社，2002.

Mechanism of local amplification in attenuation of ground vibration induced by rail traffic

ZHENG Xin1，2，TAO Xia-xin1，WANG Fu-tong1，3，XIE Li-li1
（1.Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration，Harbin 150080，China；2.School of Engineering，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319，China；3.School of Civil Engineering and Architecture，Heilongjiang University，Harbin 150001，China）

In order to investigate the forming mechanism of local amplification in rail traffic-induced ground vibration attenuation，the ground was simplified to be a single soil layer covering on an elastic half-space.Dynamic Green's function of vertical ground displacement of a three-dimensional layered site model was derived in frequency domain.The effects ofmany fators including seven modulus ratios of half space to covering layer，four thicknesses of convering layer，seven exciting frequencies，and three damping ratios of convering layer on local amplification were analyzed.The results showed that local amplification is controlled by an important buried velocity interface，its location and intensity of amplification depend on ratio of elastic moduli of medias in the both sides of the interface，i.e.，impedance ratio，thickness of covering layer，exciting frequency and damping ratio of covering；in general，the larger the impedance of the interface，the stronger the local amplification；giving the other conditions，the closer the directly arriving time of surface wave and the arriving time of refraction wave from the interface which are governed by covering layer thickness，the more obvious the local amplification；the closer the peaks of waves which are governed by exciting frequency，themore obvious the local amplification；the smaller the damping ratio of covering layer，the stronger the local amplification.

rail traffic；environment vibration；attenuation；local amplification；transfermatrixmethod

TB53

A

黑龙江省教育厅科学技术研究面上项目（12531441）；黑龙江省自然科学基金面上项目（E201330）

2013－07－16 修改稿收到日期：2013－09－10

郑 鑫男，博士，副教授，1974年4月生