基于ARMA模型和时空K riging插值联合模拟大跨结构的脉动风速时程

周彬彬，蔡建国，冯 健

（东南大学土木工程学院，南京 210096）

基于ARMA模型和时空K riging插值联合模拟大跨结构的脉动风速时程

周彬彬，蔡建国，冯 健

（东南大学土木工程学院，南京 210096）

采用ARMA模型模拟具有时间和空间相关性的大跨结构的随机风速时程。并对Whittle递推算法进行了改进，求解出自回归系数和滑动回归系数矩阵。利用MATLAB软件编制了模拟大跨桥梁的风速时程模拟程序，运行结果表明：改进的方法计算效率高，模拟精度符合要求。然后又利用时空Kriging插值法对控制点区域内节点的脉动风速时程进行模拟，其模拟精度较好且求解过程快，可用于大跨空间结构、超高层建筑等含有大量节点的结构风场模拟。

数值模拟；脉动风速时程；ARMA模型；Whittle递推算法；时空Kriging插值

随着计算机科学技术的发展，随机风场的数值模拟技术得到了很大的提高。模拟脉动风速时程主要有谐波合成法和基于线性滤波技术的线性滤波器法（自回归线性滤波器AR法和自回归滑动平均线性滤波器ARMA法）两大类。其中ARMA法能够在保证模拟精度的前提下，高效地模拟出具有时间和空间相关性的随机风速时程［1］。而时空Kriging插值法是一种近年来才发展起来的基于随机变量在空间和时间上的相关结构而建立起来的统计方法［2］，它以建立有效的时空协方差（变异）函数为前提，根据变量的时空自相关性对待估点进行插值［3］。

本文在ARMA模型用于模拟多变量稳态随机过程的基础上进一步简化求解算法并和时空Kriging插值法联合用于对大跨结构的脉动风速时程进行模拟。随后利用MATLAB软件编制风速模拟程序，运行效果表明该联合方法在保证精度的前提下，能显著地提高大跨结构风速时程的模拟效率。

1 风的基本特性

近地风一般包含平均风和脉动风两部分。平均风在给定的时间间隔内风力大小、方向等不随时间而改变，而脉动风则随时间和空间随机地变化，在数学上属于随机过程范畴，工程中常常作为具有零均值的各态历经的高斯随机过程来处理。风场模拟主要是针对脉动风而言［4］。作用于结构上任一点的风速V（x，y，z，t），可以表达为平均风速和脉动风速v（x，y，z，t）之和，即：

2 ARMA模型解法

常规算法中，使用如Gauss消元法、Gauss-Seidel迭代法对线性方程组（18）进行求解，得到Φi，Ψj后，代入式（5）即可进行风速模拟。但对于大跨桥梁、大跨空间结构、超高层建筑这样含有大量节点的结构求解过程是繁琐的，精度也很难控制。本文使用Whittle递推算法用于求解自回归系数Φi［7］进而推导出了滑动回归系数Ψj。算法如下：

式中：Φi，j为p阶AR模型在阶次为i时的第j个系数，为m×m阶矩阵，i，j＝1，2，…p利用得到的自回归系数Φi，推出滑动回归系数Ψj：

至此，ARMA模型的所有系数矩阵均已求出。

3 时空K riging插值

3.1 时空协方差函数

设U（s，t）∈Rk×T是定义在时空域的随机过程，其中Rk代表k维的欧氏空间，T代表时间，同时定义（si，ti）为时空场中任意样本点的位置，Δs为样本点间的空间距离，Δt为时间距离。当U（s，t）满足二阶平稳

或固有假设时，其协方差函数记为［8］：

对应的变异函数记为：

式中σ2为U（s，t）的方差。

本文采用积和模型来拟合风速的时空变异结构如下：

式中：Cst为时空协方差；Cs为空间协方差；Ct为时间协方差；γst，γs，γt分别为对应变异函数；Cst（0，0），Cs（0），Ct（0）分别是对应的基台值［2］。

由变异函数性质得：

实验中往往采用式（26）计算样本变异函数：

式中：U（si，ti）为样本观测值；N（Δs，Δt）为相距（Δs，Δt）的样本对数［9］。

当Δt＝0时，式（27）为纯空间域的样本变异函数估计值：

当Δs＝0时，式（28）为纯空间域的样本变异函数估计值：

3.2 K riging插值

Kriging插值是一种线性的无偏估计方法，要求估计误差的方差最小［10］。本文采用普通Kriging进行时空扩展，即：

U*（s0，t0）为时空点处（s0，t0）的估计值，λi为邻近观测值的加权系数［2］。引入拉格朗日系数μ可得参数λi的计算式为：

将时空Kriging插值与ARMA模型联合运用于大跨桥梁、大跨空间结构、超高层建筑的风速时程的模拟，即先使用ARMA模型对少量的结构控制节点处进行风速时程模拟，再利用时空Kriging插值对控制节点处临近的节点进行风速时程的模拟。

4 工程算例

某桥为主跨跨径达1 428 m的三跨连续钢箱梁悬索桥。本文对桥主梁处（图1）的脉动风速时程进行模拟。数值模拟中采用Kaimal风速谱，10 m处平均风速为31.2m／s，地面粗糙度α＝0.142；模拟计算步长Nc＝10 000，步长Δt＝0.5 s，模拟时程为T0＝5 000 s，频率取值范围为0～2 Hz。桥面纵向相邻位置等间距50m，共模拟29个点。选取部分节点的风速模拟曲线见图2及模拟谱与目标谱的对比见图3。可以看出模拟谱与目标谱吻合度高，模拟效果较好，计算耗时为0.2 s。本文又采用传统的Gauss消元法进行计算对比，其耗时约为0.47 s。使用改进的算法要比传统算法效率提高57%。

图1 主梁风速模拟点位示意（单位：cm）Fig.1 Positions for simulated points of wind speed on main girders（unit：cm）

图2 14、15、16节点风速时程Fig.2 Simulated wind speed time-history series at points 14，15，16

图3 14、15、16节点模拟风速谱与目标谱对比Fig.3 Comparison between target power spectrum and simulated power spectrum at points 14，15，16

利用已求解出控制点的风速时程数据，运用式（27）拟合出的空间变异函数表达式为式（31），运用式（28）拟合出的时间变异函数，表达式为（32）：

γs（Δs）＝30.85＋

求出k1，k2，k3值后将式（31）和式（32）代入式（24）得时空变异模型如图5。由求出的时空变异函数，根据测点14、16处与测点15处的时空关系，利用测点14、16处的风速时程，对测点15处的风速进行时空Kriging插值，将所得的结果与已模拟的风速时程及功率谱进行对比如图6和图7。从结果来看，时空Kriging插值的结果与已模拟的结果重合度较高，且整个插值过程耗时少。

图4 空间和时间的变异函数Fig.4 Spatial variogram and temporal variogram

图5 时空变异函数模型Fig.5 Spatial-temporal variogram model

图6 15节点插值风速与模拟风速对比Fig.6 Comparison between interpolated wind speed time-history and simulated wind speed time-history at point 15

图7 15节点插值风速谱与模拟风速谱对比Fig.7 Comparison between interpolated power spectrum and simulated power spectrum at point15

5 结 论

本文推导出自回归（AR）阶数p大于滑动回归（MA）阶数q时，ARMA模型用于模拟大跨结构风速时程的公式。并针对求解矩阵的特点，对其解法进行了简化。采用改进后的Whittle递推算法使得ARMA模型模拟大跨结构风速时程的效率得到进一步提高，模拟精度也符合工程技术的要求。然后又将基于随机变量在空间和时间上的相关结构而建立起来的时空Kriging插值法用于结构控制点临近区域的风速时程的模拟。模拟过程快速，精度满足工程要求，可将此联合方法推广至复杂的大跨空间结构、超高层建筑等含有大量节点结构的风速时程的模拟。

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Simulation of fluctuating w ind speed time-history series for large-span structures based on ARMA model and spatial-tem poral K riging interpolation

ZHOU Bin-bin，CAIJian-guo，FENG Jian
（College of Civil Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China）

ARMA model was employed to simulate fluctuating wind speed time-history series for large-span structures with time and space correlativity.Whittle iteration method was improved to derive matrices of auto-regressive and moving-regressive coefficients.The corresponding computational program was developed with MATLAB software.Numerical examples indicated that these two methods are efficient and speedy.In addition，the spatial-temporal Kriging interpolation method was also proposed to simulate the fluctuating wind speed time-history series of unknown pointes near the simulated points based on ARMA model.Simulation results showed that the approach is swift and accurate and available to simulate fluctuating wind speed time-history series for complex long-span space structures and high-rise buildings containing plenty of joints.

numerical simulation；fluctuating wind speed time-history series；ARMA model；Whittle iteration；spatial-temporal Kriging interpolation

TU311

A

2013－01－10 修改稿收到日期：2013－03－13

周彬彬男，博士生，1986年6月生

冯 健男，教授，1963年10月生