主动结构动力学特征与频响特性研究

刘海标，宋汉文

（同济大学航空航天与力学学院，上海 200092）

主动结构动力学特征与频响特性研究

刘海标，宋汉文

（同济大学航空航天与力学学院，上海 200092）

对主动结构动力学特征进行理论分析，从不同角度对其分类、讨论代表性范例。分析主动结构与非自伴随结构之关系。探讨其频域特性、阐述其与被动结构频响函数之关系。通过数值算例揭示主、被动结构频响函数间差异，展示仿真系统左右特征向量。通过实验及数据处理，获得由自由－自由梁构造的主动结构频响函数，验证主动结构的频域特性。

主动结构；分类；频率响应函数；左特征向量

1 主动结构基本概念

经典结构动力学主动（自动）控制领域研究已臻于成熟，并获得广泛应用及成果。以往主动控制研究目的大多基于减振降噪、使响应过程快速衰减或增加系统稳定性意义下最优控制律的构造与实现。而对含控制结构，尤其对含未知控制律的结构动力学特性研究尚少。在流固耦合、摩擦、转子动力学、气动弹性及伺服控制等多环境载荷激励下涉及自激颤振研究中，其数学、力学模型与主动控制完全一致，但控制律非人工主动构建、未知。基于此本文提出环境控制及主动结构概念。本文将承受闭环控制载荷结构称主动结构；仅承受开环载荷结构称被动结构。在被动结构中系统动力学响应只依赖于初始条件及外界激励，而通常外加系统激振力与系统运动无关。而在主动控制与自激振动系统中，激振力为系统动力学（位移、速度、加速度及应力应变等）的函数。

本文用三引例解释主动结构定义及闭环控制荷载的内在机理。作用于桥梁主梁二维线状节段构件的气动力［1］可表达为

式中：［M］，［C］，［K］分别为质量、阻尼及刚度矩阵；｛x｝为位移矢量；｛fb（t）｝，｛fse（t）｝分别为抖振力及自激气动力。

自激力体现风与结构的相互作用，进一步分解为与速度、位移相关部分，即

式中：［Cse］，［Kse］为气动阻尼、气动刚度。

对转子动力学中转子－密封系统［2］有

考察切削机床［3］，其结构可简化为单自由度系统，设V为刀具切削速度，Fc为主切削力，为速度V的函数。实际瞬时切削速度V＝V0＋x·，系统运动方程为

因方程右端载荷项表达式与左端一致，移项可得本文主动结构动力学方程，即式（2）、（5）、（7）、（8）。

旋转轴不稳定运动、涡轮叶片颤振、液流所致管道振动、汽车转向轮摆振及空气动力所致桥振动以及流固耦合振动结构、非保守力作用结构等均为典型的自激振动，均可视为主动结构。Preumont［4］认为主动结构主要以智能材料在振动控制中应用为主。张景绘等［5］进行主动结构的理论及实验研究。Mirzaeifar等［6］为计算含不同特征值的主动结构特征值及特征向量导数提出新方法。欧阳华江［7］对刚度矩阵非对称的主动结构特征根问题进行研究。Wyckaert等［8］讨论分析振动声学中非对称模型方程与模态分析满足的互易律之关联，并验证模型的有效性。Adhikari［9］将经典模态分析进行扩展，使之适用于非对称非保守系统。将非保守系统左右特征向量用与之对应的保守系统左右特征向量线性组合表示，将伽辽金最小误差方法与纽曼展开法结合，计算线性组合的复常量系数。Ouisse等［10］提出使复模态适应于非自伴随系统方法，并用于辨识振动方程系数矩阵。

实际工程中造成主动结构情况有两种，即若闭环控制人为施加，如各种振动控制［11－12］，称为“主动控制”；若闭环载荷由工程因素引起，如桥梁风振［1，13－14］或机翼颤振［15］（Flutter）、机床切削颤振（Chatter）［3］、航天器POGO振动［16］等各类自激振动，本文称为“环境控制”。本文目的为研究基于非特定目的的主动控制行为，通过控制前后结构动力学特性差异比较、跟踪归纳，辨识来自环境控制的未知控制律。为自激振动的形成机理、参数辨识及其它原因导致的不明控制律破译等研究提供支持。

在所有主动结构中线性主动结构为最简单的理想系统。考察多自由度系统

由式（10b）知，施加于任意自由度的闭环控制力均可表达为所有测点位移、速度及加速度响应的线性组合。将独立作动器连接到被控制测点，按设计要求将所得位移、速度、加速度响应进行线性组合，获得激振力，即可实现该系统。将式（10a）代入式（9）得

2 主动结构分类

2.1 按反馈响应信号分类

作用于结构的反馈信号为位移、速度、加速度信号。位移反馈改变原系统刚度矩阵，速度、加速度反馈分别改变原系统的阻尼、质量矩阵，不同反馈信号对应不同控制效果。

2.2 按控制点、反馈点几何位置分类

对主动结构而言，控制点、反馈点一致时称同位主动结构；反之则称非同位主动结构。对同一被动结构，保持控制增益性质及大小不变，控制位置与测量位置互换后组成的主动结构与原主动结构称互为伴随主动结构。

2.3 按增益矩阵对称性分类

主、被动结构的重要区别在于振动方程中［M］，［C］，［K］矩阵是否保持对称性及正定特性。由第二种分类方法看出，同位主动结构不会改变［M］，［C］，［K］矩阵的对称性，而非同位主动结构则会改变。因此，可由［M］，［C］，［K］矩阵是否保持对称性角度将主动结构分为两类，即①自伴随（self-adjoint）主动结构，其［M］，［C］，［K］保持对称性；②非自伴随（non-selfadjoint）主动结构，其［M］，［C］，［K］对称性被破坏。

2.4 典型主动结构

本文以位移反馈控制为例，列举典型主动结构，通过公式进一步明确分类的区别及联系。

2．4．1 p点测量p点控制的原点控制模式

该控制等效于在原系统将p点质量及地面间增加刚度为Spp的弹簧。若弹簧为物理可实现的，则该控制等同于结构修改。若附加参数与原参数叠加后仍要求为负弹簧、负阻尼、负质量时即为物理不可实现。在结构动力学建模中不存在［M］，［C］，［K］矩阵主对角线元素为负的情形，即不能等同于结构修改。

2．4．2 p点测量r点控制的跨点控制模式

考察测量点与控制点互换的对偶情形，从r点拾取位移信号作用于p点，即r点测量p点控制的跨点控制模式。

式（13）、（14）均为非同位主动结构。由分析知，同位主动结构不会改变［M］，［C］，［K］矩阵的对称性，而非同位主动结构则会改变。式（13）、（14）的反馈增益相同时Spr＝Srp，即为互为伴随主动结构。

第2种模式下若刻意保持对称性需进行组合控制。将式（13）、（14）的控制进行组合同时实现，即

式（13）、（14）的控制相互独立，则可构造Spr＝Srp，此时式（13）的控制点为式（14）的反馈点，而式（14）的控制点为式（13）的反馈点，且反馈作用大小相同。非同位主动控制也会使振动方程的［M］，［C］，［K］矩阵保持原对称性。

控制作动器工作端均直接施加于受控点，另端（支撑端）为绝对地面，无法退化为结构优化。此时常需将作动器两端均连接于结构面，如桁架结构将某根杆件换成可控伸缩的作动杆。设作动杆一端为p，另一端为r，形成主动二力杆，该其受控制后通过变形产生轴力施加于p，r两点。设反馈源信号仍为位移响应，分别考察反馈源为两端点xp（t），xr（t）及任意测点xk（t）情形（p≠r≠k）。

2．4．3 二力杆控制

二力杆无论受何种反馈因素控制其两端支反力均等值反向。即fp（t）＝－fr（t），设此时系统反馈信号由xp（t）提供，则有

设Srp＝－Spp＝s1，－Srp＝Srr＝s2，代入式（18），当且仅当s2＝－s1＝s时，式（18）可进一步化为

此时，作为作动器的主动二力杆退化为一个弹簧（等价于结构优化）。恢复力大小可由弹簧刚度及变形量s（xr（t）－xp（t））求得。

2．4．4 k点测量p点控制

无论受何种反馈因素控制，二力杆两端p，r两点支反力均为等值反向。即fr（t）＝－fp（t），此时系统反馈信号由xk（t）提供，则有

以上述控制均为单点反馈情形。对多点反馈，多点控制为基本情况线性组合，不再赘述。

由分析知，①系统矩阵按对称性破缺程度分为“可对角化”与“不可对角化”两类，分别与单位矩阵及若当（Jordan）块相似［17］。随破缺程度增长，区分二者边界即为自激颤振稳定性丧失的临界点，工程上对应风速、转速或切削用量的临界数值。一旦越过此点，系统动力学响应将发散，即对称性破缺增长与系统稳定性丧失程度正相关；②同位主动结构只改变原被动结构系数矩阵的主对角元素，不改变其对称性，但可能改变矩阵的正定特性；③将伴随主动控制律进行对偶叠加及改变系数矩阵的非对角元素，且改变量相同，不会改变系数矩阵对称性。而实际工程中，刻意保持对称性通常不能实现。

3 主动结构频域特征

主动结构系数矩阵不再对称，且需判定系统稳定性。主动结构系数矩阵非对称性会破坏其频响函数矩阵对称性，使主动结构左右特征向量产生差异。在主动结构实验模态分析与参数辨识领域，本文限于结构稳定区域内进行研究。

多自由度离散系统的主动结构中，构成控制律模型要素包括：为作动器提供反馈信号的参考点位置与数量、作动器施加激励点位置与数量、描述每个作动器输入输出关系的微分方程或传递函数模型及参数。时域方程（9）在r点测量p点控制情况下，主动结构的频域方程为

将上式中m，n互换，可知主动结构频响函数矩阵的对称性已被破坏。令式（26）中m＝r，n＝p，式（31）可化为

4 数值算例与实验

4.1 主动结构数值仿真

构建弹簧－质量－阻尼系统剪图1。

系统质量、阻尼、刚度矩阵分别为

图1 六自由度弹簧－质量－阻尼系统Fig．1 Six degrees of freedom spring-mass-damper system

构造控制律：由m5拾取位移信号，施加于m2，反馈增益为－60 000，形成主动结构。对一般粘性阻尼系统，其特征值、特征向量均为复数形式。仿真中被、主动结构频响H1－6与~H1－6的频响幅值见图2。主动结构的频响函数矩阵对称位置频响~H2－5，~H5－2见图3。

图2 被动、主动结构频响Fig．2 Frequency response function of passive and active structures

图3 主动结构频响Fig．3 Frequency response function of active structures

被动结构的左、右特征向量全等，表示结构振型。主动结构中左右特征向量具有明显差异，见图4。由图4看出，第一、二阶左、右特征向量差异明显，高阶特征向量较相似，但并未完全重合。

图4 主动结构左右特征向量Fig．4 The left and right eigenvectors of active structure

4.2 主动结构实验频响

设计长宽高为1 200 mm，40 mm，14 mm自由－自由梁，见图5。

图5 实验装置Fig．5 Experimental set-up

通过对梁1～13点进行锤击激励，获得被动结构的频响函数矩阵。在第12点（r点）拾取加速度响应信号，不经A／D、D／A转换而经电荷放大器后直接通过功率放大器驱动作动器，调节增益系数。使系统保持稳定前提下施加于第5点（p点），保持增益不变组成闭环回路，构建p点控制r点反馈的主动结构。用锤击法作为开环激励。实验示意图见6图。

图6 实验示意图Fig．6 Experimental schematic diagram

依次对含反馈控制回路的主动结构1～13点进行锤击激励，获得主动结构频响函数矩阵。主动结构与原被动结构对比见图7，主动结构对称位置频响函数对比见图8。

图7 主被动梁频响Fig．7 Frequency response functions of passive and active beam

由二图看出，所有共振峰中1 500 Hz右侧主被动结构的共振峰区别明显，被动结构共振频率为1549 Hz，主动结构共振频率为1 527 Hz。图8中主动结构频响函数H06－11及H11－06在266 Hz处分别为29．26 dB、26．96 dB，在649 Hz处分别为17．08 dB、9．16 dB，在909 Hz处分别为31．14 dB、33．68 dB，在1530 Hz处分别为19．59 dB、23．93 dB。可见一般情况下，主动结构频响并不满足Maxwell互易律，且对称性被破坏。

图8 主动梁频响Fig．8 Frequency response functions of active beam

5 结 论

（1）本文由主动结构动力学特征与差异角度进行分析，由反馈信号、控制点与反馈点位置关系及振动方程系数矩阵对称性三方面对主动结构分类。并进一步分析三种分类间区别与联系。

（2）通过对主动结构频响函数频域特性分析获得主动结构与被动结构频响函数间关系。由仿真的频响函数中提取主动结构左右特征向量并对比其存在差异。利用由铁梁构造的主动结构，明晰主被动结构的频响区别。

（3）要求主动结构保持系数矩阵的对称性，一般工程结构中较难实现。在环境控制的自激颤振问题中，恰因对称性破缺程度增长导致系统失稳与响应发散。

［1］Zhang X X，Chen L F，Song H W．Self-contained eigenvector algorithm applied to the identification of aerodynamic derivatives of bridgemodel［J］．Science China-Technological Sciences，2011，54（5）：1134－1140．

［2］陈予恕，丁千，侯书军．非线性转子－密封系统的稳定性和Hopf分叉［J］．振动工程学报，1997，10（3）：368－374．

CHEN Yu-shu，DING Qian，HOU Shu-jun．A study on the stability and Hopf bifurcation of nonlinear rotor-seal system［J］．Journal of Vibration Engineering，1997，10（3）：368－374．

［3］师汉民．金属切削理论及其应用新探［M］．武汉：华中科技大学出版社，2003．

［4］Preumont A．Vibration control of active structures［M］．Dordrecht，the Netherland：Kluwer Academic Publishers，1997．

［5］张景绘，龚靖，王永刚．线性主动结构及模态［J］．应用数学和力学，2004，25（8）：771－786．

ZHANG Jing-hui，GONG Jing，WANG Yong-gang．Linear active structures and modes［J］．Applied Mathematics and Mechanics，2004，25（8）：771－786．［6］Mirzaeifar R，Bahai H，Shahab S．A new method for finding the first-and second-order eigenderivatives of asymmetric nonconservative systemswith application to an FGMplate actively controlled by piezoelectric sensor／actuators［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2008，75（12）：1492－1510．

［7］Ouyang H．Prediction and assignment of latent roots of damped asymmetric systems by structural modifications［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（6）：1920－1930．

［8］Wyckaert K，Augusztinovicz F，Sas P．Vibro-acoustical modal analysis：Reciprocity，model symmetry，and model validity［J］．Journal of the Acoustical Society of America，1996，100（5）：3172－3181．

［9］Adhikari S．Modal analysis of linear asymmetric nonconservative systems［J］．Journal of Engineering Mechanics，1999，125（12）：1372－1379．

［10］Morvan O，Emmanuel F．On the properness condition for modal analysis of non-symmetric second-order systems［J］．Mechanical System and Signal Processing，2009，25（2）：601－620．

［11］Serrand M，Elliott S J．Multichannel feedback control for the isolation of base-excited vibration［J］．Journal of Sound and Vibration，2000，234（4）：681－704．

［12］Zarfam R，Khaloo A R．Vibration control of beams on elastic foundation under a moving vehicle and random lateral excitations［J］．Journal of Sound and Vibration，2012，331（6）：1217－1232．

［13］顾明，陆海峰．膜结构风荷载和风致响应研究进展［J］．振动与冲击，2006，25（3）：25－28．

GU Ming，LU Hai-feng．Wind loads and wind-induced vibration of membrane structures：state of the art［J］．Journal of Vibration and Shock，2006，25（3）：25－28．

［14］Gu M，Du X Q．Experimental investigation of rain-windinduced vibration of cables in cable-stayed bridges and its mitigation［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2005，93（1）：79－95．

［15］Baxevanou C A，Chaviaropoulos P K，Voutsinas SG，et al．Evaluation study of a navier-stokes CFD aeroelastic model of wind turbine airfoils in classical futter［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2008，96（8／9）：1425－1443．

［16］Zhao Z H，Ren G X，Yu ZW．Parameter study on POGO stability of liquid rockets［J］．Journal of Spacecraft and Rockets，2011，48（3）：537－541．

［17］Huseyin K，著．张文，译．多参数系统的振动和稳定性［M］．上海：上海科技文献出版社，1985．

［18］Golub G H，Van Loan C F．Matrix computations［M］．Johns Hopkins University Press，Baltimore，MD，1983．

Dynam ic characteristics and frequency response features of active structures

LIU Hai-biao，SONG Han-wen
（School of aerospace engineering and app lied mechanics，Tongji University，Shanghai200092，China）

Active structures can be found in several engineering fields，including active control and a variety of self-excited chatter．The dynamic characteristics of active structure were analyzed．Active structures were classified from different perspectives and discussed in the light of several typical examples．Thus，active structure and non-self-adjoint structure were distinguished．Besides，the frequency response features of active structures were studied and the relationship between frequency response functions of active structure and its corresponding passive structure was elaborated．With the help of a simulation system，the differences between frequency response functions of active and passive structure were revealed and the left and right eigenvectors of active structure were exhibited．Through experiments and data processing，the frequency response functions of the active structure constructed by a free-free beam were obtained and the frequency response characteristics were verified experimentally．

active structure；classification；frequency response functions；left eigenvectors

O327；TB123

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．022

国家自然科学基金重点项目（11322009）；面上项目（11272235）

2013－09－03 修改稿收到日期：2013－11－21

刘海标男，硕士，1989年生

宋汉文男，博士，教授，博士生导师，1961年生