单斗液压挖掘机反铲装置动力学模型的建立

银光球，林述温，张 宁

（1.福州大学 机械工程及自动化学院，福建 福州 350108；2.福建工程学院 机械与汽车工程学院，福建 福州 350108）

单斗反铲液压挖掘机主要是以一个铲斗进行挖掘作业的工程机械，它由反铲装置、上部转台和行走装置三大部分组成.其中反铲装置的受力十分复杂，其动力学模型属于多体系统动力学研究范畴，包括动力学正解和逆解的计算，它可为机构的优化设计及控制提供理论依据［1－3］.典型的动力学研究方法主要有Lagrange法、Newton－Euler法、Kane法以及变分法等.其中基于虚功原理的Lagrange法是以系统的动能和势能建立的，其推导过程比较简便，并且总能得到形式较为简洁的动力学方程，既能用于系统动力学模拟，又能用于动力学控制，而且还能清楚地表示出各构件的耦合特性.白志富等［4］利用Lagrange法讨论了一种3－HSS并联机构在工作空间内的动力学方程，得出了其显式解，并结合实例对各滑块的驱动力进行了计算机仿真.陈纯等［5］采用Lagrange方法建立了VC80混联机床两自由度并联机构封闭形式的逆动力学模型.高征等［6］采用Lagrange法对一种三自由度串并联旋转台进行了动力学分析，建立了系统的动力学模型，并给出了动力学的仿真运算实例.

在不考虑回转自由度的情况下，挖掘机反铲装置是一个三自由度的并联机构，可以实现各种复杂的挖掘动作.孙旭国等［7］采用Newton－Euler法建立了挖掘机工作装置的动力学模型，并结合实例对模型进行了验证；FOX等［8］也采用Newton－Euler法建立了挖掘机系统动力学模型.但是采用Newton－Euler法建立多体系统动力学模型，需要对系统中的每个杆件进行运动和受力分析，分别建立Newton－Euler动力学方程，然后再综合求解，得到系统的运动微分方程，整个过程繁琐复杂，极易出错.本文采用基于虚功原理的Lagrange法建立了挖掘机反铲装置的多刚体动力学模型，可以避免繁琐的运动和受力分析过程.同时，为了验证模型的正确性，将动力学模型的求解结果与ADAMS软件给出的相同参数反铲装置的动力学仿真结果进行对比.

1 挖掘机反铲装置的动力学模型

1.1 反铲装置的动力学拉格朗日方程

挖掘机反铲装置由动臂机构、斗杆机构和铲斗机构组成，如图1所示.为使问题分析简化，去掉动臂液压缸、斗杆液压缸和铲斗液压缸，代之以随时间变化的净驱动力矩Ti（i＝1，2，3，…），忽略动臂、斗杆和铲斗的具体形状，用简单的线条表示，将各自的等效质量mi放置在各自的质心位置，则反铲装置可以简化为图2所示的多杆动力学模型.

图1 挖掘机反铲装置Fig.1 Excavator backhoe device

图2中，mi为各构件的等效质量；θi为各关节的初始角度；li为各构件质心到相应关节点的长度；βi为各构件的质心到相应连杆的角度；Ti为施加在各关节的驱动力矩；g为重力加速度.ai为各连杆的长度.

图2 反铲装置动力学原型Fig.2 Dynamics model of backhoe device

根据图2所示的动力学模型，挖掘机反铲装置的拉格朗日函数定义为

式中：L为拉格朗日函数为关节变量的角位移；为关节变量的角速度；为反铲装置所有构件的总动能；P（Θ）为反铲装置所有构件的总势能.

则反铲装置的拉格朗日方程为

式中：t为时间.

1.2 计算反铲装置的总动能、总势能和净力矩

K是反铲装置所有构件的总动能，可表示为构件的平动动能和转动动能之和.

式中：vc为构件的质心速度列阵，vc＝为各构件的质心速度；M为构件的质量矩阵，为构件的角速度列阵为各构件的角速度；I为构件的主惯性矩阵，I＝diag为各构件的主惯性矩.

P是反铲装置所有组件的总势能，可表示为

式中：m为构件的质量列阵，m＝为构件质心高度列阵，Hc＝为各构件质心的高度.

T为作用在关节上的净力矩列阵，T＝可表示为

式中：Tg为各油缸对相应关节点产生的驱动力矩为动臂油缸对关节点C的力矩；Tg2为斗杆油缸对关节点F的力矩；Tg3为铲斗油缸对关节点Q的力矩；TL为外部负载在各关节点产生的等效阻力矩列阵，TL＝为负载对关节点C的等效阻力矩；TL2为负载对关节点F的等效阻力矩；TL3为负载对关节点Q的等效阻力矩.

1.3 反铲装置的动力学模型

将式（1）代入式（2），经推导得到挖掘机反铲装置的动力学模型：

式中：K（是K（Θ）的简写）为总动能；P（是P（Θ）的简写）为总势能；为关节变量的角加速度.

将式（7）展开得到：

式（8）为挖掘机反铲装置的动力学模型，是关于关节变量Θ的二阶微分方程.

2 动力学模型的求解及实例验证

对于式（8）这个二阶微分方程组的解法可参考文献［9］，本文利用四阶龙格－库塔法进行积分运算求解.求解式（8）的初始条件见表1.表中为各关节的初始角速度，Iizz为各构件的转动惯量.

为了验证本动力学模型的正确性，用ADAMS建立了挖掘机反铲装置的虚拟样机，如图3所示.

图3 挖掘机反铲装置虚拟样机Fig.3 Virtual prototype of excavator backhoe device

表1 反铲装置动力学参数Tab.1 Kinetic parameters of backhoe device

然后利用MATLAB软件编写了四阶龙格－库塔算法程序，对式（8）在一定的时间内进行数值求解，得到在净力矩T的作用下关节变量的角加速度、角速度和角位移Θ随时间变化的曲线，如图4所示.同时，为了验证本动力学模型的正确性，以表1的参数在ADAMS中建立了挖掘机反铲装置的虚拟样机，如图3所示，以相同的净力矩作用到相应的关节上，进行动力学仿真计算，也得到了关节变量的角加速度、角速度和角位移Θ随时间变化的曲线.然后将两种曲线图进行叠加对比，如图4所示.

从图4可见，由动力学模型求得的曲线与用ADAMS软件仿真得到的曲线大致吻合，误差都在工程允许的5%范围内，从而验证了所建动力学模型的正确性和有效性.其中误差存在的原因可能是：①动力学建模误差；②数值求解误差；③数字化建模误差.

图4 曲线比较Fig.4 Curve comparison

3 结论

（1）在分析研究挖掘机反铲装置动力学的基础上，采用Lagrange法建立了挖掘机反铲装置的动力学模型，该动力学模型可以用于求解动力学正、逆问题以及正逆混合问题；

（2）用MATLAB编写了四阶龙格－库塔算法程序，用于对动力学模型进行数值求解，得到了反铲装置各个关节的角位移、角速度和角加速度曲线.在ADAMS中，采用相同参数建立了挖掘机反铲装置的虚拟样机，在各个关节上加载相同的负载和驱动力矩进行动力学仿真，也得到了反铲装置各个关节的角位移、角速度和角加速度曲线.然后，将相应曲线进行叠加对比，发现通过动力学模型求得的曲线与仿真得到的曲线基本吻合，误差都在5%以内，从而验证所建动力学模型的正确性和有效性.

（3）挖掘机反铲装置动力学模型是反铲装置实现自动控制、轨迹规划以及优化设计的基础，同时动力学模型还可求解反铲装置在各种负载、运动状态下的运动副动反力，作为挖掘机反铲装置结构设计和分析的依据，对提高国产挖掘机的设计水平具有重要的意义.

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