数形结合的第一课——数轴

吕雯雯

数轴是初中数学中非常重要的一节内容.从位置上讲，数轴是有理数一章的一个小节，因为在认识了有理数之后，自然要去学习有理数的表示方法，数轴也是数的一种表示方式；从内容上讲，它起到了很好的承上启下的作用，是对前面内容的总结，又为之后相反数和绝对值的学习提供了便利；从整个初中知识体系来看，数轴始终贯穿在初中三年的学习中.它是学生进入初中后第一次接触数形结合的知识，是逐步引导学生利用图形解决代数问题的一座桥梁，它为之后系统学习平面直角坐标系乃至高中立体几何都起到了铺垫的作用.

那么，学习数轴究竟有什么用处呢？新教材体现出要让学生形象地理解数学.数学是源自生活也最终服务于生活的，我们要做的是赋予数学鲜活的生命，让数学不再是学生眼中枯燥无味的一门学科.所以讲授数轴时，首先就要从数轴和我们生活实际的联系出发，让学生看到数轴的确可以用于解决生活中的问题，从而体会数轴的作用.

学习数轴，应从以下几个方面引导学生学习.

一、数轴的基本概念及作法

数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.首先学生要去理解这个概念，我们可以从直观的温度计入手，从中抽象出数轴的形象.一条标有刻度的直线，以0为分界，可以向正负两个方向无限延伸.然后再科学地给出数轴的定义，对于这一概念，可以举一些错例和学生一起分析，进而巩固数轴的三个要素.接下来就是画数轴，这又是对数轴基本概念的再次加深，从先前的判断，到现在自己动手去画，更能让学生尽快地接受这一知识点.学习了这些内容之后，学生自然可以想到学习数轴的目的是为了把有理数表示出来，教师可以进一步分析数轴上的点和有理数的对应关系，这些就是数轴这一节必须弄清楚的一些知识点.

二、数轴和绝对值、相反数的联系

数轴的学习不是止步于概念与画法，更为重要的是一种数形结合的思想，这是学生在学习数学的过程中第一次接触到用图形来表示数，很好地将代数和几何结合到了一起.这样，对于之后一些难以表述清楚的问题可以借助数轴得到很好的解决，绝对值和相反数中的问题就有很多可以借助数轴解决.相反数是只有符号不同的两个数，它们到原点的距离相同，在数轴上表示出相反数就具有一种对称的形象；绝对值更是从定义上就借助了数轴.

其次，数轴对于相反数和绝对值的运用也大有帮助.

例如，到原点的距离等于5个单位长度的点表示的数是.这一问题就可以通过画出数轴，直观地给学生进行分析，从原点可以向左或是向右移动，从而得出是5或-5.

引申1：到原点的距离就是一个数的绝对值，即问题变成了绝对值等于5的数是5或者-5，学生可以比较直观地得出绝对值为何会有两解.

引申2：容易看出5或-5是一对相反数，那么绝对值相等的两个数可以是什么关系呢？这时学生可以很容易得出可以是互为相反数的关系.当然，不能忘记提醒学生相等的两个数绝对值当然也相等，还可以进一步用数学语言表示这一关系，即若|a|=|b|，则a=b或a=-b.

引申3：到数轴上表示3的点的距离等于5个单位长度的点表示的数是.这一问题，可以让学生自己思考，最终可以总结出表示到一个点的距离等于某个定值时存在的两种情况.

又如，已知ab<0，|a|>|b|，且a

三、借助数轴解决实际问题

例如，小明从A地向东走了100m，又返回向西走了60m，再返回向东走了30m，此时小明在出发点A的哪个方向，与A地相距多远？在开始接触这样的问题时，我们都可以让学生画出数轴，以原点为A地，规定向东为正，在数轴上画出行走的路线，就可以清晰地看出最后到达的位置了.再比如这样的问题：两个人同时从A地出发同向或相向而行，若同向分别走了70m和100m，则两人间的距离是多少？若相向走了30m和80m，则两人间的距离是多少？我们也可以画出数轴，从数轴上分析两点间的距离，还可以进一步思考数轴上两点间的距离的表示方法，得到一个统一的方法.类似问题还有很多，虽然不借助数轴也可以解决，但数轴的使用使得问题变得更加形象和清晰，对于初学的学生来说更易于解决问题.

总之，数轴是我们初中学习的一个重要工具.学生刚进入初中，对于抽象理解数学问题通常会觉得比较困难，有了数轴这一工具，往往可以帮助他们更好地理解数学问题，让这些问题更直观和形象，还可以联系起前后的内容.在教学中，教师应该对这部分内容给予足够的重视，发挥数轴最大的作用.