一种迭代未知输入观测器设计

朱芳来，张永军

（同济大学 电子与信息工程学院，上海 201804）

在实际的控制系统中广泛地存在具有未知输入的控制系统.针对具有未知输入系统状态进行观测器设计是控制领域所关注的热点问题之一.未知输入观测器（unknown input observers，UIO）在故障诊断和基于混沌同步的保密通讯［1］等领域中有重要的应用.

对未知输入观测器的研究始于20世纪70年代［2－3］，发展至今，无论是针对线性系统还是非线性系统，已经有众多的研究成果［4－5］.在早期，学者们主要是研究如何避免未知输入的影响，提出状态估计器.如文献［6］通过找出合适的矩阵消除观测器中未知输入的存在，提出了直接设计线性系统的全维未知输入观测器的方法.文献［7］在未知输入只影响部分系统状态且这些状态可以由系统输出得出的条件下绕开未知输入的影响给出了降维观测器的设计方法.文献［8］给出了未知输入观测器存在的充要条件.文献［9］提出了输入可观性的概念和系统化的输入重构方法.之后，状态和未知输入一并估计的未知输入观测器设计方法得到了重视［10－13］.比如，文献［14］针对具有未知输入和可测干扰的线性系统提出了降维观测器的设计方法，该方法通过选取合适的降维观测器增益来处理未知输入和可测量干扰.文献［15］提出了一种鲁棒H∞滑模描述观测器，对具有未知输入或者输出干扰的不确定系统提出了状态估计及未知输入重构方法.

从上面对未知输入观测器的研究动态的分析可以看出，如何提出未知输入的重构方法是该领域的一个被关注的热点之一，因而，如何提出新的未知输入重构方法具有重大的意义.本文结合迭代学习控制的思想尝试提出一种新的未知输入估计方法，同时还考虑了状态的估计问题.

1 迭代未知输入观测器设计的基本思想

考虑如下具有未知输入的线性时不变系统：

式中：x（t）∈Rn为系统的状态；y（t）∈Rn为可测输出；u（t）∈Rm是已知控制输入；η（t）∈Rr是未知输入；而A，B，C和D都是适当维数的常数矩阵，且假设（A，C）为可观测.

在η（t）为已知的假设前提下，可以直接设计如下的Luenberger观测器：

为处理未知输入的问题，提出如下的迭代未知观测器设计思想：给出未知输入η（t）的迭代估计初值η0（t），针对η0（t）考虑如下虚拟系统：

式中：x0（t）表示在初始迭代未知输入η0（t）驱动下的系统状态；η0（t）是用来逼近η（t）的第一估计，所以虚拟系统（3）就是一个不含未知因素的线性系统，根据原系统的可测输出对其可以设计一般形式的Luenberger观测器如式（4）：

在此基础上，对未知输入η（t）提出D型迭代估计，迭代出η1（t），其中Γ是迭代增益.

一般地，假设得到了η（t）的第k步迭代估计ηk（t），利用ηk（t）构造虚拟状态方程

针对系统（5）基于原系统的可测输出，设计观测器为

系统（6）称为系统（1）的第k步迭代未知输入观测器.第k步迭代状态估计误差、输出估计误差和未知输入估计误差分别记为其中在此基础上，提出第k＋1步未知输入的迭代估计为

2 收敛性分析

定理1 对于给定的线性系统（1）及其迭代未知输入观测器（6）和（7），如果满足①‖I－ΓCD‖＜1；是任意的常数向量），则有

又对第k步迭代观测器（6），有

对上式两边取欧氏范数后，再两端同时乘以函数e－λt（t∈［0，T］）有

根据λ范数定义，由上式得到

对式（10）中右边的积分项作积分变换ζ＝t－τ，则有

将式（11）代入式（10）得到

未知输入按式（7）迭代，定理1保证了该迭代算法的收敛性，即随着迭代步骤k的增加，迭代的未知输入ηk（t）在有限时间区间［0，T］内越来越接近真实的η（t）.在实际中，通常根据事先设定的误差要求（例如要求迭代误差不超过事先给出的ε），取一个满足的迭代最大次数k＊，并且取未知输入的估计为

上面只是考虑了在有限时间区间内迭代次数足够大的情况下给出迭代观测器未知输入收敛证明.如下的定理给出了迭代观测器随着迭代步骤的增加状态能收敛到真实状态的结论.

定理2 对于给定的线性连续时不变系统（1）及其迭代观测器（6）和形如式（7）未知输入迭代估计，如果满足如下条件：

证明 第k＋1步迭代观测器为

它在初始条件xk＋1（0）下的解为

两边取范数得到

然而，原系统的状态是不可测量的，这样无法通过计算得出原系统的输出微分.针对这一问题，可以为原系统输出设计二阶高增益滑模观测器来估计原系统的输出微分.

由系统方程（1）知：（t）＝Ax（t）＋Bu（t）＋Dη（t）.假设输出y为yi，1＝yi＝cix（i＝1，2，…，p）的时间微分，其中ci为输出矩阵C的第i行＝ci＝ciAx＋ciBu＋ciDη，令yi，2＝fi＝ci（Ax＋Dη），则有基于Levant［16］的工作可以引入二阶高增益滑模观测器获取原系统的输出微分估计.

定理3［16］在未知输入有界的条件下，如下二阶系统

由于在有限时间内，ζ是输出微分的精确估计，那么未知输入迭代式（7）可改写为

3 仿真分析

为了重构未知输入，必须知道原系统有限时间内的输出微分，首先需要通过二阶高增益滑模观测器估计系统的输出微分，图2分别给出了和的估计误差.

图1 状态x1（t）的估计与估计误差Fig.1 State estimation of x1（t）and its estimated error

图2 y·1 和y·2 的估计误差Fig.2 The estimated errors ofand

图3 未知输入重构Fig.3 unknown input reconstruction

仿真实例表明，结合D型迭代学习的未知输入Luenberger观测器能够很好地重构未知输入和估计系统的状态.

4 结论

针对具有未知输入的线性系统，提出了一种迭代状态估计和迭代未知输入重构的方法，首次将迭代学习控制的思想引入到未知输入观测器设计中，提出了迭代未知输入重构的基本思想和方法.该思想具有普遍的指导意义.只要结合成熟的非线性系统观测器设计，可以提出非线性系统迭代未知输入观测器设计的基本思想，但针对非线性系统，其迭代的收敛性是否被改变、如何证明是值得进一步仔细思考的问题.

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