追踪场中宇宙学参量的演化

陈希明，张振鹏，李树晨

(重庆邮电大学数理学院，重庆 南岸 400065)

近年来，Ia型超新星的光度红移观测［1-2］和其他独立辅助观测，例如Wilkinson微波背景各向异性探测卫星(WMAP-)，以及Sloan数字巡天望远镜(SDSS)等天文数据都证实宇宙已经进入一个加速膨胀的阶段.通常引入一种具有负压强且其能量大约为宇宙总能量3/4能驱动宇宙作加速膨胀的物质，把这种物质称为暗能量，目前探索暗能量的性质成为当前宇宙学和理论物理领域中最为热点的问题之一.暗能量最简单的候选者是爱因斯坦宇宙学常量Λ，其状态参数为-1，虽然与目前所有的观测都符合得很好，但却会遇到“精细调节”和“巧合性”问题［3-8］.暗能量另外的候选者是动力学标量场.标量场暗能量的例子之一，如Quintessence标量场［9-12］，场随它的势缓慢下降，由于场演化足够缓慢，其动能密度远小于势能密度，导致的负压强是宇宙加速膨胀的原因.除Quintessence外，还有许多标量场暗能量模型，如 Phantom，K-essence，Tachyon，Quintom等.在上面提到的各种标量场模型中，重要的是可以选择不同的动能项和不同的势能项，这些不同标量场模型将给出宇宙不同的演化.标量场模型的优点之一就是在确定的幂指数倒数势能和指数势能下能够导致追踪解，在某种意义上追踪解是吸引子解，其在非常宽泛的初始条件下φ和˙φ迅速收敛到共同演化的轨迹，以致宇宙的演化独立于初始条件.引入追踪解概念的重要意义在于能够克服宇宙的巧合问题和避免微调问题［12-13］.与变化宇宙学常量相关的宇宙追踪解的研究已有较长的时间，目前已经由最初的Quintessence标量场模型［13］拓展到其他标量场模型［14-16］，要想获得追踪解需要选择恰当的合理的势能函数［14，17］.

本文中假设平坦空间的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中仅包含具有指数势能的Quintessence标量场与暗物质两种流体物质.引入无量纲的变量，得到宇宙演化的自治系统，然后以可观测量Ωφ和γ为变量将自治系统改写为追踪场的方程.首先，将归纳出Quintessence标量场中w'与w更为紧密约束限制关系;其次较为详细地数值研究在宇宙的追踪演化过程中，各个宇宙学参量随标度因子变化的规律，得到的结果不仅与目前观测结果相一致，而且还有助于理解在追踪下各个宇宙学参量的演化行为.

1 Quintessence标量场的追踪解

下面将考虑平坦空间的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中包含压强为 pγB=(γB-1)ργB的理想流体和具有指数势能 V(φ)=V0exp(-κλφ)的 Quintessence标量场.其中pγB和ργB分别是理想流体的压强和能量密度，V(φ)和φ为标量场的势能密度和标量场，V0、κ、λ和γB=1+wB为常量，而wB为理想流体的态密度参数．众所周知，γB=1对应于无压的物质;γB=4/3对应于辐射场．一般地，0＜γB＜2．

平坦空间的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中的演化方程为

这里H=˙a/a是哈勃参量，a为标度因子，κ2=8πG，G是牛顿引力常量.H、ργB、φ和a上的“.”代表对时间的一阶导数，“..”表示对φ的二阶导数.在平坦空间中的Friedmann方程为

用pφ和ρφ分别代表均匀各项同性宇宙中暗能量和暗物质的压强与能量密度，其表达形式为

宇宙中暗能量的态参数方程w为

观测建议在当前时代附近宇宙中的态密度参数w的值接近 -1.采用与文献［18-19］相同的方法，定义无量纲变量x，y和λ:

利用变量x、y和λ，演化方程(1)、(2)和(3)可重写为如下的自治系统形式:

方程(8)、(9)和(10)中的 x'、y'和 λ'分别代表x、y、λ 对 lna的导数，Γ =V∂φφV(∂φV)2为追踪参量［12］.从方程(4)中得到的限制方程为

方程(11)中

上式中，对于非负的流体能量密度ργB≥0，因为0≤Ωφ≤1，所以x与y应允许的范围为

依据新的变量，标量场有效的态参数方程γ为可重写为

由方程(12)和(13)给出的可观测量 Ωφ、γ，根据文献［20-21］可将由(8)、(9)和(10)构成的自治系统改写为

方程(8)和(9)与方程(14)、(15)及(16)的最大不同在于，通常用自治系统方程(8)和(9)考虑动力学吸引子解和标度解时把λ和w作为一常量来处理，而用方程(14)、(15)及(16)考虑标量场的追踪解时将λ和w认为是随时间或者标度因子而变化的物理量.

对Quintessence标量场来说，其态密度参数满足0＞w＞-1，若Quintessence标量场中的势能密度单调下降，有方程(14)式中第二项为正，有γ'＞-3γ(2-γ)．因此，可以得到w'和w之间的约束关系为w'＞-3(1+w)(1-w).对于Quintessence Thawing模型［22］，在1+w ≪1 ，且 w ≤-0．8 时，给出的限制为

同时，对于 Quintessence Freezing 模型［22］，则有

若1+w≪1及w≤-0．8不满足时，则方程(17)可以写成更广泛的形式，即对于 Quintessence Thawing模型

联合方程(14)、(15)和(16)，可以得到的追踪方程为

方程(21)则是Quintessence标量场的动能密度对势能密度的比率的自然对数.根据方程(21)式，从而有

和

将方程(22)、(23)以及γB=1+wB和γ=1+w代入方程(20)，则追踪方程(20)可化简为

方程(24)与文献［23］采用的方法导出的结果一样.

从方程(24)可知，对任意的势能密度，发生追踪行为的条件是w＜wB和追踪参量Γ=V∂V(∂V)2＞1，且在整个可能的初始标量φφφ场φ的范围内 Γ几乎可以近似为常量［13］和对方程(14)、(15)和(16)在幂指势能V∝φ-α(α为常量且α＞0)下采用数值计算的方法，得到了一些非常有意义的重要结果，如图1所示.

图1 在相同势能V∝φ-5下不同初始条件的追踪行为(w与lna的函数关系).

图1 给出了在相同的势能密度V∝φ-5和不同初始条件下的追踪行为，即w与lna的函数关系.从图1中发现，在宇宙早期很宽泛的初始条件范围内，在给定不同初始条件下，宇宙最终都将演化到趋于相近的共同的轨迹，其主要特征是w接近-1，此时标量场充当了宇宙学常量.表明宇宙演化到晚期是以Quintessence标量场为主且态密度参数w≈-1的加速膨胀着的宇宙.

图2 在不同势能V∝φ-3，φ-4，φ-5和φ-6及不同初始条件的追踪行为(w与lna的函数关系).

图2给出了在不同势能V∝φ-3，φ-4，φ-5和φ-6及不同初始条件的追踪行为.标量场的追踪行为与吸引子行为最大的不同是宇宙学的各参量不需要固定.

图3给出了在不同势能密度下，λ与lna的函数关系.从图3中得到:随着宇宙从过去演化到将来，λ逐渐减小，到晚期时λ趋于零.这是追踪行为与吸引子行为的最大区别.在吸引子解中，通常将λ取一个确定的常数，当λ处于不同的常数值时，其值将决定着宇宙的行为;在追踪解中，λ随着宇宙的演化而发生变化.

图3 在不同势能密度下λ与lna的函数关系.折线、点线、黑色曲线和点折曲线分别对应的势能为φ-4，φ-5和φ-6

图4 给出了在势能密度为V∝φ-5下，宇宙早期的初始参数设置为w0=-0．02，λ0=1118，Ω0=0．000 1条件下标量场的密度参数与暗物质密度参数随lna的演化关系.

图4 在相同势能V∝φ-5，不同密度参数Ωi在初始参数 w0=-0．02，λ0=1118，Ω0=0．0001 条件下随lna的演化关系.黑色曲线和点折曲线分别对应标量场能量密度参数和暗物质能量密度参数

图4 表明，在当前时代，宇宙的标量场密度参数与暗物质密度接近相等，这一点与宇宙的观测结果相符合;同时表明，在宇宙晚期，以标量场为主的宇宙是始终处于加速的状态.

此外，从方程(24)出发，可以给出w'更低的约束限制［23，24］，即追踪约束限制为

联合一般约束限制方程(18)和(19)与追踪约束限制方程(25)一起表示.

图5给出了Quintessence标量场在考虑追踪限制后w'与w之间更为一般的关系.图中阴影区域即为所限制的w'与w范围.从图中进一步发现，当w ＜-0．5时，w'与w的限制则在 -(1-w)(1+w)＜w'＜3(1+w)(2+w)较为恰当;当w ＞-0．5时，w'与w的限制则在3(1+w)＜w'＜3(1+w)(2+w)较为恰当.同时，对方程(14)、(15)及(16)在幂指势 V∝ φ-α下，采用数值计算的方法清晰地表明这些约束限制是满足的.

图5 不同模型的w'界限.以不同势能V∝φ-α通过数值计算(14)～(16)式画出不同模型的轨迹线

2 总结

本文假设平坦空间的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中仅包含具有指数势的标量场与暗物质两种流体物质.引入无量纲的变量，得到宇宙演化的自治系统，然后以可观测量Ωφ和γ为变量将方程(8)、(9)及(10)构成的自治系统改写为追踪场的方程(14)、(15)及(16).联合这3个方程，得到了追踪方程(24).通过对方程(14)、(15)及(16)及(24)的理论分析与数值计算，得到了一些非常有价值的结果，这些结果可以归纳为:首先在理论分析方面，归纳出Quintessence标量场中w'与w更为紧密的约束限制关系，如图4所示;其次，在数值计算方面给出了w与lna的演化关系，表明宇宙演化到晚期是以Quintessence追踪场为主且态密度参数w≈-1的加速膨胀着的宇宙;第三，给出了λ与lna的函数关系，从中得到随着宇宙演化晚期时λ趋于零;第四，给出了密度参数Ωi随lna演化关系，表明在当前时代附近，宇宙的标量场密度参数与暗物质密度接近相等，这与目前宇宙的观测结果相符合;同时也表明，当宇宙演化到晚期时，宇宙中的物质则是以标量场为主且宇宙始终处于加速膨胀状态.此外，本文也简约地比较了吸引子解与追踪解的异同.

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